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在“圖形與幾何”領(lǐng)域教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想
——以“三角形的面積”教學(xué)為例

2023-02-27 14:42:26
吉林教育(綜合版) 2023年11期
關(guān)鍵詞:圖形與幾何平行四邊形三角形

李 喆

(哈薩爾路小學(xué),吉林 松原 138000)

數(shù)學(xué)思想是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓?!读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版) 》在總體目標(biāo)中明確提出: “通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),學(xué)生能獲得適應(yīng)未來生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?!盵1]這充分說明了數(shù)學(xué)思想的重要性。南開大學(xué)的顧沛教授也提到: “小學(xué)生、中學(xué)生、大學(xué)生,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容雖然不同,但是通過數(shù)學(xué)課程,滲透數(shù)學(xué)思想,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)這一點(diǎn)是共通的?!盵2]可見,理想的教學(xué)效果是: 不僅讓學(xué)生掌握基本的知識(shí)技能,更重要的是體會(huì)數(shù)學(xué)思想。

“圖形與幾何” 領(lǐng)域是小學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一,對(duì)滲透數(shù)學(xué)思想具有重要價(jià)值。人教版五年級(jí)上冊(cè)“三角形的面積” 屬于“圖形與幾何” 領(lǐng)域中“圖形的測量” 板塊,教師應(yīng)把數(shù)學(xué)思想作為重要教學(xué)目標(biāo),挖掘有助于學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想的素材,將滲透數(shù)學(xué)思想的任務(wù)落實(shí)到教學(xué)實(shí)踐中。一是要使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中經(jīng)歷觀察空間形式、抽象研究屬性、發(fā)現(xiàn)簡單規(guī)律、提出數(shù)學(xué)問題的過程,體會(huì)抽象思想,發(fā)展空間觀念和幾何直觀;二是要使學(xué)生自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想分析和解決問題,體會(huì)轉(zhuǎn)化思想,發(fā)展推理意識(shí);三是要使學(xué)生經(jīng)歷建模過程,構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型,體會(huì)模型思想,發(fā)展符號(hào)意識(shí)。下面以人教版五年級(jí)上冊(cè)“三角形的面積” 教學(xué)為例,探討如何在“圖形與幾何” 領(lǐng)域教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想,促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、經(jīng)歷操作過程,滲透轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想的核心,它是從未知領(lǐng)域向已知領(lǐng)域的轉(zhuǎn)化。在教學(xué)“三角形的面積” 時(shí),要引導(dǎo)學(xué)生從已有知識(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā),運(yùn)用轉(zhuǎn)化法自主探索,經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)遷移、操作轉(zhuǎn)化、歸納概括等活動(dòng),探索三角形的面積計(jì)算公式,理解、掌握轉(zhuǎn)化思想,發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

(一) 在經(jīng)驗(yàn)遷移中體會(huì)轉(zhuǎn)化思想

“圖形與幾何” 領(lǐng)域的知識(shí)具有系統(tǒng)性和生長性,離不開經(jīng)驗(yàn)的遷移。教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較,找到知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)結(jié)點(diǎn),將已有知識(shí)作為新知識(shí)的生長點(diǎn),通過經(jīng)驗(yàn)遷移,將新知識(shí)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化到舊知識(shí)的系統(tǒng)中,從而擴(kuò)展原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu),促使學(xué)生高效地學(xué)習(xí)新知。例如: 在“經(jīng)驗(yàn)遷移” 環(huán)節(jié),教師首先呈現(xiàn)紅領(lǐng)巾,提出問題: “可以怎樣求三角形的面積?” 學(xué)生基于已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)猜想: “可以把三角形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形來求面積?!?接著教師追問: “為什么要轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形?” 讓學(xué)生在說明理由中體會(huì)把未知轉(zhuǎn)化成已知解決問題的方法。最后,配合課件演示回顧上一課時(shí)“平行四邊形的面積” 的探究過程,喚醒學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化法的操作經(jīng)驗(yàn),為探索三角形的面積計(jì)算公式做準(zhǔn)備。這樣的經(jīng)驗(yàn)遷移,能促使學(xué)生將新知識(shí)化歸到舊知識(shí)的系統(tǒng)中,感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在本質(zhì)和思想方法上的共性,體會(huì)轉(zhuǎn)化思想。

