李 妍，吳超云

（安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133）

隨著城市的發(fā)展，城市上下班高峰期的交通擁堵現(xiàn)象越發(fā)嚴(yán)重，為緩解擁堵，城市交通系統(tǒng)的管理和宏觀控制被廣泛研究。GODFREY在1969年最先提出宏觀基本圖（Macroscopic fundamental diagram，MFD）的概念[1]。在過去幾十年里，城市交通系統(tǒng)MFD 的存在性已被廣泛證實[2-6]，并提出了大量基于MFD的宏觀控制策略，包括最優(yōu)控制[7]、區(qū)域交通總量動態(tài)調(diào)控技術(shù)[8]、協(xié)作控制[9]、多區(qū)域邊界控制[10]和魯棒控制[11-12]等。2012年GEROLIMINIS等建立了兩個區(qū)域的邊界流量最優(yōu)控制模型，并用模型預(yù)測控制方法來最優(yōu)化交通系統(tǒng)的行程完成量[7]。2014年杜怡曼等以北京市西二環(huán)為例，基于宏觀基本圖及區(qū)域總量動態(tài)調(diào)控為主、傳統(tǒng)優(yōu)化為輔的交通管理新手段，通過區(qū)域邊界設(shè)置的反饋閘門控制網(wǎng)絡(luò)流入量以提高區(qū)域通行效率[8]。2013 年HADDAD 等研究了高速公路和兩個城市區(qū)域網(wǎng)絡(luò)組成的大型混合交通網(wǎng)絡(luò)的協(xié)作控制問題[9]。ABOUDOLAS等建立了多區(qū)域邊界控制模型[10]，采用模型預(yù)測控制、協(xié)調(diào)控制、自適應(yīng)控制等多種控制方法。來提高交通系統(tǒng)效率和緩解交通擁堵，2014年HADDAD等為處理宏觀基本圖的不確定性，對城市核心區(qū)域建立了魯棒邊界流量控制，通過控制邊界流量來穩(wěn)定核心區(qū)域的累積量[11]。2021年LI等考慮排隊長度，建立了兩區(qū)域的魯棒邊界控制模型[12]，實驗結(jié)果表明魯棒邊界控制方法能有效緩解高峰期交通擁塞，并提高交通系統(tǒng)效率。

模型預(yù)測控制（Model Predictive Control，MPC）最早產(chǎn)生于20世紀(jì)70年代，又稱為滾動時域控制或后退時域控制；1978 年，RICHALET 等歸納了預(yù)測控制算法的三要素：預(yù)測模型、滾動優(yōu)化和反饋控制[13]。由于MPC具有滾動優(yōu)化策略，即在線反復(fù)進行優(yōu)化計算且滾動實施，使模型失配、畸變、擾動等引起的不確定性及時得到彌補，從而獲得較好的動態(tài)控制性能，因此通常用于預(yù)測交通系統(tǒng)，并實施交通系統(tǒng)管理。2019 年YE 等人概述了MPC 在交通信號控制中的應(yīng)用[14]。另外，學(xué)者們提出了諸多基于MPC 控制的交通控制策略，包括用MPC 來解決邊界控制問題[15]。2014 年FREJO 等提出了雙區(qū)域MFDS 非線性模型預(yù)測控制（Nonlinear Model Predictive Control，NMPC）方案[16]，2019 年KIM 等針對大規(guī)模路網(wǎng)邊界控制問題，提出了一種新的分布式模型預(yù)測方法[17]。

以上區(qū)域控制模型沒有考慮狀態(tài)變量和控制變量的穩(wěn)定性問題，本文建立了一個雙區(qū)域邊界控制模型，并考慮了兩個區(qū)域累積量和控制變量的穩(wěn)定性，同時采用模型預(yù)測控制方法對模型進行模擬分析。區(qū)域累積量的穩(wěn)定性可使區(qū)域累積量盡量接近穩(wěn)定狀態(tài)，從而避免交通擁堵并提高交通效率；控制變量的穩(wěn)定性可使控制變量盡快穩(wěn)定，從而降低控制成本。

