摘要：復(fù)變函數(shù)是全國(guó)高等學(xué)校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)專(zhuān)業(yè)必修課，復(fù)變函數(shù)的理論和思想方法在物理、工程以及數(shù)學(xué)其他分支學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用。結(jié)合我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)（師范）特點(diǎn)，本文分析了目前復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)中存在的困難以及不足，進(jìn)而對(duì)復(fù)變函數(shù)教學(xué)路徑進(jìn)行了探析，以期增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高課程的教學(xué)效果，形成良好的教學(xué)循環(huán)。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)；數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)；教學(xué)路徑探析

Abstract：Complex variable function is a professional compulsory course in mathematics majors in colleges and universities across the country，and the theory and analysis methods of complex variable functions are widely used in physics，engineering and other sub-disciplines of mathematics.Combined with the characteristics of mathematics and applied mathematics（teacher-training）in our school，this paper analyzes the difficulties and shortcomings in the current teaching of complex variable function courses，and then analyzes the teaching path of complex variable functions in order to enhance students' learning interest，improve the teaching effect of the curriculum，and form a good teaching cycle.

Keywords：Complex functions； Mathematics majors； Teaching path analysis

1 概述

復(fù)變函數(shù)的理論和方法在物理、工程、力學(xué)等諸多學(xué)科領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，并且在數(shù)學(xué)學(xué)科的其他分支中也占據(jù)著非常重要的作用，如偏微分方程、泛函微分方程、調(diào)和分析等。復(fù)變函數(shù)是我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)（師范）學(xué)生的一門(mén)專(zhuān)業(yè)必修課程，也是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程，通過(guò)復(fù)變函數(shù)理論的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，有助于鞏固和加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分析課程中知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)知和理解，并且對(duì)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)具有師范類(lèi)性質(zhì)，對(duì)于今后從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育的學(xué)生而言，掌握好復(fù)變函數(shù)的基本理論與思想方法，將有助于他們?cè)谥袑W(xué)以更高觀點(diǎn)去教學(xué)，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)。而對(duì)于今后在數(shù)學(xué)領(lǐng)域深造的學(xué)生而言，不少高校在研究生復(fù)試時(shí)需要考查復(fù)變函數(shù)理論，學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)不僅為考研奠定良好的基礎(chǔ)，從長(zhǎng)遠(yuǎn)角度來(lái)看，也為學(xué)生在后續(xù)更深層次的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課程學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ)。

2 復(fù)變函數(shù)教學(xué)中面臨的困難

2.1 課程課時(shí)少而難度大

我校2022年數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)（師范）通過(guò)教育部師范類(lèi)專(zhuān)業(yè)中學(xué)教育二級(jí)認(rèn)證，根據(jù)本次專(zhuān)業(yè)認(rèn)證中新制訂的人才培養(yǎng)方案，復(fù)變函數(shù)的理論課時(shí)壓縮為48課時(shí)，理論學(xué)分為3學(xué)分，而類(lèi)似于數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程，復(fù)變函數(shù)的理論知識(shí)是具有一定深度和難度的。復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程，兩門(mén)課程在知識(shí)框架結(jié)構(gòu)上具有較強(qiáng)的相似性，如果學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分析的基本知識(shí)理論沒(méi)有掌握好，那么在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)時(shí)就會(huì)產(chǎn)生一定的畏懼心理，覺(jué)得這門(mén)課程難度大，比較難學(xué)。

針對(duì)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生，我們所選用的教材是鐘玉泉老師編著的《復(fù)變函數(shù)論》（第五版），基于所選用教材，復(fù)變函數(shù)課程講授的主要內(nèi)容是復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示法、解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)、留數(shù)理論及其應(yīng)用、共形映射。而在課時(shí)相對(duì)少、所需講授內(nèi)容相對(duì)多、課程難度又相對(duì)大的情形下，如何將課程中很多概念、理論和方法講解好，并將課程思政元素融入課堂教學(xué)當(dāng)中，讓學(xué)生理解消化好，這對(duì)授課教師來(lái)說(shuō)是一個(gè)考驗(yàn)。

