楊雪瑩，李晨，陳逸東，陸忠華＊

1.中國科學院計算機網(wǎng)絡信息中心，北京 100083

2.中國科學院大學，北京 100049

引 言

1994年，世界銀行提出了養(yǎng)老金體系 “三支柱”模式，該模式已成為我國養(yǎng)老保障體系發(fā)展趨勢。其中第一支柱為政府主導的基本養(yǎng)老保險等公共養(yǎng)老金；第二支柱是企業(yè)建立的職業(yè)年金、企業(yè)年金等補充養(yǎng)老保險制度；第三支柱是個人投資的養(yǎng)老儲蓄產(chǎn)品（例如商業(yè)壽險等金融產(chǎn)品）。相較于第一支柱的絕對主導地位，我國養(yǎng)老金體系第二和第三支柱發(fā)展嚴重滯后。隨著我國人口老齡化進程加快和基本養(yǎng)老保險金支出壓力增大，大力發(fā)展第三支柱已成為社會各界的普遍共識。作為我國第三支柱個人養(yǎng)老金中一種相對較新的金融產(chǎn)品，養(yǎng)老目標基金旨在為投資者提供一站式解決方案，以滿足投資者長期投資的需求，為其退休后的資產(chǎn)提供保障。

養(yǎng)老目標基金分為隨著時間推移降低風險的目標日期基金（Target Date Funds,TDFs）和試圖保持風險不變的目標風險基金（Target Risk Funds,TRFs），這兩類基金使用不同的方式進行風險控制。在投資過程中，投資者的風險偏好與個人資產(chǎn)等特征會隨著年齡增長而產(chǎn)生變化。為應對這一變化，TDFs 通常會設置一個目標日期作為預期退休年份，并隨著設定目標日期的接近改變大類資產(chǎn)的配置比例。該比例隨著時間變化得到的曲線稱為下滑曲線（Glide Path），投資者可以根據(jù)自己擬退休的時間節(jié)點進行目標日期基金選擇。TRFs 采用的是目標風險策略，根據(jù)特定的風險偏好設定權益類資產(chǎn)、非權益類資產(chǎn)的恒定配置比例，或使用廣泛認可的方法定義組合風險（如波動率），并采取有效措施控制基金組合風險，使投資者資產(chǎn)的風險時刻維持在偏好的風險水平上，避免不必要的損失，提供更加靈活的投資選擇。

近年來，國內(nèi)外關于養(yǎng)老目標基金的金融產(chǎn)品與學術研究越來越多。美國投資公司協(xié)會（Investment Company Institute,ICI）的數(shù)據(jù)顯示，自從1993年美國市場推出第一支養(yǎng)老目標日期基金，至今養(yǎng)老目標基金市場規(guī)模已超過1.5 萬億元。盡管我國養(yǎng)老目標基金市場起步較晚，但也正蓬勃發(fā)展。在政策的引導下，國內(nèi)養(yǎng)老目標基金成為了補充我國第三支柱養(yǎng)老金體系的重要力量。2018年，證監(jiān)會發(fā)布《養(yǎng)老目標證券投資基金指引》，推薦養(yǎng)老目標基金采用基金中基金（Fund of Fund,FOF）的運作方式。同年4月，財政部等五部委聯(lián)合發(fā)布《關于開展個人稅收遞延型商業(yè)養(yǎng)老保險試點的通知》，同年8月，我國首批養(yǎng)老目標基金獲準發(fā)行。2020年2月，證監(jiān)會副主席在國務院新聞發(fā)布會中表示，將推動個人養(yǎng)老金稅收遞延賬戶投資公募基金政策落地。截止到2020年12月11日，獲準發(fā)行的養(yǎng)老目標基金已超過100 只，市場規(guī)模超過500 億元。隨著我國的FOF 和養(yǎng)老目標基金步入正軌，大量基金公司和投資者涌入養(yǎng)老金市場，如何推動第三支柱個人養(yǎng)老金快速發(fā)展已成為養(yǎng)老金投資領域的一個熱門話題。

