寧初明，劉永新，沈燦鐸，李燕軍

(軍事科學(xué)院系統(tǒng)工程研究院軍需工程技術(shù)研究所，北京100010)

1 引言

飲食裝備的可維修性是裝備性能的重要組成部分，直接影響著裝備保障性能的有效發(fā)揮，對飲食裝備作業(yè)設(shè)備的可靠性及維修性進(jìn)行試驗(yàn)評估也是驗(yàn)收我軍升級改進(jìn)和新研飲食裝備的重要依據(jù)。在進(jìn)行飲食裝備維修性評估分析時，由于飲食裝備總體規(guī)模偏小、故障和維修數(shù)據(jù)收集不成機(jī)制、維修性試驗(yàn)時間和經(jīng)濟(jì)成本過高等因素限制，飲食裝備的維修性數(shù)據(jù)量通常都難以達(dá)到GJB2072-94中不少于30樣本量的要求，維修性評估過程的小樣本數(shù)據(jù)問題突出。因此，在保證維修性評估效果前提下，如何高效利用小量樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行飲食裝備的維修性評估分析始終是飲食裝備維修性試驗(yàn)與評價研究的熱點(diǎn)話題。

基于Bayes理論的小子樣維修性驗(yàn)證經(jīng)過多年的發(fā)展，其已在裝甲裝備、航空裝備和艦艇導(dǎo)航裝備等領(lǐng)域已有較為廣泛的應(yīng)用[1-3]。本文通過借鑒Bayes小子樣理論和多源信息融合方法在導(dǎo)彈、裝甲裝備等領(lǐng)域的成功應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)[4-6]，提出了一種在小子樣條件下，基于Bayes理論和可信度加權(quán)的多源信息融合理論的飲食裝備維修性評估建模分析方法，這不僅能為我軍現(xiàn)有飲食裝備的科學(xué)維修提供技術(shù)支撐，對減少飲食裝備升級改造和研制過程中的試驗(yàn)次數(shù)，縮短試驗(yàn)周期，降低試驗(yàn)成本等方面也具有重要軍事意義。

2 基于Bayes的小子樣維修性評估模型分析

2.1 維修時間分布模型的確定

維修時間的總體分布的確定是基于Bayes的小子樣維修性評估分析的基礎(chǔ)前提，通過對維修時間的分布擬合和模型檢驗(yàn)可確定維修時間的分布規(guī)律[7-9]。

1)維修時間分布模型擬合

維修時間分布模型的估計(jì)通常采用經(jīng)驗(yàn)分步法和直方圖法等方法來分析處理，而直方圖法一般適用于連續(xù)數(shù)據(jù)的分析，在基于Bayes的小子樣維修性評估分析中應(yīng)用較為廣泛。

假定維修時間為Y=[y1，y2，…yn]，其概率密度為f，則采用直方圖法估計(jì)維修時間總體分布的過程如下：

①樣本分組數(shù)

K=[1+3.32·ln(n)]

(1)

式中：[·]為向上取整。

②樣本區(qū)間分點(diǎn)和區(qū)間間隔

在區(qū)間[a，b)的維修時間的區(qū)間間隔Δ如式(2)所示。

(2)

則區(qū)間[a，b)的各區(qū)間間隔分點(diǎn)如式(3)所示。

(3)

③樣本頻數(shù)和頻率

令樣本Y中數(shù)據(jù)在各小區(qū)間的個數(shù)為頻數(shù)ni(i=1，2，…，n)，則各頻數(shù)對應(yīng)的頻率fi如式(4)所示。

(4)

④維修時間分布直方圖

根據(jù)維修時間樣本Y的區(qū)間劃分和頻數(shù)情況，繪制維修時間的分布直方圖，并擬合出維修時間的近似概率密度曲線f(x)。

2)維修時間分布模型檢驗(yàn)

判斷維修時間總體分布模型后，需對分布模型進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，通常采用適用于小樣本數(shù)據(jù)檢驗(yàn)的柯爾莫哥洛夫檢驗(yàn)法(K～S檢驗(yàn)法)。飲食裝備維修時間一般為對數(shù)正太分布，則可利用柯爾莫哥洛夫檢驗(yàn)法對維修時間分布模型進(jìn)行檢驗(yàn)。

對維修時間樣本Y取對數(shù)并從小大順序排序可得到新的維修時間樣本X=[x1，x2，…xn]，則令樣本X總體分布服從正太分布N(μ，δ2)。

(5)

(6)

則樣本X的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)如式(7)所示。

(7)