2.2 學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不足

復(fù)變函數(shù)作為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)（師范）學(xué)生的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，它的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)性質(zhì)決定了課程內(nèi)容較為復(fù)雜抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中體會(huì)不到其理論知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題解決中的應(yīng)用價(jià)值，從而學(xué)生的學(xué)習(xí)信心和學(xué)習(xí)興趣不能得到有效激發(fā)。

另外，復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中實(shí)變函數(shù)微積分的推廣和擴(kuò)展，復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性概念、導(dǎo)數(shù)與微分積分定義、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂等這些概念性質(zhì)，與數(shù)學(xué)分析中非常相似，那么學(xué)生在學(xué)習(xí)這些相似知識(shí)點(diǎn)時(shí)，會(huì)覺(jué)得這些知識(shí)點(diǎn)都是以前學(xué)過(guò)的，學(xué)習(xí)興趣不高，并且會(huì)產(chǎn)生懈怠心理。而這兩門(mén)課程之間肯定是有很大區(qū)別的，當(dāng)授課教師在講解復(fù)變函數(shù)中異于數(shù)學(xué)分析中的理論知識(shí)時(shí)，學(xué)生往往由于懈怠心理而錯(cuò)過(guò)了新知識(shí)的學(xué)習(xí)，如此更提不起學(xué)習(xí)興趣。

另一方面，我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)復(fù)變函數(shù)課程安排在大三下學(xué)期，這個(gè)階段學(xué)生大多處于就業(yè)或考研的準(zhǔn)備當(dāng)中。對(duì)于有意從事中學(xué)教學(xué)的學(xué)生而言，他們需要通過(guò)教師資格證考試才能獲得中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)資格，而教師資格證考試所涉及的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)知識(shí)主要是數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何以及概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，未涉及復(fù)變函數(shù)的理論知識(shí)，在當(dāng)前應(yīng)試教育背景下，學(xué)生會(huì)覺(jué)得復(fù)變函數(shù)理論對(duì)中學(xué)教學(xué)沒(méi)有多大用處，從而不重視復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)興趣和熱情自然也不足。而對(duì)于有意考研深造的學(xué)生，他們?cè)趥鋺?zhàn)時(shí)，同樣只關(guān)注與考研相關(guān)的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)知識(shí)，如數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)?？佳械膶W(xué)生短期目標(biāo)明確，不愿花太多時(shí)間去學(xué)習(xí)與考研初試無(wú)關(guān)的復(fù)變函數(shù)，對(duì)該課程的關(guān)注度就不夠，更談不上學(xué)習(xí)興趣了。

2.3 教學(xué)手段不夠豐富

在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，多數(shù)教師采用“單聲道”“滿(mǎn)堂灌”的教學(xué)方式，忽視了對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的調(diào)動(dòng)以及學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)和引領(lǐng)，多數(shù)學(xué)生對(duì)于很多概念定理定義只能停留在記憶背誦的層面，比如，刻畫(huà)解析函數(shù)的四個(gè)等價(jià)定理，其中第一個(gè)等價(jià)定理［1］：函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是：（1）二元函數(shù)u（x，y），v（x，y）在區(qū)域D內(nèi)可微；（2）u（x，y），v（x，y）在D內(nèi)滿(mǎn)足柯西-黎曼方程。而第二個(gè)刻畫(huà)解析函數(shù)的等價(jià)定理，只是在第一個(gè)等價(jià)定理的基礎(chǔ)上將其中的條件（1）換成條件“（1）'u_x，u_y，v_x，v_y在D內(nèi)連續(xù)”，如果授課教師在講解這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)采用直接灌輸?shù)姆绞剑瑢W(xué)生體會(huì)不到條件（1）和（1）'之間的區(qū)別，甚至最后可能會(huì)忘記這兩個(gè)條件，只對(duì)第（2）個(gè)條件有點(diǎn)印象，那么在考試時(shí)就容易出錯(cuò)，體驗(yàn)不到成就感和自信心，這樣一來(lái)學(xué)生覺(jué)得課程內(nèi)容難度大還比較枯燥，教師也無(wú)法達(dá)到設(shè)想的教學(xué)質(zhì)量，教學(xué)熱情也有所降低，無(wú)法形成一個(gè)良好的教學(xué)循環(huán)。