現(xiàn)代投資理論起源于Markowitz[1]提出的均值-方差模型，該模型首次將數(shù)理統(tǒng)計用于進行有效的資產(chǎn)配置。隨后Modigliani[2]提出了生命周期假說，假設投資者會在考慮到未來收入的同時理性地規(guī)劃其一生的投資與消費情況。在此假說的基礎上，很多學者構建了生命周期投資策略，通過穩(wěn)健投資為投資者提供養(yǎng)老保障，養(yǎng)老目標基金就是一種生命周期基金。Merton[3]對養(yǎng)老目標基金的發(fā)展做出了開創(chuàng)性工作，使用效用函數(shù)對投資者每一時刻的投資與消費的效用建模。Bodie 等人[4]針對投資者的收入與投資選擇密切相關的問題，在模型構建中首次引入了人力資本因素，并認為人力資本因素促使投資者隨著時間的推移改變其風險資產(chǎn)的配置比例。年輕人有更大的工作彈性，因此比老年人有能力承擔更大的投資風險。此外，Cocco 等人[5]和Campbell的研究[6]等基于生命周期投資策略的經(jīng)典模型也已得到廣泛應用。同時，養(yǎng)老目標基金承擔的功能對其穩(wěn)健性提出了更高的要求，基于經(jīng)典模型構建更為穩(wěn)健并符合交易需求的模型會導致模型復雜度大幅增加，進一步增加計算復雜度，對研發(fā)基于高性能計算技術的模型求解算法提出了要求。在2021年中國高性能計算機TOP100 中，應用于金融領域中的高性能計算機占6%，高性能計算的發(fā)展為研發(fā)相應模型求解算法提供了支撐。

本文梳理了養(yǎng)老目標基金的相關研究，總結了構建相關模型過程中針對現(xiàn)實場景的建模方法，包括目標日期基金中納入消費因素的模型、納入收入因素的模型、納入背景風險的模型等。分析探討了養(yǎng)老目標基金模型的求解算法，對未來發(fā)展方向進行了淺析。

本文的其余部分安排如下。在第1 節(jié)概述了養(yǎng)老目標日期基金研究中需要關注的定義與研究路線。在第2 節(jié)中，詳細介紹了基于下滑曲線的養(yǎng)老目標基金模型。在第3 節(jié)中，選取目前較為流行的養(yǎng)老目標基金模型，概括模型求解算法與高性能計算在其中的應用。在第4 節(jié)中，討論了養(yǎng)老目標基金模型構建的未來研究方向。第5 節(jié)總結了論文。

1 養(yǎng)老目標基金概述

早在2015年，美國期貨市場量化投資的交易量已經(jīng)達到市場交易量的70%[7]，而中國的量化投資交易比例遠遠低于這一數(shù)字。相比于金融市場更為成熟的發(fā)達國家，中國的計算金融研究有很大的發(fā)展空間。全球公募基金巨頭Vanguard 的 2021 How America Saves 研究顯示，在美國所有固定繳款退休計劃（Defined Contribution Plan,DC Plan）中有95%的計劃提供TDFs[8]，TDFs 已被美國養(yǎng)老金體系第三支柱廣泛使用，而我國的TDFs 研究起步較晚。2016年中美兩國養(yǎng)老金體系結構對比如圖1所示[9]。

圖1 養(yǎng)老金體系結構對比Fig.1 Comparison of pension system structure

1.1 基本概念

目標日期基金的資產(chǎn)配置會隨著目標退休日期的接近而變化，其中風險資產(chǎn)與無風險資產(chǎn)的投資比例隨時間的變化方式由目標日期基金的下滑曲線決定。Tang和Lin[10]將目標日期基金的損失分為兩類：不當風險投資組合造成的損失和不當下滑曲線造成的損失。通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)不當?shù)南禄€是TDFs業(yè)績不好的主要決定因素。

此外，構建投資模型時通常需考慮成本因素和擇時因素。若TDFs 采用FOF 的運作方式，投資者需要同時支付TDFs 的管理費用與標的基金的管理、交易費用，Elton 等人[11]的研究表明大多數(shù)TDFs 傾向于投資低成本份額的共同基金，因此TDFs 的投資成本僅略高于直接購買標的基金的成本。該研究通過實驗發(fā)現(xiàn)股票債券擇時決策并沒有提高TDFs 的業(yè)績。因此構建相關模型時，如何計算各個時間節(jié)點風險資產(chǎn)的投資比例仍是研究的主要目標。