(二) 在操作探究中感悟轉(zhuǎn)化思想

“圖形與幾何” 領(lǐng)域所呈現(xiàn)的知識(shí)是抽象的,動(dòng)手操作可以使抽象的知識(shí)形象化,是學(xué)生探索平面圖形面積公式的重要手段。將動(dòng)手操作與幾何直觀相結(jié)合,能幫助學(xué)生理解圖形之間相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證觀念,滲透轉(zhuǎn)化思想,積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。例如: 在“操作轉(zhuǎn)化” 環(huán)節(jié),要突出學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化法自主探索的活動(dòng)性。教師首先給學(xué)生提供若干個(gè)三角形,讓學(xué)生基于已有知識(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)自主探索,將三角形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形,并貼在紙上。接著,引導(dǎo)學(xué)生觀察思考: “轉(zhuǎn)化后的圖形與原來的三角形之間有什么關(guān)系?” 這是引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)三角形面積公式的關(guān)鍵。最后,教師組織各小組展示、匯報(bào)探究的成果。第一步: 組織學(xué)生交流用兩個(gè)同樣的三角形拼擺成一個(gè)平行四邊形的方法(如圖1 倍拼法);第二步: 組織學(xué)生交流用一個(gè)三角形沿一條中位線剪開,割補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形的方法(如圖2 割補(bǔ)法);第三步: 教師呈現(xiàn)《九章算術(shù)》中記載的“圭田術(shù)曰,半廣以乘正從”,通過“以盈補(bǔ)虛” 的方法把三角形分割、移補(bǔ)成長方形(如圖3 以盈補(bǔ)虛)。通過不同方法的展示交流,使學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化方法的多樣性,培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。這樣的操作活動(dòng),能使學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中進(jìn)一步感悟轉(zhuǎn)化思想,發(fā)展空間觀念。

圖1 倍拼法

圖2 割補(bǔ)法

圖3 以盈補(bǔ)虛

(三) 在實(shí)踐應(yīng)用中強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)練習(xí)是教學(xué)活動(dòng)的重要組成部分。通過練習(xí)可以深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握,強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的鞏固與運(yùn)用,提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。如在“鞏固應(yīng)用” 環(huán)節(jié),教師設(shè)計(jì)了一道發(fā)展練習(xí): 你能想到哪些轉(zhuǎn)化方法來計(jì)算這個(gè)三角形的面積? 課件依次呈現(xiàn)習(xí)題中的①至④(如圖4 轉(zhuǎn)化思想練習(xí)題),找到與轉(zhuǎn)化的方法相匹配的算式并連一連。在這樣的練習(xí)活動(dòng)中,學(xué)生先想象,再理清不同轉(zhuǎn)化方法的計(jì)算原理,進(jìn)一步強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想。

圖4 轉(zhuǎn)化思想練習(xí)題

(四) 在回顧反思中升華轉(zhuǎn)化思想

著名數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》 中將解題分為四個(gè)階段,并指出: “回顧已經(jīng)完成的解答是工作中的一個(gè)重要且有啟發(fā)性的階段。”[3]在新知教學(xué)后,教師要引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程,總結(jié)經(jīng)驗(yàn)收獲,提煉數(shù)學(xué)思想,促使學(xué)生把經(jīng)歷變成經(jīng)驗(yàn)、把思想化成素養(yǎng)。如在“回顧反思” 環(huán)節(jié),借助自我反思單元引導(dǎo)學(xué)生從三維目標(biāo)的角度自我反思: 1.我學(xué)會(huì)了什么? 2.我是用什么方法學(xué)會(huì)的? 3.對(duì)我今后的學(xué)習(xí)有什么作用? 回顧反思能梳理三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程,提煉升華轉(zhuǎn)化思想,啟發(fā)學(xué)生將轉(zhuǎn)化思想拓展到其他數(shù)學(xué)問題的研究中,為后續(xù)學(xué)習(xí)做好思想方法的鋪墊。

