張 燁，劉妍喆，張曉輝，鄒 麗

（1.遼寧師范大學 數(shù)學學院，遼寧 大連 116029；2.遼寧師范大學 計算機與信息技術學院，遼寧 大連 116033；3.山東建筑大學 計算機科學與技術學院，山東 濟南 250102）

0 引言

1982 年，Wille［1］提出形式概念分析理論，其核心是概念格模型。概念格作為數(shù)據(jù)分析的一種數(shù)學工具，已經(jīng)在數(shù)據(jù)挖掘、信息提取、知識發(fā)現(xiàn)等方面得到廣泛應用［2-7］。在經(jīng)典的形式背景中，形式概念是精確的，但由于在實際應用中對象與屬性之間的關系大多為不確定的，Tho 等［8］將模糊集理論與概念格相結合，提出模糊形式概念分析。由于人們習慣于用語言值表達評估信息，鄒麗等［9］基于語言值直覺模糊代數(shù)提出語言值直覺模糊形式背景，建立語言值直覺模糊概念格。規(guī)則提取作為形式概念分析理論中的一項重要研究，對于數(shù)據(jù)挖掘、決策分析以及推理判斷具有重要意義。溫馨等［10］在決策形式背景下定義了綜合概念和中心概念，提出一種基于中心概念的規(guī)則提取方法。賀曉麗等［11］研究了面向屬性規(guī)則與三支面向屬性規(guī)則之間的內在聯(lián)系，提出了三支面向屬性概念格的規(guī)則提取。

自新冠疫情以來，在線教學成為一種常見的教學模式。但由于在線教學仍處于初級發(fā)展階段，所以為了保證教學效果，針對教師在線教學評價方法的研究十分必要。目前針對教學效果的評價主要包含合理獲得評價的指標權重［12-13］和如何構建評價模型［14-16］兩方面。楊歌謠［19］指出現(xiàn)有的教學評價量化模型較少，大多數(shù)學者都是先建立指標體系，再利用層次分析法（AHP）等對指標進行計算。而部分指標需要學生、家長、同行及專家等多方面進行評價，評價數(shù)據(jù)收集過程過于復雜。本文提出的在線教學評價方法在規(guī)則庫已經(jīng)建立的前提下，只需學校的督導組給出教師的部分評價指標，通過規(guī)則庫即可得出教師在線教學的學生滿意度、家長滿意度以及專家給出的教學質量評價，從而避免了評價時組建學生會及家委會給出教學評價的繁瑣過程。

基于上述思想，考慮到人們在提供評估信息時總會出現(xiàn)在幾個可能的語言值之間猶豫的情況，本文構造了猶豫模糊語言概念格來處理專家給出的評價信息。在此基礎上，利用猶豫模糊語言概念格之間的細于關系進行規(guī)則提取，進而構建規(guī)則庫，再根據(jù)猶豫模糊語言術語集之間的相似度在規(guī)則庫中搜索最匹配的規(guī)則，得到教師的在線教學評價結果。

1 預備知識

1.1 概念格

定義1以三元組(U，A，I) 為形式背景，其中U={u1，u2，…，un}為對象集，A={a1，a2，…，am}為屬性集，I為U與A之間的關系。

定義2設對象集X?U，屬性集Y?A，定義派生算子：

定義3給定一個形式背景(U，A，I)，?X?U，Y?A，如果X*=Y且Y*=X，稱(X，Y)為一個概念，其中X是概念的內涵，Y是概念的外延［1］。

用L(U，A，I)表示形式背景(U，A，I)中的全部概念，對于?(X1，Y1)，(X2，Y2) ∈L(U，A，I)，兩個概念之間的偏序關系定義如下：

L(U，A，I)在這種偏序關系下生成的完備格被稱為概念格。概念格的上確界和下確界運算定義如下：

定義4設L(U，A1，I1)和L(U，A2，I2)為兩個概念格，若?(X1，Y1) ∈L(U，A1，I1)，?(X2，Y2) ∈L(U，A2，I2)，使 得X1=X2，則稱L(U，A1，I1)細 于L(U，A2，I2)，記 作L(U，A1，I1) ≤L(U，A2，I2)［20］。

