鄭裕穎

（中國人民大學(xué)哲學(xué)院，北京 100872）

在日常推理當(dāng)中，往往存在一些較為常用的推理套路，例如最常見的三段論推理模式：所有希臘人都是勇士，沒有勇士會(huì)畏懼，所以沒有希臘人會(huì)畏懼。為了簡化我們的判斷進(jìn)程，邏輯學(xué)家對這樣的推理套路加以抽象，得到相應(yīng)推理模式：所有(A,B)，沒有(B,C)，所以，沒有(A,C)。在這個(gè)推理模式當(dāng)中，量詞起到了至關(guān)重要的作用，如果我們將其中的量詞替換掉，將會(huì)得到無效的推理。例如：有些(A,B)，沒有(B,C)，所以沒有(A,C)。針對這個(gè)判斷，可以舉出具體的例子：有些生物是哺乳動(dòng)物，沒有哺乳動(dòng)物不是胎生，所以所有生物都是胎生。因此，量詞可以對推理模式的有效性起到?jīng)Q定性作用，在對任何日常推理做抽象時(shí)，都必須對量詞做好區(qū)分和限定。

如果只憑借直觀印象去判斷，下面這個(gè)推式并非難題：

Keenan 認(rèn)為[1]，在這個(gè)推理模式的條件當(dāng)中出現(xiàn)的量詞就是比例量詞。而Westerst?hl 則認(rèn)為，這樣的量詞應(yīng)當(dāng)歸類為駐留的右單調(diào)遞增的量詞[2]，而并不限于比例量詞。

對于Westerst?hl 的分類方式，Keenan（2008）[3]認(rèn)為Westerst?hl 的分類方式盡管看起來更一般，但其實(shí)是多余的，因?yàn)楹笳叻诸惙绞剿牧吭~全部都是比例量詞，此外，存在更多的自然語言的推理模式，其中參與的量詞是比例量詞。但Keenan 并未對后者和原有的比例量詞分類之間為何會(huì)有范圍一致的情況做出解釋，因此直接否認(rèn)單調(diào)性的分類方式的理由不夠充分。因?yàn)槲覀儾幻猱a(chǎn)生疑問：假如二者范圍一致，為何不采用后者呢？此外，這兩種分類方式是否是等價(jià)的？

Westerst?hl 雖然證明了其分類方式有效，但并未給出相應(yīng)的直觀依據(jù)，因此很難直接看到它和比例量詞的分類方式之間的聯(lián)系，盡管兩種分類方式針對的是同一類量詞。也就是說，我們已經(jīng)知道上述有效推理模式當(dāng)中可使用何種量詞，并且已經(jīng)通過簡單的證明確認(rèn)這些類型的量詞當(dāng)中的確有一部分可保證推理的有效性；但是我們并不知道這種推理模式何以適用于這樣的量詞，為什么這些類型下的量詞可以確保推理的有效性。

本文將比照兩種分類方式的優(yōu)劣，確定二者的關(guān)聯(lián)以及各自的適用場合，并在此基礎(chǔ)上給出一個(gè)對自然語言推理模式當(dāng)中的量詞歸類的一般路徑。下文將解釋涉及此話題的主要概念，指出Keenan比例量詞分類的關(guān)鍵不足，為Westerst?hl 的結(jié)論給出另一種證明方法：直觀的逆推證明法，從而讓這個(gè)分類方法更有說服力。在從直觀角度比照兩種歸類方式之后，我們發(fā)現(xiàn)這二者的聯(lián)系：它們都建立在數(shù)量的基礎(chǔ)上。這也從側(cè)面說明了量詞與謂詞的不同。

一、概念簡介

我們這里的量詞，指的是廣義量詞（Generalized Quantifiers），也就是一階邏輯的全稱量詞和存在量詞的推廣，也即不僅限于這二者的量詞。我們這里對量詞的定義采用了模型論視角下的定義，這一定義由Mostowski 在1957 年首次提出[4]。

