梁清海，張德燕，段博韜

（1.淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000；2.淮北理工學(xué)院 教育學(xué)院，安徽 淮北 235000）

0 引言

在凸分析中凸函數(shù)是一類極其重要的函數(shù)，其理論基礎(chǔ)最早是由丹麥數(shù)學(xué)家Jensen 在20世紀(jì)初首先提出，到20世紀(jì)中期，凸函數(shù)演變成一門獨(dú)特的數(shù)學(xué)分支——凸分析［1］。在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中幾乎都能看到凸分析的相關(guān)應(yīng)用，特別在優(yōu)化領(lǐng)域、控制學(xué)理論、矩陣分析學(xué)、幾何學(xué)領(lǐng)域以及數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)等方向起到不可或缺的作用［2-3］。

此外，凸函數(shù)的研究也一直不斷，文獻(xiàn)［4］介紹一元凸函數(shù)的3個(gè)定義，并且證明它們的等價(jià)性。文獻(xiàn)［5］給出判定多元凸函數(shù)的2個(gè)方法，并證明多元凸函數(shù)的Jensen不等式和Hermite-Hadamard 不等式的性質(zhì)。一般來(lái)說(shuō)，判斷一元函數(shù)凸性的方法有很多種，其中最基本的方法有如下2種。第1種，運(yùn)用定義的方法可以判斷函數(shù)的凸性，即設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)，對(duì)?x1,x2∈I，?λ∈[0,1]，若f滿足f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)。第2 種，準(zhǔn)確判斷函數(shù)凸性的方法，還可以利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)來(lái)判定，即定義在區(qū)間I上的二階可導(dǎo)函數(shù)f(x)，若函數(shù)f(x)滿足f″(x)≥0，則斷定函數(shù)f(x)為凸函數(shù)。在許多數(shù)學(xué)不等式的證明中，凸函數(shù)起到至關(guān)重要的作用，如Young不等式［6］、Jensen不等式［6］、Hardy不等式［7］等。設(shè)F(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)，對(duì)?a,b,c，且b≥a≥0，c-a,c+a,c-b,c+b∈I，Green和Osher在文獻(xiàn)［8］的引理2.9中證明不等式：

文獻(xiàn)［8］只給出該不等式必要性的證明。在此基礎(chǔ)上，本文介紹凸函數(shù)的定義，利用定義證明不等式（1）成立的充要性，得出當(dāng)F(x)∈C0(R)時(shí)，不等式（1）可作為判斷凸函數(shù)的一個(gè)充要條件。再給出不等式（1）在星體上的一個(gè)運(yùn)用，可以看出該不等式可運(yùn)用在凸幾何上。

1 預(yù)備知識(shí)

下面給出凸函數(shù)的定義以及相關(guān)的不等式，更多與凸函數(shù)相關(guān)的知識(shí)可以參見文獻(xiàn)［2，9-10］。

定義1［10］設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間I上，f(x)在區(qū)間I上稱為凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?x1,x2∈I且?λ∈(0,1)，有

對(duì)?x1,x2,…,xn∈I，可以利用定義1的式（2）進(jìn)行推廣，得到如下的Jensen不等式。

命題1［6］（Jensen不等式）設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I上的凸函數(shù)，則對(duì)?x1,x2,…,xn∈I有

其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn。

命題2［10］設(shè)f為開區(qū)間I上的凸函數(shù)，則f在區(qū)間I上任意一點(diǎn)x0都存在左、右導(dǎo)數(shù)。

上述命題可以得到若f(x)為開區(qū)間I上的凸函數(shù)，則f(x)在區(qū)間I上的任意一點(diǎn)處必須連續(xù)。容易看出凸函數(shù)是可積函數(shù)，于是命題1給出的Jensen不等式就有積分形式，即積分形式的Jensen不等式［6］。

2 主要結(jié)果

在這一節(jié)將給出凸函數(shù)的一個(gè)充要條件的證明，并將得出的結(jié)論運(yùn)用在凸幾何上。

定理1設(shè)F(x)是R 上的連續(xù)函數(shù)。則F(x)為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,b,c且b≥a≥0，有

證明必要性 設(shè)F(x)為凸函數(shù)，對(duì)?x,y∈R，λ∈[0,1]，由定義1得

（i）對(duì)?a,b∈R，當(dāng)b=a時(shí)，由式（3）等號(hào)顯然成立。

（ii）對(duì)?a,b∈R，當(dāng)a=0 時(shí)，由式（4）得

綜上可證，若F(x)為凸函數(shù)，則對(duì)?b≥a≥0，a,b,c ∈R，F(xiàn)(x)滿足F(c+a)+F(c-a)≤F(c+b)+F(c-b)。

充分性 設(shè)F(x)是R 上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)?b≥a≥0，其中a,b,c ∈R，F(xiàn)(x)滿足

欲證明F(x)為凸函數(shù)，只需證明對(duì)?x,y∈R，?λ∈[0,1]，F(xiàn)(x)滿足F(λx+(1-λ)y)≤λF(x)+(1-λ)F(y)。下面用反證法證明F(x)為凸函數(shù)。假設(shè)?λ0∈(0,1)，?x0,y0∈R，使得下式滿足

斷言x0≠y0。事實(shí)上，若x0=y0，則F(λ0x0+(1-λ0)y0)=F(x0)，這與式（6）矛盾，即一定有x0≠y0。不妨設(shè)x0＞y0，取ε=F(λ0x0+(1-λ0)y0)-(λ0F(x0)+(1-λ0)F(y0))，則ε ＞0。

一方面，由F在λ0x0+(1-λ0)y0處連續(xù)，因此對(duì)上面所取的ε，存在δ ＞0，使得滿足|x-(λ0x0+(1-λ0)y0)|＜δ的所有x都有 |F(x)-F(λ0x0+(1-λ0)y0)|＜ε。

根據(jù)F的連續(xù)性，對(duì)上面的ε有

對(duì)任意的k=1,2,…,p-1，由式（14）和式（15），得

對(duì)任意的k=1,2,…,p-1，結(jié)合式（15）和式（16）可得

令k=q，結(jié)合式（11）可以得到

再令k=q+1，結(jié)合式（12）又可以得到

注2由命題2可以看出，定理1的必要性不必要求F(x)連續(xù)。

注3定理1證明凸函數(shù)的必要性不同于文獻(xiàn)［8］中引理2.9的證明方法。

星體作為凸幾何的一類重要研究對(duì)象，關(guān)于星體不等式的研究也備受關(guān)注［11-13］。下面將利用定理1性質(zhì)給出平面星體的一個(gè)積分不等式。

定義2［14］設(shè)K為Rn中的一個(gè)緊子集，若K關(guān)于原點(diǎn)是星形的，對(duì)?u∈Sn-1，則稱ρ(K,u)=max{λ ＞0:λu∈K}為K的徑向函數(shù)，其中Sn-1為Rn中的n-1 維單位球面。進(jìn)一步，如果ρ(K,u)是關(guān)于u的正連續(xù)函數(shù)，那么稱K為星體。

上面利用定理1證明2個(gè)星體在某一方向上關(guān)于徑向的不等式（19），從而得到凸函數(shù)F與星體的徑向的復(fù)合函數(shù)在Sn-1上的積分不等式（20）。

3 結(jié)論

文章首先利用定義1證明新不等式為凸函數(shù)的充分條件，然后通過(guò)構(gòu)造的方法證明新不等式為凸函數(shù)的必要條件，最后得出新不等式作為判斷函數(shù)為凸函數(shù)的充要條件，并給出該不等式在凸幾何中星體的一個(gè)運(yùn)用。