南軍平, 胡衛(wèi)敏, 蘇有慧, 楚 陽(yáng)

(1. 伊犁師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 新疆 伊寧 835000; 2. 徐州工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 江蘇 徐州 221116; 3. 伊犁師范大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所, 新疆 伊寧 835000; 4. 蘇州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)院, 江蘇 蘇州 215006)

分?jǐn)?shù)階微分方程在生物等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用,使得分?jǐn)?shù)階微分方程理論得到了快速的發(fā)展,出現(xiàn)了大量關(guān)于它的專(zhuān)著和文獻(xiàn),詳見(jiàn)文獻(xiàn)[1-5].現(xiàn)在分?jǐn)?shù)階微分方程理論中,大部分是關(guān)于Riemann-Liouville型和Caputo型[6-8]分?jǐn)?shù)階微積分的,對(duì)Caputo-Hadamard型[9-13]分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的研究較少.因此,研究Caputo-Hadamard分?jǐn)?shù)階微分方程具有積極的意義.

Hadamard分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是1892年由Hadamard提出的,其意義在于積分的核包含一個(gè)任意指數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù).在文獻(xiàn)[9]中,利用上下解方法證明了如下非線(xiàn)性Captuo-Hadamard分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性

文獻(xiàn)[11]通過(guò)上下解方法和不動(dòng)點(diǎn)定理證明了如下分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題解的存在唯一性

文獻(xiàn)[9]研究了非線(xiàn)性Captuo-Hadamard分?jǐn)?shù)階微分方程,但該方程不帶有p-Laplacian算子;文獻(xiàn)[11]研究了分?jǐn)?shù)階微分方程非線(xiàn)性部分不含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)以及邊值條件為整數(shù)階導(dǎo)數(shù),沒(méi)有研究非線(xiàn)性部分含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和邊值條件為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的情形.受文獻(xiàn)[9,11,14-15]啟發(fā),本文研究如下一類(lèi)非線(xiàn)性項(xiàng)包含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的具有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分邊值問(wèn)題解的存在性

1 相關(guān)定義及引理

下面給出一些定義及相關(guān)引理.

定義 1[1]令α>0,則函數(shù)y:[1,+∞)→R的α階Hadamard分?jǐn)?shù)階積分定義為

其中,Γ(·)表示Gamma函數(shù),n-1<α

R:δn-1y(t)∈AC[a,T]}.

定義 2[10]1) 如果α≠n,則α>0階Caputo-Hadamard分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

HIn-αδny(t).

2) 如果α=n,則n階Caputo-Hadamard分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中,ci∈R,i=0,1,2,…,n-1.

引理 2若h(t)∈C([1,e],R),c,d∈R,則邊值問(wèn)題

(4)

有唯一解

u(t)=c-

(6)

其中

(7)

(8)

證明令

邊值問(wèn)題(4)可以分解為以下邊值問(wèn)題:

(9)

和

(10)

邊值問(wèn)題(9)由引理1可得

由m′(1)=0可得c1=0.由m(e)=φp(d)有

φp(d),

從而

即

(11)

同理,邊值問(wèn)題(10)可得

由

從而

由Gm(t,s)、Gu(t,s)這2個(gè)式子的定義易得下述引理.

引理 3對(duì)任意(t,s)∈[1,e]×[1,e],有

Gm(t,s)≥0,Gu(t,s)≥0,

且Gm(t,s)、Gu(t,s)在[1,e]×[1,e]上連續(xù).

2 解的存在性

記

取范數(shù)

‖u‖=‖u‖1+‖u‖2,

其中

則(E,‖·‖)是Banach空間.

定義 3若u∈AC1[1,e],滿(mǎn)足

則稱(chēng)u=u(t)為邊值問(wèn)題(3)的下解.

定義 4若u∈AC1[1,e],滿(mǎn)足下述式子

則稱(chēng)u=u(t)為邊值問(wèn)題(3)的上解.

引理 4假設(shè)條件:

(S1) 若K∈C([1,e]×R×R),對(duì)任意t∈[1,e]且0≤n1≤n2,z2≤z1≤0∈R,都有

0≤-K(t,n1,z1)≤-K(t,n2,z2);

(S2) 設(shè)g∈([1,e]×R),對(duì)任意t∈[1,e]且w1≤w2∈R時(shí),有

0≤g1(t,w1)≤g1(t,w2).

若條件(S1)和(S2)均成立,且邊值問(wèn)題(3)存在非負(fù)下解xk∈P,k∈{0,1,2,…},則邊值問(wèn)題

存在唯一解

xk+1=xk+1(t)∈P,

且為問(wèn)題(3)的下解,并滿(mǎn)足xk?xk+1.

證明由引理2,對(duì)任意xk∈P,可知邊值問(wèn)題(14)存在唯一解

xk+1=xk+1(t)∈P,

即

從而有xk+1(t)∈P.

下面證明xk(t)?xk+1(t)且xk+1=xk+1(t)是邊值問(wèn)題(3)的下解.由于xk=xk(t)是邊值問(wèn)題(3)的下解,則有

通過(guò)(14)和(15)式有

記

則有

則有

可得以下邊值條件

通過(guò)引理4和(11)式,可得

利用φp的單調(diào)性,有

從而可得以下邊值條件

因此

xk+1(t)-xk(t)=

即可得xk(t)?xk+1(t).由條件(S1)和(S2)可得

即xk+1=xk+1(t)是邊值問(wèn)題(3)的下解.

類(lèi)似引理4的證明可得下面引理.

引理 5若引理4的條件(S1)和(S2)均成立,邊值問(wèn)題(3)存在上解yk∈P,則邊值問(wèn)題

存在唯一解yk+1=yk+1(t)∈P,且為問(wèn)題(3)的上解,滿(mǎn)足yk+1?yk.

定理 1若引理4的條件(S1)和(S2)成立,邊值問(wèn)題(3)存在上解y0和下解x0,且x0?y0,其中x0,y0∈P,則邊值問(wèn)題(3)存在解x*和y*,x*,y*∈P,且滿(mǎn)足x0?x*?y*?y0.

證明設(shè)x0和y0∈P為初始元,由引理4和引理5得到序列{xk}和{yk},并且xk與yk(k=0,1,2,3,…)分別為邊值問(wèn)題(3)的下解和上解.由xk?xk+1可知{xk}單調(diào)遞增;由yk+1?yk可知{yk}單調(diào)遞減.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

xn?yn,n=0,1,2,3,….

當(dāng)n=0時(shí),x0?y0成立;當(dāng)n=k時(shí),假設(shè)xk?yk成立,即

由引理4的條件(S1)和(S2)有

通過(guò)(14)和(17)式有

可得

xk+1?yk+1,

即

x0?x1?…?xk?…?

yk?…?y1?y0,

所以序列{xk}和{yk}一致有界.又由于Gm、Gu和K在[1,e]×[1,e]上連續(xù),且由φp的定義可知φp和φq是連續(xù)的,從而序列{xk}和{yk}等度連續(xù).利用Arzela-Ascoli定理可知序列{xk}和{yk}是相對(duì)緊的,則存在x*和y*使

下面證明x*和y*為邊值問(wèn)題(3)的解.由Gm、Gu、K和φp的連續(xù)性,利用Lebesgue控制收斂定理可得

即

x*=x*(t)

為邊值問(wèn)題(3)的解.

同理

y*=y*(t)

也是邊值問(wèn)題(3)的解,且有

致謝徐州工程學(xué)院科研項(xiàng)目(XKY2020102)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.