丁 寧 李兆亭 張洪波

國(guó)防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073

0 引言

在載人空間飛行、天地往返運(yùn)輸?shù)瓤臻g任務(wù)結(jié)束后，需要空天飛行器返回預(yù)定著陸場(chǎng)，離軌制動(dòng)是返回的第一步。離軌制動(dòng)是指飛行器通過(guò)施加推力矢量改變?cè)瓉?lái)的運(yùn)行軌道，從而進(jìn)入地球大氣層的軌道改變過(guò)程。離軌點(diǎn)設(shè)計(jì)是根據(jù)飛行器運(yùn)行軌道和任務(wù)參數(shù)，確定星下點(diǎn)軌跡和可達(dá)域范圍，通過(guò)選擇合適的軌道位置進(jìn)行離軌制動(dòng)，使飛行器最終滿足再入點(diǎn)約束條件。

針對(duì)再入飛行器返回過(guò)程中的再入段，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了諸多的研究，包括再入軌跡優(yōu)化方法[1-2]再入制導(dǎo)方法[3-4]、再入姿態(tài)控制方法[5-6]等，而對(duì)再入飛行器離軌段的軌道設(shè)計(jì)問(wèn)題研究相對(duì)較少。早期研究主要將終端狀態(tài)約束設(shè)定為范圍約束，因此不同目標(biāo)函數(shù)下最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的大氣進(jìn)入狀態(tài)存在差異[7]。后期的研究大多將約束設(shè)定為固定的再入點(diǎn)位置和再入?yún)?shù)。其中，史樹(shù)峰等[8]通過(guò)規(guī)劃離軌制動(dòng)時(shí)機(jī)和離軌控制參數(shù)，實(shí)現(xiàn)指定再入點(diǎn)位置的飛行器離軌任務(wù)；龔宇蓮等[9]設(shè)計(jì)了一種航天器自主離軌制動(dòng)控制算法，可根據(jù)再入點(diǎn)狀態(tài)約束確定離軌過(guò)渡段的平均軌道根數(shù)，實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)再入點(diǎn)航跡傾角；郭付明等[10]綜合考慮優(yōu)化精度和運(yùn)行時(shí)間，提出了一種離軌點(diǎn)尋優(yōu)方法，可以降低軌道機(jī)動(dòng)過(guò)程中對(duì)不確定因素的敏感性。然而上述各成果研究對(duì)象多為傳統(tǒng)彈道式飛行器，在設(shè)計(jì)過(guò)程中往往忽略橫向機(jī)動(dòng)能力對(duì)離軌點(diǎn)的影響。而升力式飛行器升阻比大，再入過(guò)程中橫向機(jī)動(dòng)能力強(qiáng)[11]，當(dāng)再入橫程確定時(shí)，相比于彈道式飛行器，縱程的取值范圍較大，對(duì)應(yīng)再入點(diǎn)的位置范圍較大?；诖耍C合考慮再入點(diǎn)位置變化，有必要對(duì)約束條件進(jìn)行設(shè)置，以?xún)?yōu)化離軌段時(shí)間，拓展離軌窗口范圍。

本文考慮升力式飛行器的橫向機(jī)動(dòng)能力，提出了一種最短時(shí)間返回的離軌點(diǎn)設(shè)計(jì)策略。首先，根據(jù)星下點(diǎn)軌跡與著陸場(chǎng)的位置關(guān)系及各階段航程角的幾何關(guān)系，分別建立了位置約束和時(shí)間約束模型；然后根據(jù)給定的再入角和離軌能量約束，利用二體軌道理論推導(dǎo)了離軌點(diǎn)和再入點(diǎn)速度傾角、地心距及航程角之間的關(guān)系，并提出了一種基于牛頓迭代公式的離軌航程角尋優(yōu)方法；最后計(jì)算返回段總時(shí)間，采用非線性?xún)?yōu)化方法求解最短時(shí)間返回軌道，確定離軌點(diǎn)。

