史 燕，吳 璞，2

(1. 太原工業(yè)學(xué)院機(jī)械工程系，山西 太原 030008；2. 中北大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030051)

1 引言

數(shù)控機(jī)床的加工精度在制造業(yè)和裝備業(yè)不斷發(fā)展的背景下逐漸提高，目前常用的數(shù)控機(jī)床大部分都屬于兩軸聯(lián)動(dòng)，在加工過(guò)程中，該類數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)軌跡都是一個(gè)方向，容易出現(xiàn)參數(shù)不匹配、負(fù)載擾動(dòng)和機(jī)械系統(tǒng)效率低的問(wèn)題，加大了數(shù)控機(jī)床的跟隨誤差和運(yùn)動(dòng)輪廓誤差[1]。為了解決兩軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床的問(wèn)題，提出了多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床，被廣泛地應(yīng)用在精密模具、航海和航天等加工領(lǐng)域中[2]。受伺服系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性、電氣控制和機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)等因素的影響，多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床在加工運(yùn)動(dòng)過(guò)程中無(wú)法避免運(yùn)動(dòng)誤差的產(chǎn)生，因此，需要研究數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償方法。

陳維范[3]等人首先檢測(cè)了數(shù)控機(jī)床X進(jìn)給軸熱誤差和主軸熱誤差，采用最小二乘法根據(jù)檢測(cè)的誤差建立熱誤差模型，對(duì)數(shù)控機(jī)床在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的誤差展開實(shí)時(shí)補(bǔ)償，該方法沒有構(gòu)建數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)軌跡方程，在橢圓測(cè)試過(guò)程中獲得的誤差補(bǔ)償曲線與理想?yún)^(qū)域之間的偏差較大，存在誤差補(bǔ)償精度低的問(wèn)題。郭世杰[4]等人在齊次坐標(biāo)變換方法和多體系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)上構(gòu)建誤差空間模型，結(jié)合遺傳算法和牛頓迭代法完成誤差補(bǔ)償，該方法在螺旋旋轉(zhuǎn)體控制過(guò)程中無(wú)法控制多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床的加工精度，表明該方法的誤差補(bǔ)償效果差。黃智[5]等人利用熱成像儀確定數(shù)控機(jī)床的溫度敏感點(diǎn)，在敏感點(diǎn)處設(shè)置溫度傳感器，獲取數(shù)控機(jī)床在工作狀態(tài)下的熱特性數(shù)據(jù)，根據(jù)獲取的數(shù)據(jù)構(gòu)建誤差模型，結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償，該方法的運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償結(jié)果受多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)速度的影響較大，存在適應(yīng)性差的問(wèn)題。

為了解決上述方法中存在的問(wèn)題，提出多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償方法。

2 數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)分析

2.1 數(shù)控機(jī)床聯(lián)動(dòng)運(yùn)動(dòng)軌跡

受阻尼、剛度和摩擦等因素的影響，在實(shí)際加工過(guò)程中，數(shù)控機(jī)床在工作狀態(tài)下的實(shí)際輸出與預(yù)期輸出不一致，數(shù)控機(jī)床在不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下產(chǎn)生的誤差也不相同，多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床在上述狀態(tài)下容易出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)誤差。

用Ke表示位置編碼器產(chǎn)生的脈沖數(shù)；Kp表示控制器在工作狀態(tài)下產(chǎn)生的位置增益；用Kd表示數(shù)控機(jī)床的數(shù)模轉(zhuǎn)換系數(shù)；用Kb表示反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)；用Ra表示電樞回路在系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)的電阻。為方便多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差的計(jì)算，多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償方法通過(guò)二階模型描述多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)[6，7]，如圖1所示。

圖1中，D代表的是微分算子；J描述的是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Kn代表的是數(shù)控機(jī)床在工作狀態(tài)下的速度反饋系數(shù)；Ks為速度調(diào)節(jié)器在多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)中產(chǎn)生的增益；Kq為電機(jī)力矩常數(shù)。

圖1 多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型

根據(jù)圖1構(gòu)建多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)的速度環(huán)控制模型E(S)

(1)

式中，υ代表的是時(shí)間常數(shù)；Lm代表的是單位電壓在數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)中的電機(jī)轉(zhuǎn)速，其計(jì)算公式分別如下

(2)

用Hk表示位置控制開環(huán)在多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)中的傳遞函數(shù)，其表達(dá)式如下

(3)

式中，K=KpKdKmKe代表的是位置閉環(huán)控制在多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)中產(chǎn)生的開環(huán)增益。通過(guò)二階模型H(S)簡(jiǎn)化數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

(4)

式中，ξn=(K/υ)1/2、α=(Kυ)-1/2/2。

分別用xi(t)=Tcos(ξt)、yi(t)=Tsin(ξt)表示多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床x軸和y軸在加工過(guò)程中的輸入，其對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出xo(t)、yo(t)可通過(guò)下式計(jì)算得到