1.2 猶豫模糊語言術語集

定義5令S={s0，s1，...，sg}是一個語言術語集，其中g是偶數(shù)，si表示第i個語言術語，語言術語集S的粒度為g+1。語言術語集S還具有以下性質：

（1）有序性：如果i>j，則si>sj。

（2）逆運算算子Neg：如果j=g-i，則Neg(si)=sj。

（3）極值運算：如果si≥sj，max(si，sj)=si，min(si，sj)=sj。

定 義6設S=(s0，s1，...，sg)是一個 語言術語集，Hs={si，si+1，...，sj|sm∈S，m=i，i+1，...，j}是S上的一個有序連續(xù)子集，則稱Hs是S上的一個猶豫模糊語言術語集［17］。

定義7設S=(s0，s1，...，sg)是一個語言術語集，S上的一個猶豫模糊語言術語集為Hs={si，si+1，...，sj}，Hs的期望值和方差值分別為

2 猶豫模糊語言形式背景及其決策規(guī)則

由于猶豫模糊語言術語集可有效應對人們在提供語言評估時猶豫不決的情況，本節(jié)提出猶豫模糊語言形式背景，建立猶豫模糊語言概念格并討論相關性質。

定義9稱(U，A，V，f)為猶豫模糊語言形式背景，其中U是對象集，A是屬性集，V?U×A是定義在U和A上的二元關系，V是表示隸屬度的猶豫模糊語言術語集族，f是從U×A到V的映射。對于u∈U，a∈A，f(u，a) ∈V表示對象u具有屬性a的隸屬度f(u，a)。

為方便表述，給定一個猶豫模糊語言術語集族HS=，如果HS中的元素滿足，則極大值和極小值分別為

定義10設K=(U，A，V，f)是一個猶豫模糊語言形式背景，X?U，Y?V，定義以下兩個算子：

定義11設K=(U，A，V，f)為猶豫模糊語言形式背景，對于X?U，Y?V，若滿足X*=Y，Y*=X，稱(X，Y)是一個猶豫模糊語言概念，其中X是猶豫模糊語言概念的外延，Y是猶豫模糊語言概念的內涵。

用HFLL(K)表示所有猶豫模糊語言概念構成的集合，對于?(X1，Y1)，(X2，Y2) ∈HFLL(K)，將其之間的偏序關系定義為：

HFLL(K)和偏序關系形成完備格，稱為猶豫模糊語言概念格。猶豫模糊語言概念格的上下確界為：

定理1給定猶豫模糊語言形式背景(U，A，V，f)，令X1，X2，X?U；Y1，Y2，Y?V，則：

定義12設HFLL(U，A，V，f)和HFLL(U，D，W，g)是兩個猶豫模糊語言概念格，若?(X1，Y1) ∈HFLL(U，A，V，f)，?(X2，Y2) ∈HFLL(U，D，W，g)，使得X1=X2，則稱HFLL(U，A，V，f) 細 于HFLL(U，D，W，g)，記作 ：HFLL(U，A，V，f) ≤HFLL(U，D，W，g)。

定義13設(U，A∪D，V，f，W，g)為猶豫模糊語言決策形式背景，HFLL(U，A，V，f) ≤HFLL(U，D，W，g)，若(X1，Y1) ∈HFLL(U，A，V，f)，(X2，Y2) ∈HFLL(U，D，W，g)滿足X1=X2(X1≠U，Φ)，則Y1→Y2為猶豫模糊語言決策形式背景下導出的規(guī)則，記為if B，then C，將規(guī)則添加到規(guī)則庫Ω(A)中。

定義14令(U，A∪D，V，f，W，g)為猶豫模糊語言決策形式背景，(X，B) ∈HFLL(U，A，V，f)，其中X?U，，給定權 重向量w=(w1，w2，...，wn)，wk∈[0，1]且。給定一個猶豫模糊語言術語集，則B與C之間的相似度定義為：

