朱芳來，李銘偉

（同濟(jì)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，上海 201804）

故障檢測與隔離可用來檢測系統(tǒng)中故障的發(fā)生并發(fā)出警示信號(hào)。實(shí)際系統(tǒng)往往由于組件失靈或運(yùn)行條件的改變，系統(tǒng)的狀態(tài)或性能發(fā)生意想不到的變化，這種現(xiàn)象可以歸為系統(tǒng)發(fā)生了故障。故障檢測與隔離（fault detection and isolation，F(xiàn)DI）的目的是當(dāng)系統(tǒng)存在故障時(shí)產(chǎn)生警報(bào)信號(hào)（FD），并找出故障發(fā)生的位置（FI），以便后續(xù)采取相應(yīng)的措施削弱或消除故障的負(fù)面影響。FDI方法可以分為基于模型的方法和基于數(shù)據(jù)的方法兩大類別。在基于模型的故障檢測方法中，基于觀測器的FDI是最為有效的方法之一，該類方法目前已經(jīng)取得了很多突出的研究成果［1-4］。例如，文獻(xiàn)［1］針對離散廣義系統(tǒng)，提出了一種基于H?/L∞觀測器及多胞體殘差構(gòu)造的故障檢測和隔離方法，該方法由于考慮了H?性能指標(biāo)，相比傳統(tǒng)的基于多胞7 討論了互聯(lián)系統(tǒng)的故障估計(jì)和調(diào)節(jié)問題。

近期一種特別的觀測器——區(qū)間觀測器，越來越受到學(xué)者們的關(guān)注。區(qū)間觀測器不同于需要對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行漸近收斂估計(jì)或鄰域穩(wěn)定估計(jì)的Luenberger 觀測器，它只需提供系統(tǒng)狀態(tài)的一個(gè)穩(wěn)定的上下界估計(jì)。與傳統(tǒng)的Luenberger型觀測器相比，區(qū)間觀測器能更加便利地處理未知輸入（外部擾動(dòng)、執(zhí)行器故障和模型不確定性）和非線性項(xiàng)。這是由于未知輸入和非線性項(xiàng)的很大一部分信息，例如觀測器匹配條件和Lipschitz條件等可以在區(qū)間觀測器的設(shè)計(jì)中被忽略。由于這樣的特點(diǎn)，區(qū)間觀測器的研究得到了學(xué)者們的極大關(guān)注，并產(chǎn)生了眾多的研究成果［5-11］。最近，多胞體理論被應(yīng)用于離散時(shí)間系統(tǒng)，通過迭代計(jì)算得到包圍系統(tǒng)狀態(tài)的最小多胞體，以此得到系統(tǒng)狀態(tài)的區(qū)間估計(jì)［12-14］。實(shí)際上，將多胞體理論應(yīng)用于離散時(shí)間系統(tǒng)這一方法構(gòu)成了一種特別類型的區(qū)間觀測器。基于多胞體理論的FDI 方法近幾年得到了極大的關(guān)注，并且有眾多優(yōu)秀的研究成果［15-16］。

基于觀測器的FD 方法，通常要求所設(shè)計(jì)的觀測器針對干擾魯棒而對故障敏感，這樣的觀測器可以作為故障檢測器。其主要技術(shù)手段之一就是構(gòu)造合理的殘差，通過殘差來標(biāo)志故障是否發(fā)生。如果采用基于Luenberger 類觀測器的FD 方法，通常采用測量輸出向量及其估計(jì)值的偏差構(gòu)造殘差。區(qū)間觀測器作為一種未知輸入觀測器的特殊類型，其產(chǎn)生的殘差區(qū)間估計(jì)實(shí)際上是殘差天然的閾值。因而，基于區(qū)間觀測器的FD 方法成為了基于模型FDI 方法的主要方法之一［17-21］。例如，文獻(xiàn)［17］重點(diǎn)比較了基于集論未知輸入觀測器的方法和基于區(qū)間觀測器方法的故障檢測魯棒性。文獻(xiàn)［18］研究了具有有界擾動(dòng)的離散線性變參數(shù)系統(tǒng)的故障檢測問題。

針對執(zhí)行器故障和擾動(dòng)同時(shí)直接影響狀態(tài)方程和輸出方程的系統(tǒng)，本文基于Luenberger 型觀測器和多胞體方法的結(jié)合研究執(zhí)行器故障檢測的問題。設(shè)計(jì)降維觀測器并分析觀測器誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使用多胞體方法提出狀態(tài)的區(qū)間估計(jì)方法，并給出新的殘差構(gòu)造方法，實(shí)現(xiàn)執(zhí)行器故障的檢測。