定義1 （公式在模型中的擴(kuò)展）

定義2（量詞的類型）

量詞的類型指的是一個(gè)每個(gè)成員都不小于1 的自然數(shù)序列τ=〈n1,… ,nk〉。[5]65

比如類型〈1,1〉就是一個(gè)有序二元組，它的每一個(gè)成員都是1，因此滿足“不小于1”的要求。量詞的類型主要用于說明在這個(gè)量詞的數(shù)量關(guān)系下的論元的類型，是個(gè)體集，還是多關(guān)系（這里的關(guān)系包括映射等復(fù)雜的關(guān)系）。比如〈1,1〉類型的量詞表示的是兩個(gè)個(gè)體集論元之間的數(shù)量關(guān)系。例如“3 個(gè)人吃了蘋果”，其中的量詞是“3 個(gè)……是……”，論元分別是“人”和“吃了蘋果的人”這兩個(gè)個(gè)體集。而〈1,1,2〉類型的量詞則包含兩個(gè)論元，且第二個(gè)論元是二元關(guān)系，例如：“3 個(gè)人一共吃了5個(gè)蘋果”，我們無法說3 個(gè)人是“一共吃了5 個(gè)蘋果的人”，因?yàn)檫@里的意思是“3 個(gè)人吃的蘋果加起來有5 個(gè)”，而不是每個(gè)人都吃了5 個(gè)蘋果。因此這里的數(shù)量關(guān)系不是單純的個(gè)體集之間的關(guān)系，而是個(gè)體集“人”、二元關(guān)系“……吃……”以及個(gè)體集“蘋果”三個(gè)論元之間的關(guān)系。

定義3（任意類型的量詞）

一個(gè)類型為τ的量詞Q給每個(gè)域M指派一個(gè)M上的k元二階關(guān)系QM，其中QM的第i個(gè)論元是M上的ni元關(guān)系。則（其中的定義由如下公式給出：

對a1,…,al∈ M ,

結(jié)合定義1 和定義2，可以看出，這里的量詞也就是對不同的公式給出相應(yīng)的“解”的集合的有序多元組。也就是說，量詞的每一個(gè)論元可能出現(xiàn)的情況是一個(gè)公式的“解”，由這個(gè)公式所定義，而這些論元之間的組合關(guān)系就是量詞。例如上述例子當(dāng)中，“吃了5 個(gè)蘋果的3 個(gè)人”、“被3 個(gè)人吃掉的5 個(gè)蘋果”和“……吃……”三者能令句子“3 個(gè)人一共吃了5 個(gè)蘋果”為真的組合情況的合集就是對該句子當(dāng)中量詞的刻畫。簡言之，量詞就是用于限定、刻畫這些論元的組合關(guān)系的二階關(guān)系。

根據(jù)上述定義，類型是一種用于劃定量詞所涉及的對象的范疇。其中，類型的論元數(shù)確定了量詞涉及多少個(gè)不同類型的對象，每個(gè)論元的具體數(shù)目確定了每個(gè)類型的對象類型是幾元組（是單一的個(gè)體集，還是更為復(fù)雜的關(guān)系集或映射集①）。而本文背景介紹當(dāng)中的推理模式所涉及到的量詞是〈1,1〉類型的量詞，我們在自然語言中遇到的量詞主要是類型〈1〉和〈1,1〉。而根據(jù)研究，類型〈1〉的量詞可以找到等價(jià)的類型〈1,1〉的量詞，因此本文只探討類型〈1,1〉的量詞及其表現(xiàn)。為行文方便，下文的量詞均指類型〈1,1〉的量詞。

須要注意的是，本文所指的〈1,1〉類型的量詞不同于謂詞表達(dá)的二元關(guān)系。首先量詞主要面對的不是具體個(gè)體，而是個(gè)體數(shù)量，往往可以忽略具體的個(gè)體；其次，量詞是邏輯常量，而謂詞則作為參數(shù)出現(xiàn)②。

定義4（比例量詞）

一個(gè)量詞Q 是比例量詞（Proportional quantifier），當(dāng)且僅當(dāng)對所有的集合A,B,X,Y，如果那么Q(A,B)=Q(X,Y)[5]88。

也就是說，比例量詞的兩個(gè)個(gè)體集論元的交集和第一個(gè)論元之間的基數(shù)數(shù)量比例直接決定了比例量詞自身的全部意義。通俗和不嚴(yán)格地說，表示兩個(gè)個(gè)體集大小之間的固定數(shù)量比例的量詞就是比例量詞。