其中，maxS是S的極大值，S＇={s0，s1，...，sg}是一個猶豫模糊語言術語集。

定理2設B、C是S上的兩個猶豫模糊語言術語集，則B與C之間的相似度滿足以下性質：

（1）0

（2）sim(B，C)=1，當且僅當B=C。

（3）sim(B，C)=sim(C，B)。

sim(B，C) ≥sim(B，D)，sim(C，D) ≥sim(B，D)。

3 基于猶豫模糊語言概念格的在線教學評價

由于客觀事物的復雜性及人們思維的不確定性，人們在提供評價時常常會在幾個可能的語言值之間猶豫，例如：某專家對某教師語言表達能力的評價在“一般”和“有點好”之間猶豫。因此，用猶豫模糊語言術語集來表達評價信息更貼近人們習慣。

在線上教學中，師生無法面對面交流，只能依靠電腦屏幕進行交流和互動。為了保證課堂效果，對教師的語言表達能力要求很高，需要教師表達時條理清晰、環(huán)環(huán)相扣，講解更加通俗易懂。由于教師無法面對面地觀察到學生的學習狀態(tài)，而很多學生的自我管控能力較弱，為激發(fā)學生的學習興趣，教師應在保證教學設計生動有趣的同時，牢牢把握住每堂課的重難點，以學生為主落實教學目標，這對教師的教學設計能力及信息技術能力都是種考驗。為了保證在線教學期間學生的學習效果，教師除通過作業(yè)進行判斷外，還要不斷提高自身的學習指導能力，通過直播答疑等方式準確了解學生的學習效果。因此，語言表達能力、學習指導能力、教學設計能力以及信息技術能力4方面是影響在線教學效果的重要因素，而教學效果可用學生滿意度、家長滿意度及專家給出的教學質量評價來表示。評價的具體步驟如下：

Step1：專家組對每位教師的教學設計能力、語言表達能力、信息技術能力、學習指導能力以及教學質量進行討論，并使用猶豫模糊語言術語集給出評價。通過對評價結果進行分析，得到猶豫模糊語言決策形式背景。

Step2：在猶豫模糊語言形式背景(U，A，V，f)下，生成條件概念格HFLL(U，A，V，f)，其中A是條件屬性，包括教師的教學設計能力、語言表達能力、信息技術能力和學習指導能力。

Step3：在猶豫模糊語言形式背景(U，D，W，g)下，生成決策概念格HFLL(U，D，W，g)，其中D是決策屬性，包括教師的教學質量、學生和家長對教師授課的滿意度。

Step4：根據(jù)猶豫模糊語言概念格HFLL(U，A，V，f)和HFLL(U，D，W，g)之間的細于關系得到猶豫模糊語言決策形式背景下的全部規(guī)則，并將其添加到規(guī)則庫Ω(A)中。

Step5：給定新教師教學設計能力、語言表達能力、信息技術能力、學習指導能力評價的猶豫模糊語言術語集族，比較D與Ω(A)中每條規(guī)則前件，如果存在規(guī)則X→Y滿足X=D，輸出D→Y，否則轉到Step6。

Step6：根據(jù)專家給定的屬性權重，計算D與Ω(A)中每條規(guī)則前件Y的加權相似度sim(D，Y)，尋找最大加權相似度sim(D，)。

Step7：給定相似度閾值e，若最大加權相似度sim(D，) ≥e，則加權相似度最大的規(guī)則即是要尋找的規(guī) 則，進而輸 出D→；若sim(D，)

Step8：對于n個教師的評價結果由專家組給定決策屬性權重向量為{wi}，得到每位教師的最終評價值。根據(jù)最終評價值進行排序，最終評價值越高，說明該教師的在線教學水平越高。