(5)

式中，ξ代表的是軌跡對(duì)應(yīng)的角速度；Tx、Ty分別代表的是x軸和y軸在數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)中的輸出幅值；ξnx、ξny分別代表的是x軸和y軸在數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)中的固有頻率；φx、φy分別代表的是x軸和y軸在數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)中產(chǎn)生的滯后相位；ξx、ξy分別表示x軸和y軸對(duì)應(yīng)的阻尼比。

根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，構(gòu)建如下多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)軌跡方程[8，9]

(6)

令αx=αy=α、ξnx=ξny=ξn、φx=φy，可將上式轉(zhuǎn)化為

(7)

2.2 運(yùn)動(dòng)誤差

研究表明，機(jī)械因素和電氣因素都會(huì)影響多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)誤差，運(yùn)動(dòng)誤差由兩個(gè)部分構(gòu)成，分別是跟隨誤差和輪廓誤差[10，11]。根據(jù)多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)軌跡計(jì)算其運(yùn)動(dòng)誤差。

用Q1(xi，yi，zi)、Q2(xi+1+m，yi+1+m，zi+1+m)表示曲線運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)；分別用rkx、rky、rkz，φkx、φky、φkz表示x軸、y軸和z軸在多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的跟隨誤差分量和輪廓誤差分量，此時(shí)存在下式

(8)

式中，rk代表的是跟隨誤差；φk代表的是輪廓誤差；γ代表的是曲線運(yùn)動(dòng)位置在t時(shí)刻與z軸之間存在的夾角；?代表的是運(yùn)動(dòng)曲線在t時(shí)刻與y軸之間存在的夾角。

在式(8)的基礎(chǔ)上計(jì)算誤差φ：

φ=-φsinγsin ?sin ?+

φsinγcos ?cos ?+φcosγcosγ

(9)

令Rx=φsinγsin ?、Ry=φsinγcos ?、Rz=φcosγ、Vx=sin ?、Vy=cos ?、Vz=cosγ，結(jié)合上述公式，通過(guò)下式計(jì)算多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差φ

φ=-RxVx+RyVy+RzVz

(10)

3 運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償

采用PID控制器[12，13]對(duì)上述過(guò)程計(jì)算得到的運(yùn)動(dòng)誤差進(jìn)行補(bǔ)償。將運(yùn)動(dòng)誤差φ(t)作為PID控制器的調(diào)節(jié)對(duì)象，用yout(t)表示數(shù)控機(jī)床的輸出值，用rin(t)表示數(shù)控機(jī)床的設(shè)定值，此時(shí)運(yùn)動(dòng)誤差φ(t)可以表示為φ(t)=rin(t)-yout(t)。

用Tc表示PID控制器的微分時(shí)間常數(shù)，在PID控制器中對(duì)運(yùn)動(dòng)誤差φ(t)展開微分操作、積分操作和比例操作，獲得PID控制器的控制信號(hào)i(t)

(11)

式中，Ti為PID控制器的積分時(shí)間常數(shù)；lp描述的是比例系數(shù)。

在拉氏變換的基礎(chǔ)上構(gòu)建如下傳遞函數(shù)：

(12)

針對(duì)PID控制器中的微分，所提方法用兩個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)誤差變化曲線上的連線斜率進(jìn)行表示，針對(duì)PID控制器中存在的積分，所提方法用分割矩形面積表示

(13)

式中，φ(l-1)、φ(l)分別代表的是第l-1個(gè)采樣時(shí)刻和第l個(gè)采樣時(shí)刻多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)偏差。

用lD表示數(shù)字式PID控制器的微分系數(shù)，此時(shí)可將數(shù)字式PID控制器表示為

(14)

式中，lI描述的是積分系數(shù)；lp代表的是比例系數(shù)。

為了避免PID控制信號(hào)過(guò)大或過(guò)小，提高誤差補(bǔ)償精度，所提方法在PID控制器優(yōu)化過(guò)程中引入粒子群優(yōu)化算法[14，15]，對(duì)lI、lp、lD展開優(yōu)化，具體優(yōu)化過(guò)程為：

1)初始化處理粒子群算法中的相關(guān)參數(shù)。

3)每個(gè)粒子通過(guò)適應(yīng)度函數(shù)獲得對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值Ki。

4)獲取每個(gè)粒子和全部粒子在尋優(yōu)過(guò)程中的最佳位置Xibest、Xzbest，通過(guò)適應(yīng)度函數(shù)獲得對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值Kibest、Kzbest。

當(dāng)Ki

5)通過(guò)下式完成粒子速度的更新

Vi=ωVi+v1rand()×(gbesti-Xi)

+rand()×(zbesti-Xi)

