許如賓，杜德琪，蔣婉玥2，，劉曉瑞2，*

(1. 青島大學(xué)自動化學(xué)院，山東 青島266071；2. 青島大學(xué)未來研究院，山東 青島266071)

1 引言

目前機器人應(yīng)用于各種生產(chǎn)與制造部門，不同的應(yīng)用對機器人工作空間與靈活性提出了多樣化的要求[1]。以電磁兼容測試領(lǐng)域為例，近年來為了應(yīng)對在電磁干擾(Electromagnetic Interference，EMI)檢測與定位等方面的挑戰(zhàn)，國內(nèi)外學(xué)術(shù)界在合成孔徑雷達成像、微波近場掃描等方面進行了大量的研究與研發(fā)[2]，其研究的重點就是使檢測并重建受測系統(tǒng)在空間域中的電磁干擾分布[3]，典型案例如美國的雙臂測試系統(tǒng)(Large Antenna Positioning System，LAPS)以及NSI-MI公司提出機器人天線檢測系統(tǒng)(Robotic Antenna Measurement System，RAMS)[4]等。

在電磁兼容檢測過程中，機器人通過抓取檢測天線完成對目標(biāo)輻射源的檢測與定位。由于機器人在掃描過程中受測設(shè)備輻射特征、檢測天線(或探頭)極化方向等條件約束，使得機器人的檢測/掃描模式會受到自身工作空間可達性的限制[5]，這一問題在針對小型電子設(shè)備或在緊縮型全波暗室內(nèi)進行檢測時表現(xiàn)得尤為明顯。目前對于多關(guān)節(jié)機器人的運動學(xué)求解與路徑規(guī)劃問題研究較多[6]，但是對于特定末端姿態(tài)約束下的機器人的可達性與靈活性求解方法仍需進一步探索。本文將六軸機器人與微波近場成像(ESM)技術(shù)相結(jié)合，在給定末端檢測天線姿態(tài)的前提下，利用對偶四元數(shù)法對機器人的空間工作區(qū)與靈活性進行了分析討論，并通過DoE(Design of Experiment)方法提出了對機器人的尺寸與構(gòu)型優(yōu)化的方法。以上結(jié)果可以為電磁檢測方向的機器人選型提供指導(dǎo)，并為掃描控制策略的設(shè)計提供依據(jù)。

2 ESM模型與機器人運動學(xué)建模

ESM技術(shù)來源于合成孔徑雷達成像原理[7]，主要用于對高速電子設(shè)備的電磁干擾(EMI)的檢測。在檢測過程中，使用多關(guān)節(jié)機器人抓持探頭在空間范圍內(nèi)進行平面或扇面掃描，其系統(tǒng)如圖1所示。

在獲取了受測設(shè)備夫瑯禾費衍射區(qū)域(距離受測輻射體3～5 λ)內(nèi)的輻射強度與相位分布后，ESM的成像算法可以通過式(1)表示：

圖1 六軸機器人柱面ESM掃描示意圖

(1)

式(1)的前提是掃描與電磁輻射源平面都平行于x-y平面，而Z0表示兩個平面間的距離。通過在有限空間內(nèi)采集受測電子設(shè)備的平面輻射強度與相位分布，可以同時探測受測設(shè)備的表面EMI輻射精度與遠(yuǎn)場EMI輻射強度。由于近場掃描中探頭的極化特征、探頭校正等參數(shù)是固定的，這就要求對機器人的末端三維姿態(tài)給予閉鎖(探頭姿態(tài)H)，并在此約束下對機械臂掃描進行規(guī)劃與控制。

2.1 機器人運動學(xué)建模及工作空間分析

本文使用Elfin5型6自由度機器人作為研究與試驗對象，其實物及各參數(shù)見圖2。其中zi指示關(guān)節(jié)軸線方向，xi，yi與zi滿足右手螺旋法則，連桿轉(zhuǎn)角qi表示繞zi軸旋轉(zhuǎn)角度，連桿距離di表示沿zi軸平移距離，ai表示沿xi軸平移距離，連桿扭角αi表示zi繞xi+1軸旋轉(zhuǎn)角度，θi表示各個關(guān)節(jié)可以自由旋轉(zhuǎn)的角度(1≤i≤6)。據(jù)圖2所建立的Elfin5機器人結(jié)構(gòu)模型，表1給出D-H參數(shù)。