抽象地看，單調(diào)性（Monotonicity）指的是函數(shù)F 的性質(zhì)，與兩個(gè)序關(guān)系≤1和≤2之間存在如下關(guān)聯(lián)之一：

如果x1≤1x2那么F(x1)≤2F(x2)（單調(diào)遞增）；

如果x1≤1x2那么F(x2)≤2F(x1)（單調(diào)遞減）。

具體到量詞，上述單調(diào)性中的函數(shù)對應(yīng)量詞，兩個(gè)序關(guān)系分別對應(yīng)集合之間的包含關(guān)系和量詞表達(dá)式之間的蘊(yùn)涵關(guān)系。由此，類型〈1,1〉的量詞的單調(diào)性定義如下：

定義5

類型〈1,1〉的量詞QM在第1 個(gè)論元上是單調(diào)遞增的，當(dāng)且僅當(dāng)：如果QM(R1,R2)且R1? R1′，則QM(R1′,R2);

類型〈1,1〉的量詞QM在第2 個(gè)論元上是單調(diào)遞增的，當(dāng)且僅當(dāng)：如果QM(R1,R2)且R2? R2′，則QM(R1′,R2)。單調(diào)遞減的定義類似。

例如，量詞“每一個(gè)”就是在第二個(gè)論元上單調(diào)遞增的，因?yàn)楫?dāng)我們說“每一個(gè)學(xué)生都吃水果”時(shí)，“蘋果”作為第二個(gè)論元，它是“東西”的子集，因此我們可以直接得到“每一個(gè)學(xué)生都吃東西”。因此滿足單調(diào)性的定義。

量詞的單調(diào)性不僅限于單純的遞增和遞減。對于類型〈1,1〉的量詞，就上述定義而言可以直接得到四種單調(diào)性，分別是左遞增（左邊論元上單調(diào)遞增，記作↑MON，右遞增（右邊論元單調(diào)遞增，記作MON ↑），左遞減和右遞減（定義和記法可類推）。此外，單調(diào)性對于擁有同構(gòu)性（Isomorphic,簡寫為ISOM）和駐留性的量詞而言還有更復(fù)雜的種類。

定義6 （駐留性）

類型〈1,1〉的量詞Q稱為駐留的[6][7]③Conservativity，縮寫為CONSERV），當(dāng)且僅當(dāng)，對所有的M和所有的A,B ? M，QM(A,B)? QM(A,A ∩B)。

駐留性說的是兩個(gè)論元的數(shù)量關(guān)系等價(jià)于第一個(gè)論元和二者交集之間的關(guān)系，頗有一種量詞意義全賴A以為生的意味，因?yàn)閷θ魏渭螧而言，我們不需要考慮B的全體在量詞中的表現(xiàn)，而只需要考慮B中屬于A的部分，就可確定B與A的關(guān)系是否符合該量詞。這樣的量詞是非常普遍的，幾乎我們見到的所有自然語言的〈1,1〉類型的量詞都具備這樣的性質(zhì)。例如“多數(shù)貓是橘色的”,這里的兩個(gè)論元是否符合量詞“多數(shù)”的要求，實(shí)際上依賴于“貓”這個(gè)個(gè)體集，我們不關(guān)心其他橘色的事物，而只在乎“橘色的貓”。

文中主要涉及到的幾個(gè)量詞相關(guān)的運(yùn)算包括外否定（Outer negation），內(nèi)否定（Inner Negation）和對偶（Dual）。三者定義如下：

對類型〈1,1〉的量詞Q，(? Q)M(A,B)?并非QM(A,B)(外否定)

(Q?)M(A,B)? QM(A,M-B)（內(nèi)否定）

Qd=?(Q?)=(? Q)? （對偶）

例如，“所有人都是老師”，其中的量詞是“所有(A,B)”，A是“人”，B是“老師”。那么把它換成它的內(nèi)否定得到的句子意義應(yīng)當(dāng)是：所有人都不是老師。也就是說，內(nèi)否定的量詞等價(jià)于“所有(A,)”，也就是“沒有(A,B)”。而“所有(A,B)”的對偶就是在內(nèi)否定上加上外否定，即“并非沒有(A,B)”，也就是“有(A,B)”。下一節(jié)我們將論證，在上述推理模式中出現(xiàn)的量詞“超過(A,B)”的對偶正是“至少”。