1 城市交通系統(tǒng)雙區(qū)域邊界控制模型

城市交通系統(tǒng)被劃分成兩個相鄰的同質(zhì)區(qū)域，雙區(qū)域邊界控制如圖1 所示。其中，n1(t)(veh)和n2(t)(veh)分別表示t時刻區(qū)域1和區(qū)域2的累積量，即車輛數(shù)。Gi(x)(i=1,2)(veh/s)表示第i個區(qū)域的MFD，每個MFD則表示該區(qū)域內(nèi)的累積量與域內(nèi)車輛完成行程量的函數(shù)關(guān)系，一般由一個一元三次多項式函數(shù)Gi(x)=ai·x3+bi·x2+ci·x表示，其中ai,bi,ci是估計的參數(shù)。G1(n1(t))表示t時刻累積量為n1(t)時在區(qū)域1中的完成行程量，G2(n2(t))表示t時刻車輛數(shù)為n2(t)時在區(qū)域2中的完成行程量?！1(n1(t))表示在區(qū)域1 中已完成的行程，并且已到達(dá)目的地的車輛數(shù)；G1(n1(t))表示在區(qū)域1中已完成的行程，未到達(dá)目的地（目的地是區(qū)域2）的車輛數(shù)。q11(t)(veh/s)、q12(t)(veh/s)和q2(t)(veh/s)分別表示交通需求量，q11(t)和q12(t)表示區(qū)域1中每秒新增的車輛數(shù)，目的地分別為區(qū)域1和區(qū)域2，q2(t)表示區(qū)域2中每秒新增的車輛數(shù)。n11(t)(veh)和n12(t)(veh)表示區(qū)域1中目的地分別為區(qū)域1和區(qū)域2的累積量，故有n11(t)+n12(t)=n1(t)。u(t)是控制變量，表示t時刻區(qū)域1 轉(zhuǎn)移到區(qū)域2 的車輛比例，用以控制兩個區(qū)域間車輛的轉(zhuǎn)移，其滿足0 ≤u(t)≤1。當(dāng)u(t)=0時，禁止區(qū)域1中的所有車輛駛向區(qū)域2；當(dāng)u(t)=1 時，不限制區(qū)域1 的車輛駛向區(qū)域2。n11,0，n12,0，n2,0分別是初始時刻t0的累積量。n1,jam和n2,jam分別是區(qū)域1 和區(qū)域2 的阻塞累積量。umin，umax分別是u(t)的下限和上限，n11,s，n12,s，n2,s，us分別是狀態(tài)變量n11(t)，n12(t)，n2(t)和控制變量u(t)的穩(wěn)定狀態(tài)。Qr∈Rnn*nn，Rr∈Rnu*nu是對稱的正定權(quán)重矩陣。以系統(tǒng)累積量和控制變量的穩(wěn)定性為目標(biāo)，建立的雙區(qū)域邊界控制模型如

圖1 雙區(qū)域邊界控制（控制器u(t)限制車輛從區(qū)域1流向區(qū)域2）

2 模型穩(wěn)定性分析及MPC控制設(shè)計

3 數(shù)值模擬

為研究模型的控制效果，分別模擬了交通需求量q11(t)，q12(t)，q2(t)為常數(shù)和非常數(shù)時雙區(qū)域邊界控制模型的交通性能。本文MPC控制器的參數(shù)為Np=60和Nc=30，t=3600s，umin=0和umax=1分別控制變量的上限和下限。區(qū)域1的MFD為G1(n)=(1.4877×10-7n3-2.9815×10-3n2+15.0912n)/3600，區(qū)域1 擁塞累積量為n1,jam=10 000，臨界累積量為n1,cr=3400，臨界累積量對應(yīng)最大的完成行程量為G1(n1,cr)=6.3(veh)。區(qū)域2的MFD與區(qū)域1相同，圖2是兩個區(qū)域的宏觀基本圖。

