張衛(wèi)東， 趙鳳霞， 蘇清磊， 程鵬里， 聶金玲

(1.河南省計量科學研究院，河南 鄭州 450000; 2.鄭州大學 機械與動力工程學院，河南 鄭州 450001)

激光掃平儀(以下簡稱掃平儀)是一種可提供水平或垂直平面的測量儀器，常用于大地測量，工程測量以及農田、道路的挖掘施工等[1-3]。由于旋轉棱鏡的制造誤差和激光軸安裝不到位等因素，掃平儀垂直掃平面存在垂直掃平誤差。目前，國內外許多高校和企業(yè)對激光掃平儀的水平基準[4]、電路控制系統(tǒng)[5]、總體結構設計[6]、掃平誤差的二桿法、三桿法測量數(shù)學模型[7-8]以及精度評價方法[9-11]等開展了廣泛研究，但這些研究主要從結構設計和質量控制上解決了掃平儀水平面掃平精度的技術問題，不涉及掃平儀垂直面掃平誤差測量。國內行業(yè)標準提出了一種掃平儀垂直掃平誤差的測量方法[12]，但該方法是以掃平面的局部傾斜誤差代表整個掃平儀垂直掃平誤差，代表性不強；同時在計算方法上只考慮了垂直掃平面的傾斜誤差分量，未考慮錐角誤差分量，也沒有考慮標準裝置的系統(tǒng)誤差對掃平儀垂直掃平誤差測量結果的影響，方法不完整。因此，目前的掃平儀垂直掃平誤差測量方法存在較大缺陷，需要進一步研究和完善。

受球面三角形法[13-14]啟發(fā)，本文利用球面三角形的正弦和余弦定理，推導了掃平儀垂直掃平面傾斜誤差的計算公式，建立了錐角誤差和傾斜誤差幾何疊加的垂直掃平誤差數(shù)學模型，搭建了基于水平軸線對稱布局的雙光管專用檢測裝置，設計了先分項測量、再按數(shù)學模型疊加的掃平儀垂直掃平誤差測量方案，并進行了測量試驗驗證。

1 掃平儀垂直掃平工作原理分析

掃平儀垂直掃平是以自動安平補償器的補償器軸或由傾角傳感器零位平面為測量基準，以可見半導體激光作為指示光源，產生水平激光束，通過旋轉五角棱鏡，生成垂直掃平面。由此看出，自動安平補償器的調平誤差和激光光軸安裝誤差會導致掃平儀垂直掃平面相對鉛垂面產生一個傾斜誤差θ，同時五角棱鏡加工、安裝誤差使掃平面相對旋轉軸產生一個錐角誤差ε，兩者疊加合成掃平儀垂直掃平誤差(見圖1)。

圖1 激光掃平儀垂直掃平誤差的合成模型Figure 1 Synthesis model of vertical error of the rotating laser

由此可知，掃平儀垂直掃平誤差與方位角的關系式為

eα≈θ·cosα+ε。

(1)

式中：eα為掃平儀α方向的垂直掃平誤差，(″)；θ為垂直掃平面的傾斜誤差，(″)；ε為垂直掃平面的錐角誤差，(″)。

由式(1)可知，在垂直面方位角0°～360°之間，有且僅有一個最大垂直掃平誤差，該值為最大傾斜誤差絕對值與錐角誤差絕對值之和，即

e垂直=|θ|+|ε|。

(2)

式中：e垂直為掃平儀垂直掃平誤差，(″)。

2 垂直掃平誤差數(shù)學模型建立

由式(2)可知，只要獲得最大傾斜誤差絕對值和最大錐角誤差絕對值的計算公式，就可建立掃平儀垂直掃平誤差數(shù)學模型。

2.1 掃平儀垂直掃平面的傾斜誤差θ公式推導

為測量掃平儀垂直掃平面的傾斜誤差，搭建了相對于水平軸線β°對稱的雙光管專用檢測裝置(見圖2)。在圖2中，以平行光管S1和S2的光軸構成標準鉛垂面，若垂直掃平面同時存在傾斜誤差和錐角誤差，則垂直掃平面掃過平行光管S1分劃板中心時，將在平行光管S2分劃板橫絲上得到偏差值。該值為垂直掃平面傾斜誤差θ和錐角誤差ε在平行光管S2分劃板橫絲上的投影偏差值r與δ之和。

1、2、3—平行光管S1、S3、S2； 4—立柱； 5—升降工作臺；6—旋轉工作臺； 7—被校掃平儀； 8—計算機。圖2 垂直掃平誤差專用檢測裝置示意圖Figure 2 Diagram of calibration device for vertical error

2.1.1 掃平儀垂直掃平面傾斜誤差θ在平行光管S2橫絲上投影偏差值r

如圖3所示，建立以鉛垂線zz′為z軸，xoy為水平面的xyz空間坐標系，其中平行光管S1和S2的光軸處在一個鉛垂面zabz′內，與空間球體分別相交于a和b，鉛垂面zabz′與水平面xoy相交于d。當掃平儀垂直掃平面僅存在傾斜誤差θ時，垂直掃平面eye′與鉛垂面zabz′成θ。調整垂直掃平面掃過平行光管S1分劃板中心，與空間球體相交于a點、與水平面xoy相交于y時，垂直掃平面相交平行光管S2的分劃板橫絲于c點，形成∠boc，則∠boc為垂直掃平面在平行光管S2分劃板橫絲上的投影偏差值r。