二、比例量詞分類方式

對于上文的推理模式，我們假設(shè)Keenan 的比例量詞歸類法是合理的，并進(jìn)一步舉例如下：

結(jié)論1

對于0≤ p≤ 1的分?jǐn)?shù)p而言，量詞“超過p”與“至少1-p”互為對偶。

證明：

令Q代表量詞“超過p”，Q′代表量詞“至少1-p”。QM(A,B) iffQMd(A,B) iff并非QM(A,M-B) iff 并非p （由A ? M） iff

根據(jù)上述分析，我們可以抽象得到更為一般的推理模式(1)如下：

其中的sоmе(A,B)意為有些A是B，即：sоmе(A,B)iff A ∩ B ≠?; M是量詞作用的域。

那么，是否所有的比例量詞都可以有上述對偶關(guān)系呢？從比例量詞的定義可以看出，的值直接決定了比例量詞Q(A,B)的意義，我們用a表示的值，比例量詞中的分?jǐn)?shù)的值記作p，則一個(gè)比例量詞可能出現(xiàn)的a,p關(guān)系代表了比例量詞的意義，列舉在下表的左列。而這些值所對應(yīng)的對偶量詞中可推出的a，p關(guān)系相應(yīng)地列在右邊，如下表所示：

表1 a，p關(guān)系表

由此，可以得出關(guān)于比例量詞對偶運(yùn)算的一個(gè)結(jié)論如下：

結(jié)論2

設(shè)X是有理數(shù)區(qū)間[0,1]的子集。

對任意比例量詞Q，Q滿足QM(A,B)?∈X等價(jià)于QMd(A,B)?1-∈Y

（Y是X在[0,1]中的補(bǔ)）。

其中，當(dāng)X是連續(xù)區(qū)間時(shí)，對應(yīng)的例子為1-10；X是非連續(xù)區(qū)間時(shí)，對應(yīng)的例子是11。

證明：

設(shè)Q為比例量詞，QM(A,B)iff∈X。

則QMd(A,B) iff 并非QM(A,M-B) iff 并非∈Y其中Y=（由A ? M）

在考查比例量詞的對偶運(yùn)算后，我們進(jìn)一步檢測，是否所有的比例量詞及其對偶都滿足這樣的推理模式，即當(dāng)Q 為比例量詞時(shí)，推理模式(1)是否有效。

根據(jù)我們舉例表格，推理模式（1）并非對所有比例量詞都有效。例如，第一組量詞就不符合該推理模式。

容易得出，要想必然得出存在兩種費(fèi)用都未繳納的人，必須保證二者在比例上的和超過1，那么二者一定有相交。而根據(jù)上述推理模式，我們可知并且從而，因此這兩個(gè)條件無法必然地得出上述結(jié)論。

用同樣的思路可以對表格當(dāng)中的量詞一一驗(yàn)證，可知，2 和5 同1 一樣，代入這樣的推理模式也是不有效的。而4，7，8，9，10，11 由于無法必然地得出二者的和大于1，因此也無法得到有效的推理?？梢钥闯?，單說參與推理模式(1)的量詞是比例量詞則顯得過于籠統(tǒng)，因?yàn)槎鄶?shù)類型的比例量詞都是不能有效實(shí)現(xiàn)該推理的。

將這種推理模式中的量詞歸類到比例量詞之后，還應(yīng)該以量詞之間的數(shù)量關(guān)系為保障。這也是我們?nèi)粘Ｍ评懋?dāng)中判斷這類推理正確與否時(shí)最自然直觀的依據(jù)。從比例的角度看，兩類集合所占比例之和在數(shù)量上超過1，就相當(dāng)于二者的數(shù)量和超過了總量，那么必然是存在相交的。那么這種推理模式實(shí)際上可用的量詞不應(yīng)當(dāng)局限于比例量詞，只要兩個(gè)條件當(dāng)中的量詞可以讓兩個(gè)類型的成員數(shù)超越總數(shù)，就可以得到類似的有效推理。當(dāng)然，這個(gè)推理模式中不僅有數(shù)量的要求，還需要保證兩個(gè)條件當(dāng)中的量詞互為對偶。