3 復(fù)變函數(shù)教學(xué)路徑探析

綜上所述，在有限的教學(xué)課時(shí)內(nèi)，想實(shí)現(xiàn)師生共贏的局面，有必要對(duì)復(fù)變函數(shù)課程進(jìn)行一定程度的教學(xué)探索與改革。課程課時(shí)少而難度大，授課對(duì)象是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生，再結(jié)合本專(zhuān)業(yè)的師范性特點(diǎn)，在教學(xué)過(guò)程中，教師要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和實(shí)際需求，對(duì)課程內(nèi)容要有自己深層次的思考，不能僅局限于所選用的教材，還要查閱相關(guān)的其他教材以及文獻(xiàn)資料，了解復(fù)變函數(shù)的學(xué)科前沿，精確把握住課程的重難點(diǎn)，對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行有效的整合與取舍，并且采用多樣化的教學(xué)方式，生動(dòng)透徹地講授課程知識(shí)點(diǎn)，從而達(dá)到良好的教學(xué)效果。

3.1 復(fù)變函數(shù)教學(xué)需結(jié)合學(xué)生需求

在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中，教師可以結(jié)合學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)理論的認(rèn)知需求、興趣需求以及應(yīng)用需求，有效降低復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)難度，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的信心和熱情，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

復(fù)變函數(shù)中的很多基本理論知識(shí)點(diǎn)和思想方法與數(shù)學(xué)分析中非常相似，在講解過(guò)程中，可以采用類(lèi)比思想進(jìn)行有效整合，簡(jiǎn)要講解相同點(diǎn)，重點(diǎn)突出不同點(diǎn)，降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，并且提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率。比如，在講解初等多值函數(shù)時(shí)，可以類(lèi)比于數(shù)學(xué)分析中的反三角函數(shù)如正弦函數(shù)y=sinx，其中x是y的反正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，反正弦函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù)，而在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，為了使反正弦函數(shù)有意義，我們限定了反正弦函數(shù)的值域?yàn)閇－π/2，π/2]。那么，對(duì)于初等多值函數(shù)的學(xué)習(xí)，可以采用類(lèi)似的思想，限定因變量的取值范圍，這樣學(xué)生就容易理解單葉性區(qū)域以及單值解析分支等概念，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力。

而且，在教學(xué)過(guò)程中，可以采用數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生體會(huì)到復(fù)變函數(shù)與幾何的聯(lián)結(jié)以及美妙之處，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。復(fù)變函數(shù)理論中蘊(yùn)含著豐富的幾何思維，復(fù)數(shù)可以視為平面上的二維向量，復(fù)數(shù)的加減就對(duì)應(yīng)向量的加減，復(fù)數(shù)的模和輻角對(duì)應(yīng)向量的長(zhǎng)度和與實(shí)軸的夾角，復(fù)數(shù)相乘z₁z₂相當(dāng)于把z₁所對(duì)應(yīng)的向量長(zhǎng)度伸縮z₂倍，再旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度（z2的輻角），在講解過(guò)程中可以借助于幾何圖形直觀演示，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與能動(dòng)性。

另外，對(duì)于有意從事中學(xué)教育的學(xué)生，教師在講授復(fù)變函數(shù)內(nèi)容時(shí)，要體現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的聯(lián)系與應(yīng)用，這樣學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力。比如，可以和學(xué)生簡(jiǎn)要介紹《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》中的必修模塊“幾何與代數(shù)”包含平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)、立體幾何初步等內(nèi)容［2］，而復(fù)數(shù)理論與平面向量幾何之間是有密切聯(lián)系的，并且復(fù)變函數(shù)理論也可以為中學(xué)數(shù)學(xué)解題提供新的思想方法，這樣學(xué)生就體會(huì)到復(fù)數(shù)內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，從而重視復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)。