考慮到資產(chǎn)積累階段通常是從約25 歲到65 歲，一般模型的假設是投資者將部分收入用作個人或家庭消費，通過投資與儲蓄將其余收入轉化為金融資本。在這種假設下，大多數(shù)投資者在職業(yè)生涯早期幾乎沒有金融資本；隨著退休日期的接近，未來可折現(xiàn)的人力資本會下降，金融資本在總資產(chǎn)中所占的比例越來越大；在退休日期，投資者持有的大部分資產(chǎn)都是金融資本。因此，隨著投資者投資時間的增長，其人力資本和金融資本比例的變化會影響TDFs 資產(chǎn)配置。通過廣泛調(diào)研國內(nèi)外文獻與產(chǎn)品，構建一個養(yǎng)老目標基金投資策略的研究路線大致如下：

（1）對投資者的生命周期場景和投資環(huán)境進行刻畫，其中生命周期場景主要變量包括退休年齡、風險厭惡水平、其他養(yǎng)老計劃收入等，投資環(huán)境主要變量包括股票收益率、股票波動率、債券收益率等，以上變量將作為模型的輸入?yún)?shù)影響模型求解結果；

（2）進行下滑曲線設計：選定滿足政策要求的資產(chǎn)類別列表；選定一組資本市場假設；選定一組約束列表；進行勞動收入建模；構建養(yǎng)老目標基金模型；基于算法進行風險資產(chǎn)權重等變量求解。

（3）進行資產(chǎn)類別內(nèi)部的基金選擇。

1.2 目標風險基金

目標風險基金在學術文獻和公眾媒體中都受到相對較少的關注，Lewis 通過研究表明，TRFs 與TDFs 之間有兩點重要關系：（1）等值TRFs 的股權配置等于TDFs 的預期風險溢價除以股票的預期風險溢價[12]；（2）等值TRFs 對股票的風險敞口等于TDFs 整個生命周期內(nèi)股票配置的平均值。

目標風險基金理論研究最常出現(xiàn)三種下滑曲線：積極型、平衡型和穩(wěn)健型，這種分類也對應著目標風險基金產(chǎn)品名稱中的風險等級。Elton 等人[13]比較了美國晨星公司基金家族中的基金表現(xiàn)，風險與TDFs 相匹配的目標風險基金產(chǎn)生的回報比TDFs 高40 個基點，風險較低，夏普比率(Sharpe Ratio)也較高，因此對養(yǎng)老金計劃和個人來說，目標風險基金可能是目標日期基金的合理替代方案。TDFs 和TRFs 的特點比較如表1所示。

表1 兩種養(yǎng)老目標基金特點比較Table 1 Comparison of the characteristics of two types of pension target funds

1.3 養(yǎng)老目標基金退休到期情況

Ibbotson 公司[14]認為生命周期基金投資可以分為兩個階段：積累階段和退休階段。在積累階段，投資者以一定的“貢獻率”將其部分收入轉換為金融資本；在退休階段，個人幾乎沒有剩余的未來可折現(xiàn)人力資本，投資者以一定的“提款率”將其部分金融資本轉換為收入。

在實際應用中，根據(jù)不同的到期理念，TDFs 可分為“到點型（To）” 和“穿點型（Through）”。其中“到點型”下滑曲線在達到目標日期后，股債的比例達到一個較低的穩(wěn)定值，并保持不變；而“穿點型”下滑曲線在到達目標日期后股債的比例并沒有達到最低而且仍舊持續(xù)調(diào)整。因此一般而言，采用“到點型”下滑曲線的目標日期基金更為保守，適合在退休后不再追求高回報的投資者。

目前中國市場中的 “到點型” 基金相對較多，美國市場中的“穿點型”基金相對較多。然而，理論研究對養(yǎng)老目標基金退休到期情況有更多的討論。O’Hara 和Daverman[15]認為退休日期當天是個人一生中風險最大的一天，并認為“穿點型”下滑曲線是對TDFs 的根本性誤解。Mindlin[16]認為“到點型”與“穿點型”的分類有很大缺陷，應該完全廢除。

1.4 養(yǎng)老目標基金評價指標

目前的養(yǎng)老目標基金評估主要依賴于收益和風險度量。收益指標包括收益、余額（30年后投資組合中所剩金融資產(chǎn)）和短缺率（在養(yǎng)老目標基金存在提款率的情況下，投資組合余額為零的頻率）等[17]。重要的風險評價指標還包括夏普比率等。