圖2 Elfin5機器人結(jié)構(gòu)圖

表1 D-H參數(shù)表

基于以上構(gòu)建的運動學(xué)模型，將表(1)參數(shù)代入，可得正運動學(xué)計算公式如式(2)所示。i-1Ti代表坐標(biāo)系i-1變換到坐標(biāo)系i的齊次變換矩陣。ScrewQ(r，?)代表沿Q軸平移r，再繞Q軸旋轉(zhuǎn)角度?的組合變換，可由D-H表推導(dǎo)得到。

i-1Ti=TRZ(θi)TZ(di)TX(ai-1)TRX(αi-1)

=ScrewZ(di，θi)ScrewX(ai-1，αi-1)

(2)

其中：si=sinqi，ci=cosqi；

基于以上計算，可以求解相對于基座坐標(biāo)系下末端執(zhí)行器中點的位姿矩陣0T6，見式(3)。

(3)

(4)

在式(4)中，可以利用左右兩側(cè)第3、4列元素之間存在的線性關(guān)系求解出運動學(xué)逆解。

由于實際應(yīng)用存在各種物理或軟件上的約束，六軸機器人會存在先天的末端不可達區(qū)域。本文以ESM天線水平極化方向作為末端姿態(tài)約束，以Elfin5機器人的關(guān)節(jié)限制角度(q2，q3∈[-3/4π，3/4π])作為物理約束條件。在此約束條件下，相對于基座坐標(biāo)系下末端執(zhí)行器中點的位姿矩陣0T6保持為沿著基坐標(biāo)系的x正方向。

在保持給定末端姿態(tài)基礎(chǔ)上，基于蒙特卡洛法隨機取點并代入機器人運動學(xué)逆解公式，繪制出機器人末端姿態(tài)固定且關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度受限的可達區(qū)域圖，見圖3。任意選取某一剖面進行可達性分析，其內(nèi)部存在不可達區(qū)域。

通過上述分析，機器人在進行水平極化方向ESM檢測時，其工作空間中存在不可達區(qū)域。由于機械臂末端執(zhí)行器的天線極化方向具有對偶性，本文只針對水平末端姿態(tài)這一約束條件進行分析。下文將對不可達區(qū)域進行建模分析。

圖3 利用蒙特卡洛法確定的可達區(qū)域

2.2 不可達區(qū)域的建模

前文對機器人逆運動學(xué)已經(jīng)進行求解，部分結(jié)果如下

q3=arctan2[(ks23-hc23)/a2，(kc23+ns23+d4)/(-a2)]

(5)

式中

s23=sin(q2-q3)，c23=cos(q2-q3)

k=d6az+d1-pz

h=-d6axc1-d6ays1+pxc1+pys1

n=-d6axc1-d6ays1+pxc1+pys1

從式(5)可知，第三關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)角度與空間中的任意點(px，py，pz)存在映射關(guān)系。本文在確定px=-0.13m，平行于YOZ的平面上密集取點，繪制該平面上第三關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度，其中縱坐標(biāo)軸代表各點的第三關(guān)節(jié)的角度，見圖(4)。

圖4表明：該平面上第三關(guān)節(jié)角度以某一點為最小值且第三關(guān)節(jié)角度梯度呈圓環(huán)狀向外擴散而縮小，該平面上不可達區(qū)域為圓形。由于機器人運動過程中存在物理約束，在圖4中表現(xiàn)為第三關(guān)節(jié)角度小于-153° 的區(qū)域是不可達區(qū)域。對px取不同值分析，發(fā)現(xiàn)不同取值下的不可達區(qū)域都為圓形，故推測不可達區(qū)域為球形區(qū)域。對不可達區(qū)域的三個坐標(biāo)軸進行分析，確定三視圖邊界各點取值并進行最小二乘法擬合，最終確定的圓心及半徑數(shù)據(jù)見表2。