圖2 宏觀基本圖

3.1 交通需求為常數(shù)時雙區(qū)域邊界控制模型模擬結(jié)果

當(dāng)交通需求為常數(shù)時，模擬交通系統(tǒng)初始狀態(tài)擁堵和不擁堵兩種情形。當(dāng)初始狀態(tài)擁堵時，設(shè)兩個區(qū)域的初始累積量分別為n11(0)=3600，n12(0)=1900，n2(0)=5500。交通需求為常數(shù)，q11=0.25，q12=2.8，q2=3.2，滿足穩(wěn)定條件。由于n1,cr=n1,s=3400，n2,s=4 200，可以計算出n11,s=135，n12,s=3 265，us=0.463。雙區(qū)域邊界控制模型模擬結(jié)果如圖3 所示。當(dāng)不控制時，車輛涌入?yún)^(qū)域2，區(qū)域1 的累積量在前1 800 秒迅速下降，在2 580 秒降到880 輛（圖3a），此時區(qū)域2 的累積量在1 445 秒（圖3b）時就已達(dá)到10 000 輛，且區(qū)域2 的完成行程量為0，故系統(tǒng)雙區(qū)域完成行程量在2 580秒降到最低值3.1（圖3c），即系統(tǒng)陷入死鎖狀態(tài)。在MPC控制情況下，在前510 秒u(t)=0（圖3d），禁止車輛從區(qū)域1駛向區(qū)域2，從而區(qū)域1的累積量在從5 500輛略微升高到5 700輛（圖3a）；區(qū)域2交通擁堵得到控制和疏散，且累積量逐漸降低，在510秒時降低到4 200輛并達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)（圖3b）。然后，控制器在510秒由最大值1開始緩慢下降，即限制區(qū)域1的車輛駛向區(qū)域2，促使區(qū)域1的累積量緩慢降低，區(qū)域2的累積量穩(wěn)定。在3 000秒時，區(qū)域1的累積量減少到3 450輛，逐漸達(dá)到穩(wěn)定；區(qū)域2的累積量穩(wěn)定不變，在2 600秒以后，u(t)達(dá)到穩(wěn)定值0.467。圖3c顯了示系統(tǒng)隨著兩個區(qū)域累積量的逐步穩(wěn)定，車輛的完成行程量逐漸增加，在2 400 秒時增加到12.3，交通性能最佳。因此，在MPC控制下，可以逐步降低系統(tǒng)累積量，緩解交通擁堵并疏散交通。

圖3 交通需求量為常數(shù)時的雙區(qū)域控制結(jié)果（擁堵）。（a）區(qū)域1累積量；（b）區(qū)域2累積量；（c）完成行程量；（d）MPC控制的變量u

當(dāng)初始狀態(tài)不擁堵時，設(shè)兩個區(qū)域的初始累積量分別為n11(0)=1300，n12(0)=700，n2(0)=1500。交通需求為常數(shù)，q11=0.8，q12=4.3，q2=3，設(shè)n1,s=3000，n2,s=3600，可以計算出n11,s=385，n12,s=2 615，us=0.79。雙區(qū)域邊界控制模型模擬結(jié)果如圖4所示。當(dāng)不控制時，區(qū)域1的累積量緩慢下降，在3 600秒時到達(dá)1 780輛左右（圖4a），區(qū)域2的累積量在3 600秒（圖4b）時達(dá)到6 600輛，系統(tǒng)中完成行程的車輛數(shù)降到最低8.6（圖4c），區(qū)域2陷入死鎖狀態(tài)。在MPC控制下，前840秒u(t)=1（圖4d），允許區(qū)域1中車輛駛向區(qū)域2，區(qū)域1 的累積量在前840 秒從2 000 輛下降到1 840輛（見圖4（a）），而區(qū)域2車輛累積量略微升高（圖4b）。之后u(t)由最大值1開始緩慢下降，在840秒下降到0.87，即逐漸限制區(qū)域1中車輛涌入?yún)^(qū)域2，直至3 000秒處控制器穩(wěn)定在0.71。由于交通需求較高，區(qū)域1中車輛累積量逐漸增加，于2 910秒累積量達(dá)到2 965輛并保持穩(wěn)定；區(qū)域2的累積量也逐漸增加，在2 910秒左右達(dá)到3 545輛并保持穩(wěn)定，交通擁堵得到控制（圖4b）。圖4c顯示在MPC控制下隨著兩個區(qū)域累積量的逐步穩(wěn)定，車輛完成行程量逐漸增加，在2 860秒時增加到12.4，并趨于穩(wěn)定，交通系統(tǒng)效率較高。當(dāng)不控制時車輛的完成行程量更低。因此，無論交通系統(tǒng)初始狀態(tài)是否處于擁堵狀態(tài)，在MPC控制下兩個區(qū)域的車輛累積量趨于穩(wěn)定，且分布更均勻，車輛的完成行程量更高，可緩解交通擁堵并提高交通效率。

圖4 交通需求量為常數(shù)時的雙區(qū)域控制結(jié)果（不擁堵）。（a）區(qū)域1累積量；（b）區(qū)域2累積量；（c）完成行程量；（d）MPC控制的變量u