1 最短返回時(shí)間離軌點(diǎn)設(shè)計(jì)流程

再入飛行器從運(yùn)行軌道到達(dá)指定著陸場(chǎng)，依次經(jīng)歷等待段、離軌制動(dòng)段、過(guò)渡段、再入段和著陸段。將離軌制動(dòng)與過(guò)渡段合稱(chēng)離軌段。

如圖1所示，Oe為地心，O，K，E和P分別為飛行器當(dāng)前位置、離軌點(diǎn)、再入點(diǎn)和著陸點(diǎn)，rk和re分別為離軌點(diǎn)和再入點(diǎn)地心距，Δtw，Δtk和Δte分別為等待段、離軌段和再入段時(shí)間，Δβw，Δβk和Δβe分別為等待段、離軌段和再入段航程角，Θk和Θe分別為離軌制動(dòng)結(jié)束后的當(dāng)?shù)厮俣葍A角和再入角。離軌制動(dòng)段為有限推力制動(dòng)，但因時(shí)間較短，可簡(jiǎn)化，以脈沖推力代替。在此基礎(chǔ)上，本文設(shè)計(jì)滿足位置、時(shí)間及過(guò)程約束的離軌軌道。計(jì)算步驟可歸納為：

圖1 再入飛行器返回過(guò)程示意圖

1)根據(jù)飛行器當(dāng)前軌道根數(shù)[a,e,i,ω,Ω,M]，確定一個(gè)周期內(nèi)的星下點(diǎn)軌跡；

2)計(jì)算著陸點(diǎn)與星下點(diǎn)軌跡的最小橫向距離dmin、著陸點(diǎn)與飛行器當(dāng)前位置的縱向航程角Δβ；

3)根據(jù)飛行器總體參數(shù)計(jì)算再入可達(dá)域，判斷是否滿足橫向位置約束，若滿足，則可得到不同橫、縱程對(duì)應(yīng)的再入時(shí)間Δte；若不滿足，將初始時(shí)刻后推一周期重新計(jì)算；

4)由軌道根數(shù)計(jì)算得到rk，并基于給定的re，Θe和能量約束Δvmax，計(jì)算不同增益速度Δv對(duì)應(yīng)的離軌時(shí)間Δtk，尋優(yōu)得到最小離軌航程角Δβkmin，進(jìn)而計(jì)算由當(dāng)前時(shí)刻至著陸場(chǎng)總時(shí)間Δt；

5)對(duì)Δt尋優(yōu)，得到最短時(shí)間Δtmin，計(jì)算并輸出最優(yōu)離軌點(diǎn)軌道根數(shù)。

其計(jì)算流程圖如圖2所示，下面幾節(jié)分別敘述其計(jì)算方法。

圖2 最短返回時(shí)間離軌點(diǎn)設(shè)計(jì)流程

2 基于再入可達(dá)域的時(shí)空約束建模與分析

2.1 再入可達(dá)域條件設(shè)計(jì)

本文以最小返回時(shí)間為離軌點(diǎn)設(shè)計(jì)指標(biāo)，求解過(guò)程中需根據(jù)再入段時(shí)間、航程角等參數(shù)確定位置和時(shí)間約束，這些參數(shù)可由再入可達(dá)域提供。本節(jié)對(duì)再入可達(dá)域要提供的參數(shù)形式進(jìn)行說(shuō)明，以滿足后續(xù)設(shè)計(jì)需求。

再入可達(dá)域可描述不同縱程條件下的最大橫程，通常為橢圓形或扇形區(qū)域，常在換極坐標(biāo)系中表示。如圖3所示，λpf和φpf分別為落點(diǎn)的經(jīng)度和緯度，Z為縱程，L為橫程。