1 離散系統(tǒng)的問題描述

在給出問題描述之前，先給出一些符號(hào)說明。

假設(shè)A=[aij]∈Rn×m和B=[bij]∈Rn×m，則A≤B?aij≤bij(i=1，…，n；j=1，…，m)。設(shè)A=[aij]∈Rn×m，max(0，A)=[αij]∈Rn×m，而αij=max(0，aij)。?x∈Rn，diag(x)表示以向量x為對角元的n×n階對角方陣。設(shè)M為對稱方陣，M?0表示M為負(fù)定矩陣。

考慮一類受到未知輸入和執(zhí)行器故障影響的離散時(shí)間線性系統(tǒng)

式中：x(k)∈Rn，u(k)∈Rm，y(k)∈Rp和η(k)∈Rq分別為系統(tǒng)狀態(tài)，已知控制輸入，可測量輸出和未知輸入。A∈ Rn×n，B∈ Rn×m，C∈ Rp×n和D∈ Rn×q為已知的常數(shù)矩陣。矩陣B和D為列滿秩，而C為行滿秩，并 有n≥p≥q。不 失 一 般 性，假 設(shè)C=[Ip O]。

假設(shè)1秩條件對所有滿足|s|≥1的復(fù)數(shù)s成立。

對系統(tǒng)（1）中的干擾變量及其系數(shù)矩陣D做假設(shè)，如假設(shè)2。

假設(shè)2針對干擾η(k)，幾乎所有的l≥q成立，有

且對其系數(shù)矩陣D，滿足

引理1［22］假設(shè)1 和假設(shè)2 成立的充分必要條件為：對于任意正定對稱矩陣Q∈ Rn×n，有如式（2）的Lyapunov矩陣代數(shù)方程組：

關(guān)于矩陣L∈ Rn×p和G∈ Rq×p以及正定對稱矩陣P∈ Rn×n有解。

假設(shè)3對初始狀態(tài)x(0)，存在2 個(gè)已知向量。對于未知輸入η(k)，存在2個(gè)已知向量。

定義1n維s階的多胞體Z是單位超立方體Bs=[?1，+1]s（s≥n）的仿射變換：Z=p⊕HBs={p+Hz，z∈Bs}，其中向量p∈Rn是多胞體Z的中心，而H∈Rn×s是多胞體Z的生成矩陣。這里符號(hào)⊕代表閔可夫斯基和。

性質(zhì)1［13］

式中：p，p1，p2∈Rn，H∈Rn×s，H1∈Rn×s1H2∈Rn×s2和L∈Rl×n是具有相應(yīng)維數(shù)的矩陣，符號(hào)⊙代表線性映射。

性質(zhì)2［13］對n維s階多胞體Z=p⊕HBs={p+Hz，z∈Bs} ∈Rn按照歐幾里得范數(shù)降序排列矩陣H的各列得到矩陣。那么有d≤s），其中?d(H)=[Ha Hb]∈ Rn×d，Ha∈ Rn×(d?n)是由的 前d?n列構(gòu)成，而Hb∈ Rn×n是對角矩陣，以1，...n) 作為其對角線元素。其中，代表矩陣的第i行第j列的元素。

性質(zhì)3［13］對n維s階的多胞體Z=p⊕HBs，?x=[x1…xn]T∈Z，有

2 降維未知輸入觀測器設(shè)計(jì)

首先基于一個(gè)等價(jià)變換將原系統(tǒng)分解成2個(gè)子系統(tǒng)，其中一個(gè)子系統(tǒng)對干擾解耦。然后針對干擾解耦的子系統(tǒng)設(shè)計(jì)降維觀測器，在無執(zhí)行器故障發(fā)生的前提下，給出系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)。

對狀態(tài)向量x，矩陣A、B、D、L和式（2）中的P寫成分塊形式

式 中 ：x1∈Rp，x2∈R(n?p)，A11∈Rp×p，A12∈Rp×(n?p)，A21∈R(n?p)×p，A22∈R(n?p)×(n?p)，B1∈Rp×m，B2∈R(n?p)×m，D1∈Rp×q，D2∈R(n?p)×q，L1∈Rp×p，L2∈R(n?p)×p，P11∈Rp×p，和P22∈R(n?p)×(n?p)。