3.2 交通需求變化時雙區(qū)域邊界控制模型模擬結(jié)果

假設(shè)在起初300秒和最后300秒時交通需求量最低，低峰值保持在0.2 veh/s、0.5 veh/s和0.6 veh/s，高峰期時段持續(xù)2 400 s，分別保持在1.7 veh/s、4.7 veh/s 和3.6 veh/s，交通需求量隨時間變化如圖5 所示。n1,s和n2,s隨交通需求量變化而變化。設(shè)兩個區(qū)域的初始累積量分別為n11(0)=1300，n12(0)=700，n2(0)=1500，交通需求變化時雙區(qū)域邊界控制模型模擬結(jié)果如圖6所示。

圖5 交通需求隨時間變化

當(dāng)不控制時，區(qū)域1 累積量在400 秒時下降到770 輛（圖6a），接著緩慢上升，于3 040秒時上升至2 850輛，隨著車流量減少，在3 600秒處降至1 000輛。區(qū)域2累積量在前500秒時下降至900輛，由于在300秒后，區(qū)域1流向區(qū)域2的車輛不受控制，故區(qū)域2 的累積量一直處于波動上升狀態(tài)（圖6b），在3 600 秒時達(dá)到最大值7 500，此時該區(qū)域較為擁堵。與此同時，雙區(qū)域車輛的完成行程量也隨著累積量的變化而變化，在2 020 秒處達(dá)到最大值12.27，接著急速減少，在3 600 秒處降至最低5.7，此時系統(tǒng)處于完全擁塞狀態(tài)（圖6c）。

在MPC控制下，因交通需求變化，累積量和控制變量的穩(wěn)定狀態(tài)也在不斷變化。區(qū)域1的累積量在前390秒內(nèi)短暫下降，然后在3 240秒緩慢上升至最大值5 120輛（圖6a），最后在MPC控制下累積量緩慢下降。區(qū)域2的累積量趨勢與區(qū)域1基本相似（圖6b），在500秒處到達(dá)最小值570輛，隨后在3 000秒處升至4 460輛，在3 600秒左右降至1 950輛。在前500秒u(t)=0，禁止區(qū)域1的車輛駛向區(qū)域2；之后控制器u在700 s內(nèi)持續(xù)是1.00，1 200秒后持續(xù)在0.84上下浮動，在3 000秒處稍微下降至0.78，隨后30秒后降至0.4，又在40秒后升至0.47，之后在3 090秒處降為0并持續(xù)到3 600秒，即進入?yún)^(qū)域2的車輛得到完全控制（圖6d）。圖6c 顯示在MPC 控制下隨著兩個區(qū)域累積量的控制，車輛的完成行程量逐漸增加，在2 000秒時增加到12.6，交通系統(tǒng)效率較高。然而，不控制時車輛的完成行程量更低，說明MPC控制確實起到了良好效果，兩個區(qū)域車輛累積量趨于平衡，且分布更均勻，車輛的完成行程量更高，從而可緩解交通擁堵并提高交通效率。

仿真結(jié)果表明MPC對交通系統(tǒng)的各種擁堵狀態(tài)的控制都有效，可使兩個區(qū)域在有限時域內(nèi)的累積量和控制量的閉環(huán)穩(wěn)定，并促使兩個區(qū)域累積量平衡[5,7]，從而防止區(qū)域擁堵，提高交通效率。當(dāng)交通需求為常數(shù)，在不控制情況下，初始狀態(tài)擁堵時區(qū)域2很快到達(dá)堵塞累積量（10 000輛），交通系統(tǒng)陷入死鎖狀態(tài)；初始狀態(tài)不擁堵時區(qū)域2 的累積量也在逐漸增加，在模擬時間內(nèi)也進入擁堵狀態(tài)。在MPC 控制下，無論初始狀態(tài)車輛是否擁塞，系統(tǒng)中兩個區(qū)域累積量最終都能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，且車輛的完成行程量更大。當(dāng)交通需求變化時，在不控制情況下，區(qū)域2容易陷入擁堵狀態(tài)；在MPC控制下，系統(tǒng)中兩個區(qū)域的累積量更均衡，車輛的完成行程量更高。

4 結(jié)論

本文建立了一個基于MFD的城市交通系統(tǒng)雙區(qū)域邊界控制模型，采用模型預(yù)測控制方法對系統(tǒng)進行宏觀控制，并對交通需求為常數(shù)和交通需求變化的兩種交通狀態(tài)進行仿真，結(jié)果顯示在MPC控制下交通系統(tǒng)性能提升較大，能有效控制和平衡高峰期區(qū)域累積量，且緩解交通擁堵，從而縮短控制時間和降低控制成本。