要想確保兩個(gè)條件當(dāng)中的量詞彼此之間的對偶關(guān)系，脫離了比例量詞這個(gè)限制是否可行呢？換句話說，是否存在不是比例量詞卻適用推理模式（1）的量詞呢？根據(jù)Keenan（2008），這樣的量詞不存在。假設(shè)在兩個(gè)條件中，量詞表達(dá)的不是比例，那就只能是具體的基數(shù)n(n ≠0)，即Q(A,B)表達(dá)的就是|A ∩ B|=n，那么Qd(A,C)的語義是，|A ∩|≠ n。但是從這兩個(gè)前提|A ∩ B|=n和|A ∩|≠ n我們無法得知|A ∩ B|+|A ∩ C|與|A|的數(shù)量關(guān)系。也即，我們通過這兩個(gè)條件無法看出是B 和是C 的A 的數(shù)量是否超過A 的總量，從而無法必然地得出A 中存在同時(shí)是B 和C 的成員。由此，我們可以確定，只有比例量詞可以滿足推理模式(1)。因此，推理模式(1)所需要的數(shù)量關(guān)系與比例量詞的某種性質(zhì)相關(guān)。此外，從以上的例子中我們可以看出，駐留性不能保證量詞滿足推理模式(1)。

綜上，只有比例量詞可以滿足推理模式(1)，但大多數(shù)類型（按數(shù)量范圍分）的比例量詞都不滿足該模式。因此，單用比例量詞來涵蓋整個(gè)推理模式當(dāng)中出現(xiàn)的量詞類型是不夠的，但比例量詞所具備的某些性質(zhì)在歸類當(dāng)中是必要的。

除了將推理模式(1)中的量詞歸類為比例量詞，Keenan 還在其他推理模式當(dāng)中使用了比例量詞的歸類，如Keenan（2008）中提出的中點(diǎn)定理：

定理1（中點(diǎn)定理）

令p,q為分?jǐn)?shù)，使得0≤ p≤ q≤ 1，p+q=1。那么 (BETWEEN p AND q)和(MORE THAN p AND LESS THAN q) 都由?所固定。

定義7

對分?jǐn)?shù)p 和q 使得0≤p≤q≤1，

(BETWEEN p AND q)(A,B) 當(dāng)且僅當(dāng) A ≠ 0 且

(MORE THAN p AND LESS THAN q)(A,B)當(dāng)且僅當(dāng)A ≠0 且p＜＜q。

定義8 量詞F由?所固定，當(dāng)且僅當(dāng)F=F?。

這個(gè)定理當(dāng)中涉及到的量詞，對應(yīng)于上文比例量詞表當(dāng)中的7 和10 類型，除了數(shù)值還有進(jìn)一步的限定：p1+p2=1。對應(yīng)到表中，可以得到如下關(guān)系：

表2 a，p，q關(guān)系表

其中，р+q=1。容易看出，這里的量詞7’和10’都是它們自身的對偶的否定。即：? Q=Qd=? Q?。那么Q=?? Q=? Qd=?? Q?=Q?，因此Q 被固定，中點(diǎn)定理得證。但同樣，Keenan（2008）的這種歸類并不能涵蓋所有的比例量詞類型。但可以確定的是，比例量詞特有的表示比例的性質(zhì)在對偶運(yùn)算當(dāng)中可以表示集合間的相交關(guān)系，從而確保相應(yīng)的推理模式有效。

三、單調(diào)性的分類方式

如果僅僅給出推理模式(1)，我們可否通過逆推找到其中量詞的性質(zhì)或者滿足的條件，從而給出更為精確的歸類呢？下面我們嘗試逆推滿足推理模式(1)的量詞具備怎樣的性質(zhì)。