(15)

式中，ω代表的是慣性因子；zbesti、gbesti分別代表的是全部粒子和每個(gè)粒子對(duì)應(yīng)的最優(yōu)適應(yīng)度值；v1、v2代表的是學(xué)習(xí)因子；rand()表示隨機(jī)數(shù)，在區(qū)間[0，1]內(nèi)取值。

利用下式完成粒子位置的更新

Xi=Xi+Vi

(16)

6)設(shè)置粒子群優(yōu)化算法的最大迭代次數(shù)M，當(dāng)粒子群優(yōu)化算法滿足最大迭代次數(shù)時(shí)，輸出優(yōu)化后的PID控制器參數(shù)，完成參數(shù)優(yōu)化。

將多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差輸入優(yōu)化后的PID控制器中，完成運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償。

4 實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償方法的整體有效性，需要對(duì)其展開測(cè)試，將文獻(xiàn)[3]方法和文獻(xiàn)[4]方法作為對(duì)比方法。在MATLAB軟件中展開數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償測(cè)試，表1為數(shù)控機(jī)床基本參數(shù)。

表1 數(shù)控機(jī)床基本參數(shù)

將上述參數(shù)輸入至仿真軟件中，圖2為模擬界面。

使數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)速度保持不變，采用所提方法、文獻(xiàn)[3]方法和文獻(xiàn)[4]方法在半徑35mm和12mm條件下展開橢圓測(cè)試，結(jié)果如圖3所示。

圖2 仿真界面

由圖3可知，在不同半徑條件下，所提方法補(bǔ)償后的數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)輪廓與理論曲線基本相符，而文獻(xiàn)[3]方法和文獻(xiàn)[4]方法補(bǔ)償后的數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)輪廓與理論曲線之間存在較大偏差，因?yàn)樗岱椒ㄍㄟ^(guò)粒子群算法優(yōu)化了PID控制器，利用優(yōu)化后的PID控制器補(bǔ)償多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)誤差，降低了數(shù)控機(jī)床在工作過(guò)程中產(chǎn)生的顫動(dòng)造成的誤差。

圖3 橢圓測(cè)試結(jié)果

在相同測(cè)試平臺(tái)中，將數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)速度控制為5m/min，采用所提方法、文獻(xiàn)[3]方法和文獻(xiàn)[4]方法展開螺旋旋轉(zhuǎn)體測(cè)試，對(duì)比上述方法的誤差補(bǔ)償精度，測(cè)試結(jié)果如圖4所示。

由圖4可知，文獻(xiàn)[3]方法和文獻(xiàn)[4]方法在螺旋旋轉(zhuǎn)體測(cè)試過(guò)程中獲得的曲線與理論曲線之間的偏差高于所提方法，因?yàn)樗岱椒ㄑa(bǔ)償數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)誤差之前，構(gòu)建了多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)軌跡方程，根據(jù)軌跡方程計(jì)算多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)誤差，提高了誤差計(jì)算精度，進(jìn)而提高了多軸聯(lián)動(dòng)的誤差補(bǔ)償精度，可精準(zhǔn)地完成螺旋旋轉(zhuǎn)體測(cè)試。

圖4 螺旋旋轉(zhuǎn)體測(cè)試

對(duì)比不同方法補(bǔ)償后在x軸、y軸中的運(yùn)動(dòng)誤差，測(cè)試結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，文獻(xiàn)[3]方法和文獻(xiàn)[4]方法的運(yùn)動(dòng)誤差隨著多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)速度的提高不斷增大，表明以上兩種方法的運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償結(jié)果受數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)速度影響較大，所提方法在x軸和y軸中的運(yùn)動(dòng)誤差均控制在±0.1mm以內(nèi)，表明所提方法的運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償精度較高，且所提方法的運(yùn)動(dòng)誤差不隨著數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)速度的提高而增大，表明所提方法的運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償結(jié)果不受多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)速度的影響。

圖5 不同方法補(bǔ)償后的運(yùn)動(dòng)誤差

5 結(jié)束語(yǔ)

多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床的機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率在機(jī)床高速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到限制，導(dǎo)致機(jī)床出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)誤差，為了提高多軸數(shù)控機(jī)床的加工精度，需要補(bǔ)償多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的誤差。目前數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償方法的誤差補(bǔ)償精度低且受機(jī)床運(yùn)動(dòng)速度的影響較大，提出多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償方法，該方法根據(jù)機(jī)床運(yùn)動(dòng)軌跡方程計(jì)算運(yùn)動(dòng)誤差，采用優(yōu)化后的PID控制器完成運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償，可有效完成橢圓控制和螺旋旋轉(zhuǎn)體控制，誤差補(bǔ)償結(jié)果不受機(jī)床運(yùn)動(dòng)速度的影響，為多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床的應(yīng)用與發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。