二、突出思維過程,滲透推理思想

推理是從一個(gè)或幾個(gè)已有的命題得出另一個(gè)新命題的思維形式,包括合情推理和演繹推理兩種形式[4]。在教學(xué)“三角形的面積” 時(shí),要引導(dǎo)學(xué)生從已有知識(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā),經(jīng)過比較聯(lián)想、歸納概括、演繹推理等活動(dòng),推導(dǎo)三角形的面積計(jì)算公式,從而使學(xué)生的推理能力得到發(fā)展。

(一) 在比較聯(lián)想中體會(huì)類比推理

類比推理是從特殊到特殊的推理方法。類比推理在“圖形與幾何” 領(lǐng)域的應(yīng)用主要有: 長度、面積、體積單位的認(rèn)識(shí),周長、面積、體積的概念及公式的推導(dǎo)?!皥D形與幾何” 領(lǐng)域的知識(shí)存在著內(nèi)在聯(lián)系和發(fā)展,可以通過觀察、比較、聯(lián)想,發(fā)現(xiàn)相似的性質(zhì),達(dá)到遷移類比的目的。教學(xué)中要注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)性和關(guān)聯(lián)性,將不同的知識(shí)用同種方法策略關(guān)聯(lián)起來,形成知識(shí)和方法的結(jié)構(gòu)化。例如:在“經(jīng)驗(yàn)遷移” 環(huán)節(jié),引導(dǎo)學(xué)生思考: “根據(jù)前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),你們打算怎樣研究三角形的面積?”學(xué)生聯(lián)想到: “三角形的面積與平行四邊形的面積很相似,我們可以把三角形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形來研究?!?學(xué)生通過觀察、比較、聯(lián)想,建立新舊知識(shí)間的聯(lián)結(jié),類比平行四邊形面積的推導(dǎo)方法來研究三角形的面積,初步體會(huì)類比推理思想。

(二) 在幾何直觀中體會(huì)歸納推理

歸納推理是從特殊到一般的推理方法。歸納推理在“圖形與幾何” 領(lǐng)域的應(yīng)用主要有: 找規(guī)律、面積和體積公式的推導(dǎo)。歸納推理分為完全歸納推理和不完全歸納推理,在三角形的面積推導(dǎo)中用到的是完全歸納推理。例如: 在“歸納概括” 環(huán)節(jié),分別探究直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。學(xué)生在表達(dá)與交流中發(fā)現(xiàn)這三種不同類型的三角形都能轉(zhuǎn)化成平行四邊形。接著,引導(dǎo)學(xué)生思考:“觀察轉(zhuǎn)化后的圖形與原來的三角形,你有什么發(fā)現(xiàn)嗎?” 借助幾何直觀,學(xué)生歸納概括出: “雖然選取的三角形不一樣,但只要是兩個(gè)同樣的三角形就能拼成一個(gè)平行四邊形?!?學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的完全歸納推理過程,能理解完全歸納推理推導(dǎo)出的結(jié)論具有普適性,體會(huì)歸納思想在推導(dǎo)總結(jié)一般性規(guī)律中的應(yīng)用,形成初步的幾何直觀和推理意識(shí)。

(三) 在結(jié)論推導(dǎo)中體會(huì)演繹推理

演繹推理是從一般到特殊的推理方法。演繹推理在“圖形與幾何” 領(lǐng)域教學(xué)中的應(yīng)用主要有: 多邊形內(nèi)角和的推導(dǎo)、體積和面積公式的推導(dǎo)、角的相等證明、多邊形內(nèi)外角關(guān)系的探索。例如: 在運(yùn)用幾何變換把三角形轉(zhuǎn)化成長方形或平行四邊形后,通過建立轉(zhuǎn)化前后圖形之間的等量關(guān)系,推導(dǎo)三角形的面積計(jì)算公式。這個(gè)過程實(shí)際上是應(yīng)用了演繹推理的三段論結(jié)構(gòu)。三段論包括: 大前提、小前提和結(jié)論。學(xué)生推理過程: 平行四邊形的面積=底×高,兩個(gè)同樣的三角形的面積等于平行四邊形的面積,所以兩個(gè)三角形的面積等于底乘高,因而三角形的面積=底×高÷2。這樣學(xué)生經(jīng)歷了演繹推理的過程,能運(yùn)用三段論結(jié)構(gòu)推導(dǎo)出數(shù)學(xué)結(jié)論,初步體會(huì)演繹推理思想。