圖4 剖面上第三關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度

設(shè)最小二乘圓的方程如式(6)所示，令殘差項如式(7)所示

x2+y2+ax+by+c=0

(6)

(7)

基于以上設(shè)定，模型如式(8)所示。模型中F的偏導(dǎo)數(shù)必須滿足最小化條件如式(9)所示。設(shè)圓心坐標(biāo)為(A，B)，圓的半徑為R，則R如式(10)所示

(8)

(9)

(10)

由此，可以得到機器人不可達區(qū)域的邊界擬合圖，如圖(5)所示。

圖5 不可達區(qū)域三視圖邊界擬合

表2 邊界擬合圓心及半徑

從擬合結(jié)果看，不可達區(qū)域可以在一定的誤差允許范圍內(nèi)當(dāng)成球體，下面驗證該結(jié)論的準(zhǔn)確性。為了方便進行驗證，做出如下近似取值：球心O(-0.185，0，0.215)，半徑為R。按照一定的步長選取不同的半徑R，均勻地在球面上取點并遍歷，判斷是否滿足條件q3≤-153°，確定滿足條件的點的個數(shù)，繪制出圖(7)中A曲線。再繪制出(1000R)2的曲線，見圖6a中曲線B(圖6b為圖6a中黑圈部分的放大圖)。

從圖6中可以發(fā)現(xiàn)，兩條曲線在R=0.2m附近出現(xiàn)重合，結(jié)合局部放大圖進行分析，可以證明在一定誤差允許前提下，認(rèn)為該不可達區(qū)域為球體，半徑R=0.196m。

圖6 機械臂不可達球域隨采樣點數(shù)的變化趨勢

本小節(jié)可以說明，在保持機器人末端姿態(tài)固定的情況下，其工作空間內(nèi)部存在不可達球域，且該不可達球域與機器人物理約束相關(guān)。

2.3 對不可達區(qū)域邊界尺寸的證明

參照D-H參數(shù)確定過程，將繞z軸旋轉(zhuǎn)量q，沿z軸平移量d，繞x軸旋轉(zhuǎn)量α，沿x軸平移量a的坐標(biāo)間的變換用對偶四元數(shù)表示為

i-1i-1

(11)

其中

由此得到對偶四元數(shù)變換方程如式(12)所示，對式(13)進行變量分離，可得式(15)。

112233445566=

(12)

(13)

1=u1+u2i+u3j+u4k+ε(u5+u6i+u7j+u8k)

(14)

(15)

根據(jù)對偶四元數(shù)對應(yīng)相等，可以知道ui=vi，uk=vk(i=1，2，3，4；k=5，6，7，8)，得到

Dj=EjRj=1，2

(16)

根據(jù)矩陣對應(yīng)相等，取式(16)前4個方程。

x1=cos(q5/2)cos(q6/2)

x2=sin(q5/2)cos(q6/2)

x3=cos(q5/2)sin(q6/2)

x4=sin(q5/2)sin(q6/2)

求解后將這4個量代入式(16)的后4個方程。

gk(t1t2t3t4)=0k=1，2，3，4

(17)

(18)

G1(w，a，y，z)，G2(w，a，b，z) ，G3(w，a，b，c)

將式(18)展開得式(19)。

δ=MD6×6NT=0s.t|D6×6|=0

M=[a2b，ab，b，a2，a，1]

N=[z2y，yz，y，z2，z，1]

(19)

矩陣D6×6為只含有w的矩陣，即Dixon矩陣。代入具體數(shù)值后矩陣D6×6每行分子分母關(guān)于變量w的最高次數(shù)為[4，0，0，4，0，0]，總和為8，即該機器人一共有8組逆解。