3.2 教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深層次思考

首先，對(duì)于復(fù)變函數(shù)教學(xué)，開(kāi)好頭起好步很重要，如果一上來(lái)就直接講述課程理論知識(shí)，學(xué)生對(duì)這門(mén)課程的背景及發(fā)展歷程不了解，就無(wú)法產(chǎn)生對(duì)這門(mén)課程的好奇心和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。因此，教師在引言部分要簡(jiǎn)要講述復(fù)變函數(shù)的發(fā)展歷史，讓學(xué)生了解數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程，領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)含的理性思維的作用。可以簡(jiǎn)要介紹三位數(shù)學(xué)大家——法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西、德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼和魏爾斯特拉斯，在復(fù)變函數(shù)理論的發(fā)展歷程中所做的巨大努力以及他們的勵(lì)志事跡，讓學(xué)生感悟到任何一個(gè)學(xué)科理論從形成到完善再到系統(tǒng)化并不是一蹴而就的，激勵(lì)學(xué)生要有勇于進(jìn)取、不畏艱難、開(kāi)拓創(chuàng)新的科學(xué)精神。再介紹復(fù)變函數(shù)在物理、力學(xué)以及其他數(shù)學(xué)分支如代數(shù)學(xué)、微分方程等方面的應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)到復(fù)變函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。

其次，在復(fù)變函數(shù)理論知識(shí)點(diǎn)講授過(guò)程中，適當(dāng)關(guān)注與課程內(nèi)容相關(guān)領(lǐng)域的動(dòng)態(tài)進(jìn)展，并適時(shí)地在課堂上與學(xué)生討論，打破數(shù)學(xué)教學(xué)的沉悶。例如，在課堂上觀察到學(xué)生聽(tīng)得比較疲倦，注意力不是很集中時(shí)，可以切換一下重心，比如，和學(xué)生講講最近2022年物理學(xué)諾貝爾獎(jiǎng)獲得者的事跡，三位獲得者都是在量子力學(xué)領(lǐng)域做出卓越貢獻(xiàn)，而量子力學(xué)中著名的薛定諤方程是奧地利物理學(xué)家薛定諤借助于復(fù)變函數(shù)得出的。這樣一來(lái)，既緩解了學(xué)生的學(xué)習(xí)疲勞，又讓學(xué)生體會(huì)到復(fù)變函數(shù)的重要性，拓寬了知識(shí)視野，同時(shí)增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

最后，教師在講授知識(shí)點(diǎn)時(shí)可以適時(shí)地結(jié)合自己的科研工作，形成科研與教研相互促進(jìn)，也讓學(xué)生感悟到課程知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)價(jià)值。以筆者為例，筆者現(xiàn)在所研究的關(guān)于多個(gè)體系統(tǒng)的時(shí)間漸近行為的課題，其中在分析解的適定性時(shí)就用到解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性以及唯一性定理，那么在講解到復(fù)變函數(shù)第四章第4節(jié)時(shí)，可以和學(xué)生簡(jiǎn)要提及解析函數(shù)的特性在自己所做科研工作中的應(yīng)用，以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，并且增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的興趣和熱情，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和分析問(wèn)題的能力。