圖3 可達(dá)域示意圖

再入可達(dá)域的計(jì)算有很多經(jīng)典算法[12-14]，本文不作討論。在進(jìn)行離軌點(diǎn)設(shè)計(jì)時(shí)，首先根據(jù)飛行器總體參數(shù)和再入約束對(duì)飛行可達(dá)域進(jìn)行計(jì)算，扣除再入制導(dǎo)預(yù)留的射程機(jī)動(dòng)余量，得到最大橫程Lmax。將最大縱程等間隔劃分為m個(gè)區(qū)域，每區(qū)域橫向n等分，得到m×n個(gè)網(wǎng)格，如圖4所示。取網(wǎng)格點(diǎn)為樣本點(diǎn)，以數(shù)表的形式給出每個(gè)樣本點(diǎn)的再入縱程Z、橫程L及時(shí)間Δte，作為離軌點(diǎn)設(shè)計(jì)的輸入量給到系統(tǒng)中，如表1所示。

圖4 可達(dá)域網(wǎng)格劃分

表1 可達(dá)域輸入?yún)?shù)表

在輸入樣本點(diǎn)再入時(shí)間參數(shù)后，對(duì)于橫、縱程分別為L(zhǎng)和Z的著陸點(diǎn)，可通過(guò)拉格朗日插值多項(xiàng)式計(jì)算再入時(shí)間擬合值

Δte(L,Z)=

(1)

以及該落點(diǎn)對(duì)應(yīng)的再入航程角

(2)

式中:Re為地球平均半徑。

2.2 橫向位置約束

圖5 著陸點(diǎn)與星下點(diǎn)軌跡的最小橫向距離示意圖

(3)

實(shí)際上，由于地球自轉(zhuǎn)，在協(xié)議地心慣性坐標(biāo)系中，E點(diǎn)方位角是不停變化的。按下述公式進(jìn)行迭代

(4)

則最小橫向距離

dmin=fd(λE(n),φE)

(5)

2.3 時(shí)間約束

由于燃料有限、再入橫程確定，離軌段和再入段時(shí)間不可能無(wú)限小，因此需要考慮最短時(shí)間帶來(lái)的時(shí)間約束。以當(dāng)前時(shí)刻作為起始時(shí)刻t0，設(shè)從該時(shí)刻至著陸點(diǎn)的飛行時(shí)間為Δt，則滿足

Δt=Δtw+Δtk+Δte

(6)

時(shí)間約束可表示為

Δtw≥0

(7)

即Δt≥Δtkmin+Δtemin。式中Δtkmin為離軌段最小時(shí)間，其計(jì)算方法將在3.2節(jié)給出，Δtemin=Δte(dmin,Zmin)為再入段最小時(shí)間，可由式求得。當(dāng)Δt<Δtkmin+Δtemin時(shí)，不滿足時(shí)間約束，一個(gè)周期內(nèi)無(wú)論離軌點(diǎn)在任何位置，飛行器都不可能到達(dá)著陸點(diǎn)，需在軌等待一個(gè)周期后重新進(jìn)行判斷，直到滿足時(shí)間約束條件，方可進(jìn)行后續(xù)計(jì)算。

3 能量約束建模及最短返回時(shí)間離軌點(diǎn)求解

飛行器由運(yùn)行軌道進(jìn)入過(guò)渡軌道、飛行到再入點(diǎn)，需要由制動(dòng)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)提供制動(dòng)速度增量。由于攜帶燃料有限，發(fā)動(dòng)機(jī)所能提供的速度增量也是有限的。本節(jié)首先研究制動(dòng)能量約束下滿足再入角要求的離軌點(diǎn)位置范圍，再綜合考慮等待段、離軌段及再入段時(shí)間，對(duì)離軌點(diǎn)位置進(jìn)行優(yōu)化求解。

3.1 LVLH坐標(biāo)系下軌道方程

假設(shè)地球?yàn)榫|(zhì)圓球，則制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)后飛行器將沿二體軌道運(yùn)行。在LVLH坐標(biāo)系[17]中，將飛行器二體軌道運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行投影，可得

(8)