Tang 和Lin[10]基于Cocco 等人[5]的模型，開創(chuàng)了結合生命周期投資理論的評價方法，引入了兩個評價指標：不當風險投資組合造成的損失和不當下滑曲線造成的損失。

2 養(yǎng)老目標基金模型

2.1 納入消費因素的模型

Merton[3]奠定了養(yǎng)老目標基金模型中效用最大化理論的基礎，構建了納入投資者的消費因素的模型。模型中的決策變量有兩個：為在時刻中單位時間投資者的消費；為在時刻的總資產(chǎn)中風險資產(chǎn)的投資比例。投資組合優(yōu)化模型可由下式表示：

風險厭惡是Arrow[18]和Pratt[19]提出的一個概念，學術研究中已有多種效用函數(shù)可以用于估計投資者的風險厭惡程度，其中最常見的是常相對風險厭惡(Coefficient of Relative Risk Aversion,CRRA)效用函數(shù)：

對上述模型進行求解可以得到最優(yōu)消費：

求解得到的投資于風險資產(chǎn)的最優(yōu)權重如下：

對于TDFs 的長期投資者來說，利率不確定性是一個重要的風險。從理論的角度來看，在市場模型中引入隨機利率是區(qū)分現(xiàn)金和債券以及提供長期投資利率風險管理的唯一方法。在Merton[3]構建的原始模型中，利率被假設為確定性的。S?rensen[20]給出了隨機利率過程下，有限期限投資者最優(yōu)投資組合的閉式解。Brennan 和Xia[21]構建了一個模型并給出了相應的閉式解，求得在代表通貨膨脹的風險因素下的最優(yōu)投資組合和消費比例。Munk 和S?rensen[22]表明，利率期限結構的函數(shù)形式對最優(yōu)投資組合有顯著影響。利率期限結構的一個經(jīng)典且仍廣泛使用的函數(shù)形式是Vasicek[23]模型：

其中k、μ、σ均為常數(shù)，W(t)服從標準的維納過程。另一種常見的利率期限結構是Hull 和White[24]的雙因素模型。

2.2 納入收入因素的模型

為考慮收入因素對消費與投資決策的影響，Bodie[4]的研究假設投資者的總資產(chǎn)由金融資本和人力資本兩部分組成，奠定了在生命周期基金模型中引入人力資本因素理論基礎。假設投資者在時刻總資產(chǎn)為，人力資本用表示，金融資產(chǎn)用表示，則：

固定工作制下金融資產(chǎn)中風險資產(chǎn)投資比例為：

2.3 納入背景風險的模型

構建更符合現(xiàn)實場景的養(yǎng)老目標基金模型需要考慮投資者的勞動收入風險、長壽風險、住房風險等，這些來自金融市場以外的風險稱為背景風險。設為背景風險，則模型中需最大化的效用函數(shù)為：

Cocco 等人[5]的模型假定勞動收入由持續(xù)性收入和外部沖擊構成，持續(xù)性收入取決于投資者的年齡及其他特征，例如教育程度等。外部沖擊包括當期社會平均收入面臨的沖擊 與個人受到的沖擊。

許多研究假設，勞動收入符合駝峰型分布，在35 歲左右前迅速增長，在45-50 歲緩慢增長，此后緩慢下降[5]。然而駝峰型分布最近受到Rupert 和Zanella[25]的質疑，他們認為雖然勞動收入在個人職業(yè)生涯早期迅速上升，但在退休前不會下降。此外，對于某些職業(yè)群體，勞動收入與股權紅利相關，其常見的福利收入來源是公司股票或期權。對于此類投資者來說，考慮人力資本內(nèi)在風險因素的模型更符合現(xiàn)實要求。因此，Benzoni 等人[26]提出了一個考慮了勞動收入與股權紅利協(xié)同關系的模型。