經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)與理論分布函數(shù)F(x)的最大偏差n如式(8)所示。

(8)

由給定的顯著性水平α查表可得臨界值nα，則對假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)：若n

2.2 基于可信度加權(quán)的多源驗(yàn)前分布確定

由于樣本數(shù)據(jù)的小子樣特性，需確定樣本數(shù)據(jù)的驗(yàn)前分布密度。

1)單一信息源驗(yàn)前分布

采用精確度較高的隨機(jī)加權(quán)法來計(jì)算先驗(yàn)分布，其算法實(shí)現(xiàn)過程如下：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

2)基于可信度加權(quán)的多源信息融合

采用對服從對數(shù)正太分布的多源信息融合效果優(yōu)良且計(jì)算合理方便的基于可信度加權(quán)的融合理論來對飲食裝備的歷史維修時間數(shù)據(jù)和不同型號維修時間數(shù)據(jù)等多種信息源進(jìn)行加權(quán)融合得到信息源的驗(yàn)前分布[10-11]，再經(jīng)Bayes理論修正后得到信息源的驗(yàn)后概率密度函數(shù)。

假設(shè)飲食裝備的初始信息源數(shù)量為m，采用信息源與中心數(shù)據(jù)的波動程度Si作為多源信息融合的可信度權(quán)重引子，Si越小表明數(shù)據(jù)可信度越高，則Si可由式(14)和式(15)所示獲得

(14)

(15)

對可信度權(quán)重引子進(jìn)行歸一化處理，第i個信息源權(quán)重wi為可由式(16)和式(17)所示獲得。

(16)

(17)

則信息源融合后的驗(yàn)前密度π(θ)可由式(18)所示獲得

(18)

式中：θi為第i個信息源的分布參數(shù)。

通過現(xiàn)場試驗(yàn)得到試驗(yàn)樣本Θ=(θ1，θ2，…，θn)，令f(θi|θ)為第i個試驗(yàn)信息的似然函數(shù)，則可得如式(19)所示的試驗(yàn)樣本Θ的似然函數(shù)

(19)

則由Bayes理論可得如式(20)所示的修正后的信息源驗(yàn)后概率密度函數(shù)π(θ|Θ)

(20)

2.3 基于Bayes的維修性評估模型驗(yàn)證

表1 維修性評估模型驗(yàn)證主要參數(shù)

作如式(21)的假設(shè)

(21)

式中：θ0為合同給出的平均維修時間指標(biāo)值。

1)一致性檢驗(yàn)

假設(shè)的驗(yàn)前概率比如式(22)所示

(22)

由Bayes公式及式(22)可得如式(23)所示的假設(shè)的驗(yàn)后概率比為

(23)

(24)

也即

(25)

當(dāng)式(24)成立時，認(rèn)為平均維修時間MTTR符合要求，即接受原假設(shè)，否則拒絕。

1)樣本量確定

(26)

(27)

2)定義如式(28)和式(29)所示的類風(fēng)險α、β。

(28)

(29)

P0、P1為H0、H1的驗(yàn)前概率密度，其表達(dá)式如式(28)和式(29)所示

(30)

P1=1-P0

(31)

由式(28)和式(29)可得采用Bayes理論進(jìn)行維修性評估所需的最小試驗(yàn)樣本量如式(32)所示

(32)

式中：Z為標(biāo)準(zhǔn)正太分布的上分為點(diǎn)。

則采用Bayes理論和經(jīng)典方法進(jìn)行維修性評估所需的試驗(yàn)樣本關(guān)系如式(33)所示

(33)

由式(33)可知，采用Bayes理論的維修性評估可有效減小試驗(yàn)樣本量，這表明基于Bayes的小子樣維修性評估是可行的。

3 基于Bayes的平均維修時間估計(jì)

(34)

(35)

(36)

平均維修時間的均值和方差的Bayse估計(jì)[8]如式(37)和式(38)所示

Em(θ|X)(x)=μ1

(37)

(38)

則均值θ在置信度為1-α?xí)r的區(qū)間估計(jì)[a，b]應(yīng)滿足式(39)的關(guān)系。

(39)

則均值θ的置信下界a和置信上界b應(yīng)滿足式(40)和式(41)的關(guān)系

(40)

(41)

則均值θ的置信下界a和置信上界b分別如式(42)和式(43)所示

(42)

(43)

則平均維修時間在置信度為1-α?xí)r的區(qū)間估計(jì)[Ta，Tb]的時間下界Ta和上界Tb分別如式(44)和式(45)所示

(44)

(45)