圖3 掃平儀激光束偏斜狀態(tài)圖Figure 3 Deflective state of laser beam

根據球面三角形的正弦和余弦定理，可以由球面三角形△ady和△abc推出：

(3)

2.1.2 掃平儀垂直掃平面錐角誤差ε在平行光管S2橫絲上投影偏差值δ

圖4 掃平儀旋轉棱鏡引起錐角狀態(tài)圖Figure 4 Cone-angle state caused by rotating prism

根據球面三角形的正弦和余弦定理，可以由球面三角形△ahz和△bpz推出：

(4)

(5)

(6)

(7)

2.1.3 掃平儀垂直掃平面的傾斜誤差θ

通常掃平儀垂直掃平面同時存在傾斜誤差和錐角誤差，則在平行光管S2分劃板上橫絲的讀數(shù)為

(8)

所以，掃平儀在0°時，垂直掃平面的傾斜誤差為

(9)

調轉掃平儀180°，垂直掃平面的傾斜誤差為

(10)

兩者取平均值后，若β1=β，β2=-β，且多次瞄準讀數(shù)，則掃平儀垂直掃平時的傾斜誤差為

(11)

2.2 掃平儀垂直掃平面的錐角誤差Δc公式推導

由五角棱鏡加工、安裝誤差產生的結構特點可知，掃平儀水平掃平面的錐角誤差與垂直掃平面的相等,則垂直掃平面的錐角誤差Δc計算公式[7]為

(12)

式中：Δc為掃平儀垂直掃平面的錐角誤差，(″)；Δ0、Δ90、Δ180、Δ270分別為掃平儀水平掃射時，掃平面相對標準水平面在全圓均勻分布90°上的4個方位偏差值，(″)。

2.3 掃平儀垂直掃平誤差的數(shù)學模型

將式(11)和式(12)代入式(2)，即可得掃平儀垂直掃平誤差的數(shù)學模型:

(13)

3 掃平儀垂直掃平誤差的測量方案

根據掃平儀垂直掃平誤差的數(shù)學模型，激光掃平儀垂直掃平誤差的測量分為兩個步驟：第一是測量垂直掃平面的錐角誤差；第二是測量垂直掃平面的傾斜誤差,測量方案流程圖如圖5所示。

圖5 激光掃平儀垂直掃平誤差測量流程圖Figure 5 Measurement procedure of the vertical error

3.1 垂直掃平面的錐角誤差測量方案

用水平掃平面錐角誤差的測量方法測量垂直掃平面的錐角誤差。按圖6所示安置掃平儀，使儀器的激光束與平行光管光軸大致等高，調整儀器至水平狀態(tài)，從對徑兩平行光管中分別讀取相對標準水平面的偏差值，得Δ0和Δ180，將旋轉工作臺旋轉90°，按照前述步驟再次在平行光管分別獲取Δ90和Δ270，將其代入式(12)，計算垂直掃平面的錐角誤差。

1—顯示器； 2—平行光管； 3—被校掃平儀；4—旋轉工作臺； 5—基座。圖6 水平面掃平誤差專用校準裝置示意圖Figure 6 Diagram of calibration device for horizontal error

3.2 垂直掃平面的傾斜誤差測量方案

4 試驗驗證

結合激光掃平儀垂直掃平誤差的測量方案，搭建了垂直掃平誤差專用檢測裝置。該裝置選擇β=30°，帶有格值為30″分劃板的平行光管。

以國內某生產廠家生產的TRL134型激光掃平儀為被測對象進行實測(見圖7)，得到垂直掃平誤差的測量結果(見表1)。

表1 激光掃平儀垂直掃平誤差的測量結果Table 1 Measurement result of the vertical error of the rotating laser

5 結論

(1)根據掃平儀垂直掃平工作原理，指出掃平儀垂直掃平誤差是由激光束相對鉛垂面的傾斜誤差θ和掃平面相對旋轉軸的錐角誤差Δc疊加合成，且僅有一個激光出射方向上的垂直掃平最大誤差，該值為最大傾斜誤差絕對值與最大旋轉錐角誤差絕對值之和。

(2)利用球面三角形的正弦和余弦定理，推導了掃平儀垂直掃平面傾斜誤差計算公式，建立了錐角誤差和傾斜誤差幾何疊加的掃平儀垂直掃平誤差數(shù)學模型。

(3)根據掃平儀垂直掃平誤差數(shù)學模型，搭建了垂直掃平誤差專用檢測裝置，設計了先分項測量、后按幾何模型疊加，采取正反180°讀數(shù)的激光掃平儀垂直掃平誤差測量方案，并通過方法比較和試驗數(shù)據分析，指出了方案的可靠性，驗證了數(shù)學模型的科學性、完整性。