首先，Q不可能是“沒有(A,B)”即，若Q(A,B)的語義為“沒A是B”那么推理不成立。驗(yàn)證如下：

已知：沒有A是B；且并非沒有A不是C，則必然沒有A同時(shí)是B且C。推理顯然不成立。

我們對剩下的可能分情況討論如下：

綜上，Q 要使得推理模式(1)有效，須具備如下性質(zhì)：

性質(zhì)1

然而，這個(gè)性質(zhì)不容易直接化簡。因?yàn)槲覀冃枰獜臈l件當(dāng)中出現(xiàn)的作為論元的集合與Q及其對偶量詞的關(guān)系得出三個(gè)集合之間的交集非空的結(jié)論，而我們并不知道交集和量詞Q之間的具體關(guān)系。為了方便化簡，我們縮小Q的范圍：這樣的Q須滿足駐留性。這樣就可以讓Q與交集之間有一定的聯(lián)系。選擇駐留性對鎖定Q的范圍影響不大，因?yàn)樽匀徽Z言當(dāng)中不具備駐留性的〈1,1〉類型的量詞本身就比較少見，且有爭議④。

因此，我們設(shè)Q具有駐留性。則性質(zhì)1 可改寫為：

假設(shè)Sоmе(A,B ∩ C)不成立，即A ∩B ∩C=?。則有A ∩B ?。則要想使性質(zhì)2 成立，我們希望在推理模式(1)的兩個(gè)條件以及A ∩B ∩C=?之間產(chǎn)生矛盾。這個(gè)矛盾可以是Q(A,A ∩B)且? Q(A,A ∩B)；也可以是Q(A,A ∩)且? Q(A,A ∩)。若矛盾是Q(A,A ∩B)且? Q(A,A ∩B)，則由Q(A,A ∩)和A ∩B ∩C=?可得? Q(A,A ∩)，則只需Q 是右單調(diào)遞增的。同理，若矛盾是? Q(A,A ∩)也只需是右單調(diào)遞增的。因此，Q是右單調(diào)遞增的可以確保(1)有效。

Barwise 和Cooper 曾經(jīng)證明了具備右單調(diào)性的任何量詞都可以滿足推理模式（1）。

Westerst?hl（2006）認(rèn)為，滿足推理模式(1)的量詞就是右單調(diào)且駐留的量詞。并且給出了證明，這里省略。

而類似于上一節(jié)的分析，我們可以從數(shù)量的角度歸納Q所必須具備的性質(zhì)。要保證Sоmе(A,B ∩C)，只需要|A ∩B|+|A ∩C|＞|A|。即只需要。設(shè)則Q只需使得x+у＞1即可。但x和у之間理應(yīng)存在數(shù)量關(guān)系，因?yàn)槎叨寂cQ有關(guān)。為了方便測算x與у之間的數(shù)量關(guān)系，我們設(shè)Q(A,B)等價(jià)于U=其中，X是有理數(shù)區(qū)間(0,1]的某個(gè)子集，Y是令集合U等價(jià)于Q(A,B)成立所需的其他條件的類。Qd(A,C)等價(jià)于，其中的是X在區(qū)間(0,1]中的補(bǔ)集，Y′是令集合Ud等價(jià)于Qd(A,C)成立所需的其他條件的類。也就是說，x的取值范圍一定是X，而у的取值范圍是{1-b:b ∈}。綜上，x和у需要滿足的數(shù)量關(guān)為：x+у＞1，且x ∈X，且у ∈{1-b:b ∈}。其中，條件x ∈X和у ∈{1-b:b ∈}是從推理模式的兩個(gè)前提得出的，是所有量詞都需要滿足的條件，而不限于能讓推理模式有效的量詞。

也就是說，只要量詞Q 允許我們從x ∈X和у ∈{1-b:b ∈}得出x+у＞1，那么這個(gè)量詞就可以令推理模式(1)有效。即只要量詞Q允許我們從x ∈X和1-у ∈得出1-у＜x，這個(gè)量詞就可以令推理模式(1)有效。Q只能令X在數(shù)軸上的位置永遠(yuǎn)在之后。因此Q只能令x的取值范圍形如р＜x≤1，р≤ x≤ 1。