通過對本小節(jié)的分析可知，前文已求出全部8組逆解，并不存在漏解情況，證明求出的不可達區(qū)域是最小不可達區(qū)域。

3 ESM機器人不可達區(qū)域尺度影響因子探究

DoE是一種實驗設(shè)計的方法，通過對輸出參數(shù)的量化分析，尋找最關(guān)鍵的因素[10]。本節(jié)采用全因子設(shè)計法來分析各種因子對半徑R的影響程度。根據(jù)式(20)可以將式(5)進行簡化，并表示為式(21)。

(20)

R=f4(d1，d4，d6，a2，ax，ay)

(21)

據(jù)式(23)影響半徑R的因子共6種，對每種因子采取兩水平測試，進行64次試驗，記錄下各因子不同水平半徑R的值，進行全因子分析。因子作用表示單個或多個因子共同作用，p值小于0.005代表該作用項為顯著作用項，對半徑R起關(guān)鍵影響。部分結(jié)果如表3所示。

通過表3可知作用較為明顯的因子共三項，故選擇d4和a2作為顯著作用項，繪制出R的等值線圖7。將全因子分析得到的數(shù)據(jù)進行擬合分析，得到半徑R與因子之間的關(guān)系式(22)。

(22)

圖7 a2 與d4 作用下不可達球域半徑R

表3 不同因子作用下的P值

綜上所述，其余因子取值確定且合理的前提下，不可達球體的半徑R與d4和a2的取值呈正相關(guān)，且d4對半徑R的影響權(quán)重略大于a2。對于進行平面掃描機器臂參數(shù)選擇時可以優(yōu)先考慮d4和a2這兩個因素，且這兩個參數(shù)應(yīng)盡可能小，以實現(xiàn)不可達區(qū)域最小化的目標(biāo)。

基于以上分析結(jié)果，在ESM機器人進行柱面掃描時，需要先確定柱心坐標(biāo)O(x，y)和底面半徑r，再確定相對于基座坐標(biāo)系下末端執(zhí)行器中點的位姿矩陣0T6。柱面掃描要求機器人末端中心與待掃描件包絡(luò)柱面垂直且平行于平面。利用圓的性質(zhì)及三角公式，可以得到0T6的具體表達，如式(23)所示。

(23)

式中

ax=-px/r

ay=-py/r

ox=cos(π/2+theta)

oy=cos(theta)

其中theta=arctan(py/px)表示待掃描點與基坐標(biāo)x軸正方向夾角，該參數(shù)用以表征機械臂掃描過程所處的位置。

以固定步長遍歷作為柱心坐標(biāo)，分別以不同的半徑構(gòu)建圓柱體并均勻取點。圓柱表面上的點即對應(yīng)位姿矩陣0T6中的坐標(biāo)點(px，py，pz)。測試各柱心坐標(biāo)下不同半徑對應(yīng)點集是否可達并記錄下最大值，繪制出圖(8)。

綜合本小節(jié)上述內(nèi)容，圖中曲線C是X=-0.2m處的曲線，柱面上可達點較大值都出現(xiàn)在曲線C上，在曲線上總體呈現(xiàn)先增加再減小的趨勢，通過剃度便利，可以在O(-0.2，-0.1)處取得柱面掃描可達點的最大值。

圖8 柱面掃描下可達點集

4 結(jié)論

針對應(yīng)用于電子設(shè)備EMI的機械臂掃描系統(tǒng)的要求，提出了針對特定末端姿態(tài)約束下的機械臂工作邊界的確定及評估方法。為了求解在指定機械臂末端姿態(tài)(天線極化方向)約束條件下的機械臂可達性，本文在D-H模型的基礎(chǔ)上利用蒙特卡洛法分析末端執(zhí)行器的工作空間，并證明該空間存在一個不可達球域。本文采用對偶四元數(shù)方法同時優(yōu)化了對系統(tǒng)的動力學(xué)模型逆解的求解，最終得到了機械臂不同運動參數(shù)對該不可達球域尺度的影響權(quán)重。以上分析方法在Elfin5六軸機械臂上進行了檢驗，證明可以在給定末端姿態(tài)的條件下提供機械臂的最優(yōu)參數(shù)選擇方案，為電子系統(tǒng)ESM掃描系統(tǒng)的設(shè)計控制提供依據(jù)。