4 飲食裝備維修性驗(yàn)證與評估分析

以某型飲食裝備關(guān)鍵系統(tǒng)維修性為研究對象，其歷史平均維修時間數(shù)據(jù)TL、相似型號平均維修時間TX和現(xiàn)場試驗(yàn)數(shù)據(jù)TT分別如式(44)、式(45)和式(46)所示，維修性主要參數(shù)如表2所示

TL=[26，14，21，30，70，69，20，21，18，65，24](min)

(46)

TX=[16，35，26，16，40，28，42，33，

(47)

TT=[13，26，10，50，21，31，42，30，46](min)

(48)

表2 飲食裝備維修性的主要參數(shù)

4.1 平均維修時間總體分布

從圖1可初步認(rèn)為歷史平均維修時間服從對數(shù)正太分布，下面利用K～S檢驗(yàn)法對歷史平均維修時間分布模型進(jìn)行檢驗(yàn)。

圖1 歷史平均維修時間分布直方圖

將TL取對數(shù)并按從小到大排序可得樣本XL～N(μ，σ2)，則K～S檢驗(yàn)的主要數(shù)值如表3所示。

表3 飲食裝備平均維修時間K～S檢驗(yàn)

4.2 多源信息融合的驗(yàn)前分布確定

對歷史平均維修時間和相似型號平均維修時間采用隨機(jī)加權(quán)法對其均值進(jìn)行3000次仿真分析，可得如圖2和圖3所示的仿真分布圖。

圖2 歷史數(shù)據(jù)驗(yàn)前分布仿真直方圖

則通過仿真擬合可得歷史平均維修時間和相似型號平均維修時間的驗(yàn)前分布分別如式(49)和式(50)所示。

圖3 相似型號數(shù)據(jù)驗(yàn)前分布仿真直方圖

π1(θ)～N(3.3735，0.57722)

(49)

π2(θ)～N(3.2592，0.46032)

(50)

由式(15)可知兩組數(shù)據(jù)的可信度權(quán)重引子Si分別為S1=0.307、S2=0.1993，由式(17)可得其權(quán)重因子wi分別為w1=0.4785、w2=0.5215。則由式(18)可得融合后的驗(yàn)前如式(51)所示

π(θ)～N(3.313，0.13482)

(51)

4.3 基于Bayes的平均維修時間評估模型驗(yàn)證

則維修性評估驗(yàn)證的判決規(guī)則為：若現(xiàn)場試驗(yàn)5次維修時間的對數(shù)均值滿足式(52)

=4.4568

(52)

則認(rèn)為符合維修性要求，否則拒絕。

采用Bayes理論進(jìn)行平均維修時間評估所需的最小試驗(yàn)樣本量遠(yuǎn)小于GJB2072-94中30個以上樣本要求，因此可以說基于Bayes理論的維修性評估可顯著減少所需試驗(yàn)樣本量。

4.4 基于Bayes的平均維修時間估計(jì)

(53)

(54)

則由式(44)和式(45)可得在置信度為0.95時的平均維修時間區(qū)間估計(jì)的下界Ta和上界Tb分別如式(55)和式(56)所示

(55)

(56)

同理可求得置信水平為0.90、0.80時平均維修時間的Bayes估計(jì)，其具體計(jì)算結(jié)果如表4所示。由表4可知，現(xiàn)場試驗(yàn)樣本得到的平均維修時間點(diǎn)估計(jì)與合同給出的平均維修時間基本一致，這表明采用Bayes的平均維修時間估計(jì)方法是有效的，且隨著置信水平的下降，平均維修時間估計(jì)區(qū)間范圍也在縮小。因此，在飲食裝備維修性的置信水平確定后可求取平均維修時間估計(jì)區(qū)間，若現(xiàn)場維修時間在平均維修時間估計(jì)區(qū)間即可認(rèn)為飲食裝備的可維修性達(dá)到規(guī)定要求。

表4 平均維修時間的Bayes估計(jì)

5 結(jié)語

本文以小子樣的飲食裝備維修性為研究對象，利用Bayes理論對飲食裝備維修性進(jìn)行了驗(yàn)證分析，并對不同置信水平下的平均維修時間進(jìn)行了評估分析。結(jié)果表明，采用Bayes理論的維修性評估可顯著減少所需試驗(yàn)樣本量，從而可有效降低試驗(yàn)次數(shù)，縮短試驗(yàn)周期；利用Bayes方法進(jìn)行平均維修時間估計(jì)是可行的，且隨著置信水平的下降，平均維修時間估計(jì)區(qū)間范圍也在縮小。