三、圍繞建模過程,滲透模型思想

模型思想是用數(shù)學(xué)的概念和原理描述現(xiàn)實(shí)世界的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?!读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版) 》 指出: “引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,利用觀察、猜測、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題,促進(jìn)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法,獲得數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?!盵5]在教學(xué)“三角形的面積” 時(shí),要引導(dǎo)學(xué)生從生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問題,通過觀察抽象、操作探究、歸納概括等數(shù)學(xué)活動(dòng),構(gòu)建三角形的面積模型,讓學(xué)生完整且真實(shí)地經(jīng)歷“問題抽象—構(gòu)建模型—應(yīng)用拓展” 的過程,滲透模型思想。

(一) 在問題抽象中感知模型思想

數(shù)學(xué)知識(shí)來源于客觀世界,“圖形與幾何” 領(lǐng)域的知識(shí)往往能在生活中找到原型。教師要善于挖掘與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相關(guān)聯(lián)的生活素材,將數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生生活實(shí)際有機(jī)融合,促使學(xué)生從直觀的生活現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)模型,建立感性認(rèn)識(shí),幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型。例如: 在“創(chuàng)設(shè)情境” 環(huán)節(jié),教師將學(xué)生每天佩戴的紅領(lǐng)巾作為數(shù)學(xué)原型,并提問: “對(duì)于紅領(lǐng)巾,你們想研究什么問題?” 學(xué)生從中抽象出數(shù)學(xué)問題: “紅領(lǐng)巾是三角形的,三角形的面積該怎么求?” 學(xué)生經(jīng)歷從“境” 到“型” 的抽象過程,能加深對(duì)三角形的面積模型的認(rèn)識(shí),初步感知模型思想。

(二) 在多元表征中建立模型思想

數(shù)學(xué)建模的目的不僅是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論,更重要的是在建模的過程中促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)化和思想方法的升華。教師要引導(dǎo)學(xué)生在直觀的操作活動(dòng)中主動(dòng)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用多元的表征方式進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和表達(dá)。例如: 在構(gòu)建三角形的面積模型時(shí),引導(dǎo)學(xué)生通過拼擺、割補(bǔ)、等積變形等操作,感悟三角形與轉(zhuǎn)化后的平行四邊形的底、高之間的關(guān)系,嘗試用字母簡潔地表示推導(dǎo)出的數(shù)學(xué)結(jié)論,建立三角形的面積模型: S=ah÷2。學(xué)生經(jīng)歷“情境表征—操作表征—語言表征—符號(hào)表征” 這一數(shù)學(xué)化的過程,能層層建立起三角形的面積模型的清晰概念,深化對(duì)三角形面積模型的理解和把握,初步建立符號(hào)意識(shí),體會(huì)模型思想。

(三) 在解決問題中應(yīng)用模型思想

生活中存在許多與空間形式相關(guān)的信息,一個(gè)數(shù)學(xué)模型往往能解決一類數(shù)學(xué)問題,因而數(shù)學(xué)模型具有普適性。教師要鼓勵(lì)學(xué)生將已經(jīng)建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型運(yùn)用到新的數(shù)學(xué)問題中,從而提高學(xué)生分析和解決問題的能力。例如: 在“鞏固練習(xí)” 環(huán)節(jié),回歸到課前的情境中,讓學(xué)生自己動(dòng)手測量紅領(lǐng)巾的底和高,利用三角形的面積公式求出紅領(lǐng)巾的面積。這樣學(xué)生在解決問題中又一次經(jīng)歷了運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決生活問題的過程,能體會(huì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值,增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。

總之,在“圖形與幾何” 領(lǐng)域的教學(xué)中,教師要深入挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,引導(dǎo)學(xué)生通過抽象、遷移、操作、討論、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng),經(jīng)歷“抽象數(shù)學(xué)問題—?jiǎng)邮植僮鬓D(zhuǎn)化—?dú)w納概括結(jié)論—提煉數(shù)學(xué)思想” 的過程,讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想,并將其內(nèi)化為自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng),從而真正實(shí)現(xiàn)受益終身。

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