4 實例分析

針對上述設計的評價指標，對學生、家長及教育專家進行問卷調查，對大連市某中學6 位九年級數(shù)學教師進行評價。先利用4 位教師的評估數(shù)據(jù)生成規(guī)則庫，設(U，A∪D，V，f，W，g)是猶豫模糊語言決策形式背景，U={u1，u2，u3，u4}代表4 名教師，A={a，b，c，d}為條件屬性，其中a表示信息技術能力，b表示學習指導能力，c表示語言表達能力，d表示教學設計能力；D={e，f，g}為決策屬性，其中e表示家長滿意度，f表示學生滿意度，g表示教學質量。給定語言術語集S=｛s0=非常差，s1=有點差，s2=一般，s3=有點好，s4=非常好｝，K=｛k0=非常低，k1=有點低，k2=一般，k3=有點高，k4=非常高｝，U與A之間的關系用定義在S上的猶豫模糊語言術語集表示，U與D之間的關系用定義在K上的猶豫模糊語言術語集表示。

Step1：對4 位教師的評價數(shù)據(jù)進行分析，得到猶豫模糊語言決策形式背景，如表1所示。

Step2：在猶豫模糊語言形式背景(U，A，V，f)下的概念如下：

Table 1 Hesitant fuzzy linguistic formal decision context(U，A ∪D，V，f，W，g)表1 猶豫模糊語言決策形式背景(U，A ∪D，V，f，W，g)

Step3：在猶豫模糊語言形式背景(U，D，W，g)下的概念如下：

構造的 猶豫模 糊語言 概念格HFLL(U，A，V，f) 和HFLL(U，D，W，g)分別如圖1、圖2所示。

Fig.1 Hesitant fuzzy linguistic concept lattice HFLL(U，A，V，f)圖1 猶豫模糊語言概念格HFLL(U，A，V，f)

Fig.2 Hesitant fuzzy linguistic concept lattice HFLL(U，D，W，g)圖2 猶豫模糊語言概念格HFLL(U，D，W，g)

Step8：根據(jù)專家組給定的決策屬性權重向量{0.3，0.3，0.4}，甲、乙兩教 師的最 終評價 值分別 為3.4、2.775，則認為教師甲的在線教學水平比教師乙高。

通過教師甲與教師乙評價數(shù)據(jù)的對比，可知教師乙的語言表達能力與信息技術能力較強，但學習指導能力和教學設計能力有所欠缺，導致家長滿意度一般，從而可督促教師乙繼續(xù)提升自己的在線教學能力。教學評價不是最終目的，合理的教學評價可促進教師間的合理競爭，督促教師進步，以保證教學效果。

在Step5 中，甲、乙兩位教師的評價數(shù)據(jù)是問卷調查中除生成規(guī)則庫的4 位教師外其余2 位教師的評價數(shù)據(jù)，利用本文提出的在線教學評價方法得到的結果與實際評價結果基本一致，所以本文提出的評價方法具有一定的可行性。該方法可得到學生、家長及教育專家對教師的評價結果，而且可根據(jù)教師在線教學能力與規(guī)則庫中規(guī)則前件之間的加權相似度直接得到評價結果，從而得到最終評價值，避免評價時組建學生會及家委會給出教學評價的繁瑣過程。因此，本文提出的評價方法更簡潔、全面。

5 結語

為更貼近人們日常生活中的評估習慣，研究者用猶豫模糊語言術語集表示形式背景中對象與屬性之間的關系，提出了猶豫模糊語言形式背景。在此基礎上，本文提出基于猶豫模糊語言概念格的在線教學評價方法，根據(jù)部分教師的在線教學評價實例生成規(guī)則庫，再利用教師水平與規(guī)則前件的加權相似度得到評價結果。該評價方法更簡潔，且實用價值更高。如今在線教學仍處于發(fā)展階段，通過教學評價可強化教師的學習意識，促進教師能力的培養(yǎng)，提升教師的在線教學水平。由于信息系統(tǒng)總會出現(xiàn)信息丟失的情況，接下來將研究在信息缺失的情況下，不完備猶豫模糊語言形式背景下的規(guī)則提取方法，并將其應用于在線教學評價中。