以上研究只討論了人力資本對金融市場風險因素的潛在風險敞口，這些風險可以通過子基金來對沖。然而，人力資本也可能包含長壽風險等其他風險因素的風險敞口，這些風險因素是子基金無法對沖的，例如投資者有成為殘疾或失業(yè)并失去勞動收入的風險。Viceira[27]提出的動態(tài)最優(yōu)生命周期投資組合模型就包含了這樣的勞動收入風險。這種模型的缺點是，求解須采用數(shù)值方法或者只能得到近似解。Munk 和S?rensen[28]在該背景下構建了更復雜的模型，將各種形式的勞動收入風險納入模型中，并針對美國個人情況進行了校準。此外，投資者的總資產(chǎn)構成，除了金融資本和人力資本外，一般還包括住房資產(chǎn)。養(yǎng)老目標基金模型可以將住房風險考慮在內(nèi)[29]。養(yǎng)老目標基金模型中的參數(shù)通常需要使用真實調(diào)研數(shù)據(jù)進行估算，部分養(yǎng)老目標基金模型的對比如表2所示[30]。

表2 兩個養(yǎng)老目標基金模型的參數(shù)比較Table 2 Comparison of the parameters of two models of pension target funds

2.4 其他模型

Mindlin[31]開創(chuàng)了承諾驅動型投資（Commitment Driven Investing,CDI）理論，旨在為具有資金承諾的機構和個人投資者生成最優(yōu)資產(chǎn)配置，并基于CDI 理論構建了最優(yōu)下滑曲線選擇模型。該模型包含幾個定義明確的輸入：投資目標、資本市場假設、人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)、財務承諾（現(xiàn)金流入和現(xiàn)金流出）以及風險度量和演變。在給定這些輸入的情況下，使用下滑曲線優(yōu)化器生成唯一的最佳下滑曲線。

Forsyth 等人[32]采用基于統(tǒng)計標準的目標函數(shù)，將模型轉化為一個最優(yōu)隨機控制問題，測評了幾個目標函數(shù)，重點研究了條件風險價值（CVaR）和投資組合在目標日期余額為零的風險等度量方法。使用哈密頓-雅各比-貝爾曼方程（HJB 方程）求解該控制問題，并采用最優(yōu)控制的蒙特卡洛方法對性能指標進行了評估。在退休階段，基于目標的方法（建立資產(chǎn)安全邊際）優(yōu)于直接最小化投資組合短缺率或CVaR 等風險指標的策略。

Mladina[33]提出了一種跨期資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）的動態(tài)資產(chǎn)分配方法。Mladina 和Grant[34]基于跨期投資組合理論的基本原理，構建了基于目標的資產(chǎn)分配模型。模型求解結果是一個有關退休儲蓄、退休消費和風險規(guī)避的函數(shù)，金融資產(chǎn)在整個生命周期內(nèi)進行動態(tài)分配。

3 模型求解算法

現(xiàn)階段，養(yǎng)老目標基金模型的求解主要有以下幾種方法：

第一種是基于鞅過程的求解方法。養(yǎng)老目標基金模型可以看做是一類非自融資策略，養(yǎng)老金的配置是一個動態(tài)的隨機過程，如果可以將非自融資的問題轉化為自融資的問題，則模型可以采用鞅方法求出每一個時刻的閉式解[35]。

第二種是基于隨機最優(yōu)控制理論的求解方法。養(yǎng)老目標基金模型中有一類是隨機最優(yōu)控制問題，這一類問題的最優(yōu)解可以通過求解哈密頓-雅可比-貝爾曼方程（HJB 方程）得到[32]。目前基于常見風險效用函數(shù)的HJB 方程[36]已經(jīng)有較好的解析解[37]。然而對于一般的風險效用函數(shù)，HJB 方程沒有解析解，可以采用數(shù)值方法求解方程。常用的數(shù)值解方法包括有限差分法和馬爾科夫鏈近似法。養(yǎng)老目標基金模型中有一類是馬爾可夫決策過程，這一類問題的最優(yōu)解可以通過求解貝爾曼方程（Bellman Equation）得出。在該類問題中，有5 個要素，分別是個體（Agent）、狀態(tài)（State）、行為（Action）、獎勵（Reward）和策略（Policy）。養(yǎng)老目標基金模型中，不同的狀態(tài)代表不同的投資年份，行為即為養(yǎng)老目標基金在投資年份對資產(chǎn)的投資管理，獎勵代表當年投資收益，狀態(tài)價值函數(shù)衡量了個體在當前策略下，未來所獲得的獎勵的期望。時刻的狀態(tài)價值函數(shù) 與時刻的狀態(tài)價值函數(shù)的關系也被稱作貝爾曼方程。貝爾曼方程的常用求解方法有值迭代法、策略迭代法等，可由蒙特卡洛方法（Monte Carlo Methods）求解。