對系統(tǒng)（1）作等價(jià)狀態(tài)變換

其中K∈R(n?p)×p為之后需要確定的參數(shù)矩陣。在該等價(jià)變換下，有

由式（2）的第2 式并注意到C的特別形式可以得到[P12TP22]D=0，這意味著如果選取K=P22?1P12T，就有 [K In-p]D=0。于是得到

定理1在執(zhí)行器無故障發(fā)生的情況下（fa(k)≡0），如果取，則

證明首先，注意到y(tǒng)(k)=z1(k)，然后式（3）的第2式減去式（4）的第1式得到降維觀測器誤差動(dòng)態(tài)方程為

其中W=PL。進(jìn)行矩陣分塊展開，有

再經(jīng)同等的初等行和列變換得到

再由Schur 補(bǔ)引理，知式（6）和式（7）分別等價(jià)于

其中，M=A11+L1+P11?1P12(A21+L2)。即在假設(shè)1和假設(shè)2下，式（8）與式（9）成立。而式（8）意味著式（5）是漸近收斂穩(wěn)定的系統(tǒng)，于是有，證畢。

3 區(qū)間觀測器設(shè)計(jì)與故障檢測

針對式（3）的第1式所決定的關(guān)于z1(k)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，結(jié)合Luenberger型觀測器和多胞體理論，提出一種能估計(jì)y(k)=z1(k)之上下界的區(qū)間觀測器，以此提出一種執(zhí)行器故障檢測方法。

首先，對于式（3）的第1 式，考慮如式（10）的Luneberger型觀測器：

證明事實(shí)上，當(dāng)fa(k)=0 且η(k)=0 時(shí)，誤差方程（11）變?yōu)?/p>

注意到y(tǒng)(k)=z1(k)，因 而。但由于干擾η(k)事實(shí)上的存在（即事實(shí)上η(k)≠0），因而觀測器式（10）無法直接用于執(zhí)行器故障檢測器，因?yàn)橛^測器式（10）對干擾η(k)不具有魯棒性?；谑剑?2）多胞體理論的結(jié)合提出一種對殘差ey(k)的區(qū)間估計(jì)方法，且該區(qū)間估計(jì)在區(qū)間估計(jì)意義下是對干擾魯棒的，以此提出一種執(zhí)行器故障檢測方法。

首先，由等價(jià)狀態(tài)變換知z1(0)=Γx(0)，其中Γ=[Ip 0p×(n?p)]T，于是其中(0)是觀測器式（10）設(shè)定的初值。再根據(jù)引理2知道

證明該引理的結(jié)論可以由多胞體性質(zhì)4直接得到。

定理2在假設(shè)1、假設(shè)2、假設(shè)3 和fa(k)≡0 的前提下，基于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（13），有

其中pk=Mpk?1+Dpη，Hk=[MHk?1DHη]。這里定義?d(H0)=H0，?d(Hk)(k≥1)的定義類似于性質(zhì)2中?d(H)的定義。

其中pk=Mpk?1+Dpη，Hk=[MHk?1DHη]，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，證畢。

推論1在假設(shè)1、假設(shè)2、假設(shè)3 和fa(k)≡0 的前提下，基于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（11），則存在正整數(shù)N0>0，使得

其中pk=Mpk?1+Dpη，Hk=[MHk?1DHη]。這里定義?d(H0)=H0，?d(Hk) (k≥1)的定義，類似于性質(zhì)2中?d(H)的定義。

其中Hε=εIn?p?；谑剑?1），知當(dāng)k≥N0時(shí)，有

根據(jù)性質(zhì)2，記為將矩陣[HkεA12]∈Rp×(d+q+n?p)各列按歐幾里得范數(shù)降序排列而得到。記

由于ε充分小，所以1，...n) 作為其對角線元素。其中，代表矩陣1就是Hk各列按歐幾里得范數(shù)降序排列后取其前d+q列，記為1，...n) 作為其對角線元素。其中，代表矩陣1。而1，...n) 作為其對角線元素。其中，代表矩陣2為εA12的各列按歐幾里得范數(shù)降序排列而得到。根據(jù)性質(zhì)2，有?d([HkεA12])=[HaHb]，其中，Ha為1，...n) 作為其對角線元素。其中，代表矩陣的前d?p列，也就是1，...n) 作為其對角線元素。其中，代表矩陣1的前d?p列。Hb為對角矩陣，其對角元素滿足

所以有

同時(shí)有pk+?d(k)u=pk+Hau1+Hcu2。可見多胞體Z1比多胞體Z2包含的范圍更廣。

證明根據(jù)定理2和性質(zhì)3，不難得出結(jié)論。

由于y(t)=z1(t)，所以有

使得在fa(k)≡0的條件下，有(k)≤y(k)≤(k)。

一個(gè)執(zhí)行器故障檢測邏輯如式（17）：

基于多胞體方法進(jìn)行故障檢測的方案可由圖1簡要描述。

圖1 基于多胞體方法的執(zhí)行器故障檢測方案Fig.1 Actuator fault detection scheme based on Zonotope method