3.3 教學(xué)方式多樣化

我們可以充分利用在線(xiàn)教學(xué)平臺(tái)，由于課時(shí)的限制，在課堂教學(xué)中不可能涉及教材中的所有知識(shí)點(diǎn)，那么學(xué)生可以根據(jù)自身的課堂學(xué)習(xí)情況，在課后對(duì)平臺(tái)中的教學(xué)視頻、課件以及其他學(xué)習(xí)資料進(jìn)行學(xué)習(xí)，鞏固課堂上的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并且可以對(duì)自己感興趣而課堂上未詳細(xì)講解的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行深入學(xué)習(xí)。目前我校給師生提供了完善的學(xué)習(xí)通教學(xué)平臺(tái)，教師可以在課前、課中、課后發(fā)布在線(xiàn)作業(yè)、測(cè)試以及相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的主題討論。比如發(fā)布主題討論：解析函數(shù)在其定義域中某點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)的取值情況完全決定著它在其他部分的值，請(qǐng)談?wù)勀銓?duì)解析函數(shù)這一特性的看法。學(xué)生可以在討論區(qū)發(fā)表自己的感悟，互動(dòng)交流，這樣不僅可以鞏固對(duì)解析函數(shù)特性的理解，學(xué)生之間還可以互相學(xué)習(xí)互相激勵(lì)，營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍。另外，在教學(xué)過(guò)程中，可以將班級(jí)同學(xué)分成幾個(gè)小組，對(duì)于一些學(xué)習(xí)任務(wù)可以組織小組交流討論，這樣課堂教學(xué)會(huì)充滿(mǎn)活力，學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力也得到訓(xùn)練和加強(qiáng)。其次，教師可以建立一個(gè)班級(jí)QQ群，向?qū)W生推送一些關(guān)于數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的公眾號(hào)，如賽先生、和樂(lè)數(shù)學(xué)、遇見(jiàn)數(shù)學(xué)等，看到積極向上、求真務(wù)實(shí)、充滿(mǎn)正能量的視頻或文稿可以轉(zhuǎn)發(fā)在班級(jí)QQ群，以培養(yǎng)學(xué)生不斷探索、刻苦鉆研、勇于進(jìn)取的科學(xué)精神，激勵(lì)學(xué)生要腳踏實(shí)地地做人做事做學(xué)問(wèn)。最后，可以適當(dāng)采用對(duì)分課堂、翻轉(zhuǎn)課堂等教學(xué)方法，讓學(xué)生的參與度更強(qiáng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，從而獲得對(duì)知識(shí)點(diǎn)更深層次的理解與體驗(yàn)。

結(jié)語(yǔ)

在新時(shí)代一流學(xué)科建設(shè)的驅(qū)動(dòng)下，有必要對(duì)復(fù)變函數(shù)課程進(jìn)行有效的教學(xué)路徑探析，以適應(yīng)時(shí)代發(fā)展需求。結(jié)合我校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)特點(diǎn)，本文首先指出了目前復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)中面臨的一些困難，然后從課程教學(xué)結(jié)合學(xué)生需求，教師自身要對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深層次思考，以及教學(xué)方式多樣化這三個(gè)方面，探析了新時(shí)代背景下復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)路徑。這些觀點(diǎn)僅是立足于我校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)情況的一點(diǎn)個(gè)人淺見(jiàn)，在今后的教學(xué)中，會(huì)持續(xù)改進(jìn)課程教學(xué)措施，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維，提高教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

［1］鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論［M］.5版.北京：高等教育出版社，2021.

［2］李瀏蘭，方敏，劉剛.復(fù)變函數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2022，25（3）：83-85.

［3］李志艷.淺談復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)改革［J］.科技視界，2021：46-47.

［4］侯利元，劉念平.以初等函數(shù)為例對(duì)復(fù)變函數(shù)進(jìn)行的教學(xué)探討［J］.樂(lè)山師范學(xué)院，2021，36（2）：110-115.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（12201172）；合肥學(xué)院人才科研基金項(xiàng)目（21-22RC23）；合肥學(xué)院教育教學(xué)改革研究重大項(xiàng)目（2021hfujyxm03）；安徽省級(jí)課程思政示范課程（2021kcszsfkc359）；合肥學(xué)院基層教研室示范項(xiàng)目（2020hfujyssf02）；合肥學(xué)院重大教學(xué)研究項(xiàng)目（2020 hfujyxm01）；安徽省教學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（2020jyxm1591）

作者簡(jiǎn)介：朱婷婷（1992—），女，安徽合肥人，博士，研究方向：微分方程及其應(yīng)用。