4 未來發(fā)展

為了保持養(yǎng)老基金投資管理期間絕對收益的穩(wěn)定性，為了約束和監(jiān)控極端風險，通常需要進行穩(wěn)健的動態(tài)資產(chǎn)配置和組合管理。由經(jīng)典模型中衍生出更復雜的模型是重要的研究方向之一。

此外，Balduzzi 和Reuter[38]認為，在目標日期基金的風險屬性與投資者的風險特征（勞動收入風險和風險偏好）之間缺乏匹配時，可能會產(chǎn)生大量的效用成本。為了避免這一效用成本，未來的研究趨勢之一是為投資者開發(fā)個性化養(yǎng)老目標基金模型，這要求在實際應用中考慮更多樣的下滑曲線形態(tài)。

模型求解的計算量與模型規(guī)模和投資者賬戶量相關聯(lián)，計算時間將成為實際應用瓶頸，對高性能計算技術的需求十分強烈。

4.1 更復雜的模型

典型的目標日期基金下滑曲線是基于相對簡單的風險假設求解得到的。在實際金融市場中，債券和股票的預期超額回報和風險以可預測的方式隨著時間的推移而變化。Campbell 和Viceira 建立了模型來描述這種風險與投資期限之間的關系，也就是風險期限結構[39]。Yoon[40]引入了一種納入了風險期限結構的模型來定義目標日期基金下滑曲線，構建了一種動態(tài)的資產(chǎn)配置策略，該策略同時考慮了預先定義的風險預算和當前的市場風險。投資者的退休時間不應是決定目標日期基金資產(chǎn)下滑曲線的唯一變量，最好同時使用“基于年齡”和“基于風險”的策略。

Cosares[41]考慮到投資者對預期投資收益目標和目標日期資產(chǎn)損失風險目標的不同偏好，構建了一種包括“下滑曲線強度”參數(shù)的模型，該參數(shù)允許投資者選擇與風險最小化目標的偏離程度。該模型用于生成一系列下滑曲線，傾向于生成投資區(qū)間內(nèi)每年的風險收益水平相同的策略（即“直線”策略），該策略進一步降低了達到目標的失敗概率，為投資者提供了以其他方式無法獲得的透明度。對于給定的基金列表，提供了一種方法：投資者可以使用模型的參數(shù)(即目標、繳費時間表、下滑曲線強度等)來評估與其目標基金當前資產(chǎn)配置相關的下滑曲線。

Butt 等[42]和Dahlquist 等[43]使模型構建所依據(jù)的CRRA 效用函數(shù)假設與投資者的風險厭惡保持一致，并認為應該為不同風險厭惡的投資者提供一系列生命周期策略，而不是向所有投資者提供單一默認產(chǎn)品。Khemka[44]的研究同樣證明了風險厭惡假設的重要性，并表明根據(jù)余額和年齡的動態(tài)調(diào)整策略可以對養(yǎng)老目標基金產(chǎn)品進行適度改進。在模型設定中將工資收入水平作為參照依賴效用函數(shù)的重要輸入，最終得到最優(yōu)風險資產(chǎn)權重函數(shù)。參照依賴效用函數(shù)的特征與冪效用函數(shù)不同[45]。例如，該效用函數(shù)通常可以生成U 形風險資產(chǎn)權重以增強動態(tài)資產(chǎn)組合的優(yōu)勢。

4.2 更多的下滑曲線形態(tài)

養(yǎng)老目標基金的投資期很長，通常為20-40年，傳統(tǒng)的投資理論建議，TDFs 的下滑曲線中股權配置的比例應為百分之100 減去投資者年齡的數(shù)值[46]。例如，30 歲的投資者應該持有70%的股票，70 歲的投資者應該持有30%的股票。這是因為傳統(tǒng)觀點認為，隨著投資者退休日期的接近，投資組合應該變得更加保守，養(yǎng)老目標基金投資組合中股票比例越低。然而，近期的理論和實證文獻對此類下滑曲線方法的有效性提出了質疑。

Arnott 等人[47]證明遞減下滑曲線方法無法在實現(xiàn)最大化投資收益的同時，最大程度地減少預期收益的不確定性。在債券收益率跌至接近創(chuàng)紀錄低點的情況下，如果將下滑曲線恢復到歷史狀態(tài)，使投資者承擔來自股票的風險，可以在不犧牲收益的情況下控制持續(xù)期風險和貝塔系數(shù)。