4 仿真案例

對所提出的降維觀測器設(shè)計(jì)方法和基于多胞體理論的執(zhí)行器故障檢測方法給出仿真分析。爐溫采樣控制系統(tǒng)、電樞控制的直流伺服電機(jī)系統(tǒng)等真實(shí)世界中的連續(xù)系統(tǒng)均可進(jìn)行等價(jià)離散化，以方便數(shù)字控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。例如，電樞控制的直流伺服電機(jī)系統(tǒng)可選取角位移、角速度和角加速度作為狀態(tài)變量，以角位移和角速度為輸出，構(gòu)建狀態(tài)方程。參考文獻(xiàn)［22］，系統(tǒng)（1）對應(yīng)的系統(tǒng)矩陣為通過構(gòu)建線性矩陣不等式，可得到代數(shù)矩陣方程（2）的解如下：

將矩陣P和L分塊得到

首先驗(yàn)證無執(zhí)行器故障發(fā)現(xiàn)下的降維觀測器狀態(tài)估計(jì)效果。為此，假設(shè)控制輸入為u(k)=5sin(2k)，未知輸入η(k)=sin(50k)，而fa(k)≡0。在執(zhí)行器無故障發(fā)生時(shí)，根據(jù)定理1，降維觀測器式（4）能產(chǎn)生原系統(tǒng)狀態(tài)x3的漸進(jìn)估計(jì)，其估計(jì)效果由圖2c給出。圖2a 和2b展示了x1和x2的區(qū)間估計(jì)。

圖2 狀態(tài)的區(qū)間估計(jì)與漸近估計(jì)Fig.2 Interval estimation and asymptotic estimation of states

其次，為了體現(xiàn)基于多胞體的執(zhí)行器故障檢測效果，假設(shè)執(zhí)行器故障信號(hào)為

基于式（18）的執(zhí)行器故障檢測方法的故障檢測效果由圖3給出。從圖中可以看出5～15s時(shí)間段內(nèi)執(zhí)行器發(fā)生故障，此時(shí)殘差信號(hào)給出了對應(yīng)的示警。

圖3 存在執(zhí)行器故障時(shí)的殘差信號(hào)Fig.3 Residual signal in the presence of actuator fault

圖4針對多胞體方法（zonotope method，ZM）和傳統(tǒng)的區(qū)間觀測器方法（traditional interval observer method，TIOM）的狀態(tài)區(qū)間估計(jì)和故障檢測效果兩方面進(jìn)行了比較。圖4a展示了2種方法獲取到的上界估計(jì)（upper boundary，UB）和下界估計(jì)（lower boundary，LB）。限于篇幅，僅呈現(xiàn)狀態(tài)x1的區(qū)間估計(jì)?？梢钥吹剑捎诠烙?jì)偏差更小，采用ZM得到的區(qū)間估計(jì)優(yōu)于TIOM。圖4b展示了2種方法構(gòu)建的殘差?？梢?，由ZM法構(gòu)建的殘差對故障更敏感。

圖4 傳統(tǒng)方法與多胞體方法的對比Fig.4 Comparison of traditional method and Zonotope method

5 結(jié)論

針對離散系統(tǒng)研究了降維觀測器設(shè)計(jì)方法及其Luenberger 型觀測器和多胞體理論相結(jié)合的執(zhí)行器故障檢測方法。為了達(dá)到這樣的目的，首先對原系統(tǒng)進(jìn)行合理的狀態(tài)等價(jià)變換，將原系統(tǒng)分解成2 個(gè)子系統(tǒng)。然后針對干擾解耦的子系統(tǒng)，提出了無執(zhí)行器故障發(fā)生時(shí)的降維觀測器設(shè)計(jì)方法。針對輸出動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)，基于多胞體理論和Luenberger 型觀測器的結(jié)合，提出了對輸出誤差的區(qū)間估計(jì)?；谳敵稣`差的區(qū)間估計(jì)，構(gòu)造殘差實(shí)現(xiàn)了執(zhí)行器故障檢測的目的。如何將方法推廣到連續(xù)系統(tǒng)將是下一步的研究議題。

作者貢獻(xiàn)聲明：

朱芳來：項(xiàng)目負(fù)責(zé)人，指導(dǎo)論文構(gòu)思和論文修改。

李銘偉：論文構(gòu)思和論文撰寫。