若已知Q(A,B)，B ?D，設(shè)(р,1]為x的取值范圍，則有Q(A,B)={x ∈(р,1],Y}，且р＜，若保持條件Y也適用于A,D，則有Q(A,D)。因此，Q是右單調(diào)遞增的。若條件Y無法適用于A,D，則Y會(huì)隨著B擴(kuò)展為D而出現(xiàn)變化。由于Q是駐留的，因此B變?yōu)锳 ∩B不會(huì)影響Y的適用性，但二者變?yōu)锳 ∩ D會(huì)影響Y的適用性。由于р＜且р＜可知|A ∩ B|=|A ∩ D|，由于B ? D，$A ∩ B ?A ∩D。又因?yàn)槎呋鶖?shù)相同，因此A ∩B=A ∩D。所以Y必然適用于A,D，因此有Q(A,D)。從而Q一定是右單調(diào)遞增的。

反過來，若Q右單調(diào)遞增，則在|A ∩B|不斷增大的同時(shí)，Q(A,B)依然要成立，則對于一個(gè)臨界點(diǎn)的|A ∩W|值及比它更大的值而言，Q(A,W)都成立。從而我們可知，的取值范圍為形如р＜x（如前所述，這里）或р≤x的范圍，р為該臨界值。這剛好是滿足推理模式(1)所需要的Q中x的取值范圍。

因此，通過逆推的方法可以發(fā)現(xiàn)，滿足推理模式(1)的量詞剛好是右單調(diào)遞增的量詞。而利用尋找符合推理模式(1)的比例量詞時(shí)所使用的數(shù)量規(guī)律逆推量詞的性質(zhì)時(shí)，也可以驗(yàn)證量詞需具備右單調(diào)遞增的性質(zhì)。在數(shù)量規(guī)律的視角下，單調(diào)性可以確保條件x ∈X和у ∈{1-b:b ∈}成立，因此得以實(shí)現(xiàn)數(shù)量規(guī)律。無論如何，單調(diào)性的分類方式直觀上還是依賴于比例關(guān)系。

綜合上述分析，可以看出兩種分類方式既有區(qū)別也有聯(lián)系，二者作為分類方式也各有利弊。

比例量詞的分類方式直觀上更符合我們?nèi)粘Ｅ袛噙@個(gè)推理模式有效性的思維過程，即通過數(shù)量關(guān)系得出存在性的判斷：兩個(gè)前提條件只要保證A是B的數(shù)量和A是C的數(shù)量之和大于A的總量，即可得出存在A同時(shí)是B和C。而比例量詞可以直觀地表示出A分別和B、C之間在數(shù)量上的比例關(guān)系，因此這種分類方式是最直接也最貼近我們直觀推理思路的。但是比例量詞按照其范圍大小可以分出11 類，而其中大多數(shù)類型都不能使該推理模式成立。因此比例量詞的分類過于寬泛。但我們可以將其改進(jìn)為：可以使該模式有效的量詞剛好是3 和6 類型的比例量詞。

單調(diào)性的分類方式更具概括性，且不會(huì)夾帶大量不符合推理模式的量詞：可以使推理模式有效的量詞剛好是具備駐留性的右單調(diào)的量詞。Westerst?hl 和Mostowski 雖然給出了證明，但是這種分類方式的直觀依據(jù)并未得到分析。我們給出了逆推確認(rèn)量詞性質(zhì)的方法，從數(shù)量關(guān)系的角度解釋了這種分類方式的直觀依據(jù)、論證了其合理性。首先我們根據(jù)推理模式的要求確認(rèn)了量詞需要具備的諸多性質(zhì)，其次根據(jù)量詞實(shí)際的分布添加了駐留性來縮小量詞的范圍，接著得出相應(yīng)于這些性質(zhì)的數(shù)量關(guān)系，并化簡之。從化簡了的數(shù)量關(guān)系中，我們逆推Q的性質(zhì)，最終得出量詞是右單調(diào)遞增且駐留的。這里單調(diào)性的分類之所以可行的更一般的原因是，單調(diào)性的量詞本身也是在說明數(shù)量范圍的關(guān)系。比例量詞的意義直接地就是一定的數(shù)量范圍，而右單調(diào)遞增量詞的意義實(shí)際上也等價(jià)于一定的數(shù)量關(guān)系，前后兩者的數(shù)量關(guān)系都是論元數(shù)量的比例的范圍，因此兩種分類方式都可以視作在指稱一定的數(shù)量范圍。