有研究提出了反向下滑曲線。Schleef[48]將典型的遞減下滑曲線（隨著時間的推移減少股票配置）與相應的反向下滑曲線（隨著時間的推移增加股票配置）進行比較，發(fā)現(xiàn)反向下滑曲線達到余額目標的失敗概率較小。

研究表明，初始市場環(huán)境對最優(yōu)下滑曲線形狀有較大影響。Blanchett[49]介紹了一種模型，該模型結合了不同水平的初始債券收益率和股票市場估值。使用蒙特卡洛方法模擬，發(fā)現(xiàn)遞增下滑曲線在較高收益率環(huán)境中表現(xiàn)最佳，而遞減下滑曲線在較低收益率環(huán)境中表現(xiàn)較好。使用基于長期歷史收益率平均值來代表收益率的模型，更有可能導致未來更高的短缺率。

下滑曲線的研究趨勢是將從傳統(tǒng)的遞減下滑曲線轉變到基于不同的市場環(huán)境確定的差異性曲線形態(tài)；從事先決定的靜態(tài)曲線轉變到動態(tài)調(diào)整的下滑曲線；從統(tǒng)一的下滑曲線到針對投資者生命周期場景進行個性化定制的下滑曲線。

4.3 高性能計算的應用

高性能計算在養(yǎng)老目標基金中的應用可分為兩類，一類是求解大規(guī)模模型時針對模型與算法進行并行化分解，另一類是對基于大規(guī)模復雜場景組合的模型進行并行化求解。

養(yǎng)老目標基金中，不確定參數(shù)規(guī)模較小的模型初始最優(yōu)解之間相差很大，而參數(shù)規(guī)模較大的模型初始最優(yōu)解是穩(wěn)定的。如Gondzio 和Kouwenberg[50]構建的資產(chǎn)負債管理問題，相應的隨機線性規(guī)劃有12,469,250 個約束和24,938,502 個變量。該模型的等價問題由63,552,952 個非零元素組成，直接加載到線性規(guī)劃求解器中將大約需要14GB 的工作空間。將大規(guī)模問題分解為多個子問題，并使用高性能技術對多個子問題進行并行求解，可以進行高效的內(nèi)存管理。此外，大規(guī)模蒙特卡洛算法以及HJB 方程求解算法的并行化也是未來的發(fā)展方向。

在個性化產(chǎn)品設計過程中，針對投資者生命周期場景以及市場環(huán)境的假設有多個維度。Blanchett[51]在研究中使用八組不同的假設用于分析：（1）初始提款率；（2）股票分配；（3）社會保障覆蓋的退休收入總額的百分比；（4）名義回報；（5）通貨膨脹；（6）預期壽命；（7） 短缺風險規(guī)避；（8）遺贈偏好。每個假設有三個可能的值：低、中或高，共有6,561 個場景。這啟發(fā)我們，針對個性化下滑曲線設計過程中產(chǎn)生的基于大規(guī)模復雜場景的模型，串行求解將耗費大量時間，可以應用高性能計算來對模型求解過程進行加速。

5 結束語

本文主要介紹了養(yǎng)老目標基金的基本特點、構建相關模型的主要目標與研究路線，并詳細闡述了養(yǎng)老目標基金模型與求解算法的相關研究成果。

目前中國的養(yǎng)老目標基金實踐處于起步階段，基于中國市場環(huán)境參數(shù)與交易數(shù)據(jù)的產(chǎn)品業(yè)績與量化實證均較少，針對中國市場的養(yǎng)老目標基金理論研究有廣闊空間。為推進我國多支柱養(yǎng)老資產(chǎn)管理體系的建立進程，未來的研究可以從以下幾個方面開展：

（1）構建具有中國特色且符合政策要求的穩(wěn)健養(yǎng)老目標基金模型，例如可考慮將房地產(chǎn)信托投資基金（REITs）作為投資標的之一，使用中國國民勞動與消費數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計，構建充分考慮背景風險等細粒度風險的模型等。

（2）針對構建的養(yǎng)老目標基金模型，設計滿足交易需求的高效求解算法；基于高性能計算環(huán)境實現(xiàn)算法并行化，提高求解速度。

利益沖突聲明

所有作者聲明不存在利益沖突關系。