但是，如果我們要將自然語言的推理模式(1)遷移到非自然語言的層面，就必須考慮駐留性這個(gè)性質(zhì)對于單純單調(diào)性的干擾。Keenan（2008）反駁單調(diào)性分類方式的理由是，自然語言當(dāng)中滿足這個(gè)推理模式的具備單調(diào)性的量詞本身都是比例量詞。但是，正是在非自然語言的層面，我們才可能摒棄簡單的單調(diào)性而選擇比例量詞的分類方式：我們可以結(jié)合兩種分類方式的要求，得出：能讓推理模式(1)成立的量詞，恰好是右單調(diào)遞增的比例量詞，或如前所述，處于特定的數(shù)量范圍的比例量詞。比例量詞讓我們無需強(qiáng)調(diào)駐留性性質(zhì)，因?yàn)楸壤吭~一定是駐留性的。

因此，針對推理模式(1)中量詞的分類，比例量詞的分類方式可以通過增補(bǔ)比例量詞的取值范圍來嚴(yán)格化，而單調(diào)性的分類方式本質(zhì)上立足于直觀上的數(shù)量關(guān)系即比例關(guān)系。在自然語言的層面，嚴(yán)格化了的比例量詞分類方式與右單調(diào)遞增的分類方式之間是等價(jià)的。右單調(diào)性的分類方法在自然語言層面看來是更簡明的，但在非自然語言的層面則必須增添駐留性的條件。

根據(jù)本文中推理模式(1)的量詞分類經(jīng)驗(yàn)，兼考慮量詞本身的特性——表示數(shù)量關(guān)系，遇到自然語言當(dāng)中量詞參與的推理模式，我們可以通過以下途徑找出該量詞的一般類別或性質(zhì)：

1.從推理模式出發(fā)，確認(rèn)要使該推理模式成立，量詞需要滿足哪些條件，這些條件即量詞需要滿足的性質(zhì)。

2.從數(shù)量角度歸納和化簡這些性質(zhì)，如果遇到障礙，可以尋找新的限制性條件來去掉障礙。例如，在本文的逆推中，化簡中的障礙是我們不知道交集和Q之間的關(guān)系，采取的辦法是增加駐留性這一限定條件。

3.將數(shù)量關(guān)系之外的其他性質(zhì)打包成特定的集合。如在本文的逆推中，我們將數(shù)量關(guān)系之外的性質(zhì)用集合Y和Y′表示。

4.比照常見的量詞性質(zhì)如同構(gòu)性，對稱性、傳遞性、單調(diào)性等，利用已有的數(shù)量關(guān)系驗(yàn)證$Q$的性質(zhì)是否符合這些常見性質(zhì)或是它們的組合。

利用上述歸類思路，我們可以對其他自然語言當(dāng)中量詞參與的推理模式當(dāng)中的量詞做出歸類。而反過來，我們也可以從兩種類型出發(fā)，觀察不同類型的比例量詞或不同的單調(diào)性類型有無專門對應(yīng)的自然語言推理模式。更進(jìn)一步我們也可以探索不同的單調(diào)性與不同的比例范圍之間如何通過量詞參與的推理產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，從它們之間的關(guān)聯(lián)可否得出一般性的結(jié)論。

注釋：

①詳見類型論（Type Theory）的相關(guān)表述。

②例如：這里所有人都是司機(jī)。這里的“所有”如果作為謂詞，則相當(dāng)于{人}是{司機(jī)}的子集，也就是說，這個(gè)謂詞表示為：{A×B∈M^2:A?B}其中，M指的是人和司機(jī)的全體。也就是說，謂詞僅限于本論域討論的對象。而將“所有”視為量詞，則該量詞可以適用于其他的論域，如“這里所有的蘋果都是爛的。這樣的用法也更加符合量詞的使用情況：不限于具體論域或個(gè)體。

③此處的譯法參考了張世寧（2010）第34 頁。其中闡述了該詞的淵源：“根據(jù)現(xiàn)有的材料，Barwise 和Cooper是根據(jù)所謂駐留（live on）的概念來描述駐留語義性質(zhì)的。”

④如only_M (A,B)=B?A，這里的only不具備駐留性，但是它的量詞身份是有爭議的，詳見Dag Westerst?hl等（2006）第139頁。