式中:z為側(cè)向位移大小，vr，vβ和vz分別為速度矢量v在r軸、β軸和z軸上的分量，μ為地球引力常數(shù)。

假設(shè)在初始時(shí)刻，航天器位于軌道上的O點(diǎn)，當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)rk和vk可以由導(dǎo)航系統(tǒng)提供，再入點(diǎn)E的地心距re已知，則需要設(shè)計(jì)離軌軌道，使得飛行器到達(dá)再入點(diǎn)時(shí)，滿足再入角Θe和速度沖量Δvmax的要求。下一節(jié)將根據(jù)二體軌道邊值理論求解該問(wèn)題。

3.2 基于再入角的離軌速度增量求解

軌道方程建立后，在給定再入角條件下，為快速確定能量約束下的離軌點(diǎn)位置范圍，需要推導(dǎo)離軌速度增量與離軌航程角的解析關(guān)系式。根據(jù)二體軌道理論，有

(9)

式中:f為真近點(diǎn)角，p為半通徑，e為偏心率。注意到Δf=Δβ，整理得

(10)

由上式可知(vrk+vre)和(vβk-vβe)成比例。故有

(11)

將式(11)代入式(10)，得到Θk與Θe的關(guān)系式

(12)

根據(jù)上式，就可以由rk，r，Θe和Δβk確定出在當(dāng)前點(diǎn)處的期望速度傾角

(13)

進(jìn)而確定期望離軌軌道的半通徑及動(dòng)量矩

(14)

(15)

式中:c為弦長(zhǎng)，pm為最小能量橢圓的半通徑。進(jìn)而可得到當(dāng)前時(shí)刻的增益速度和轉(zhuǎn)移軌道的半長(zhǎng)軸

Δv=vR-vk

(16)

(17)

式中:vR為當(dāng)前位置的需要速度，其徑向和周向分量分別為

(18)

當(dāng)轉(zhuǎn)移軌道是橢圓時(shí)，轉(zhuǎn)移時(shí)間可由Lagrange方程

(19)

求得，其中，α和β表示Lagrange參數(shù)，滿足

(20)

此外，當(dāng)位置向量和速度向量均求得之后，離軌點(diǎn)和再入點(diǎn)的所有6個(gè)軌道要素均可以得到，故也可由開(kāi)普勒方程求得轉(zhuǎn)移時(shí)間。

(21)

依據(jù)上述解析關(guān)系式，可以求得能量約束下離軌航程角及離軌時(shí)間的取值范圍。應(yīng)用序列二次規(guī)劃算法(SQP)、信賴(lài)域反射算法等都可以實(shí)現(xiàn)對(duì)該問(wèn)題的求解，此處不做贅述。此外，可采用牛頓迭代公式

(22)

求解最短時(shí)間。為提高計(jì)算速度，f′(Δβk)可用Richardson外推法近似得到。設(shè)誤差階數(shù)為n，外推次數(shù)為m，則根據(jù)外推公式

(23)

可知，當(dāng)n和m足夠大時(shí)，D(n,m)可充分接近f′(Δβk)。通過(guò)求解，得到離軌航程角范圍Δβk∈[Δβkmin,Δβkmax]。

3.3 最短返回時(shí)間離軌點(diǎn)設(shè)計(jì)

在得到了滿足橫向位置約束、時(shí)間約束和能量約束的航程角范圍后，可將飛行器等待段航程角表示為：

(24)

式中:

(25)

根據(jù)等待段航程角及初始軌道根數(shù)，可求得離軌點(diǎn)軌道根數(shù)，得到離軌窗口。以返回段離軌時(shí)間為設(shè)計(jì)指標(biāo)，采用非線性?xún)?yōu)化方法對(duì)離軌點(diǎn)位置進(jìn)行尋優(yōu)，即可得到最短時(shí)間離軌點(diǎn)。

4 仿真校驗(yàn)

本節(jié)將通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證所提算法的有效性。設(shè)初始時(shí)刻t0為2022年3月29日9:00:00，飛行器位于近地圓軌道上，仿真參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 仿真參數(shù)

參照升力體飛行器的性能指標(biāo)，給定再入段可達(dá)域。圖6給出了可達(dá)域的實(shí)際經(jīng)緯度范圍，由于考慮了地球自轉(zhuǎn)，可達(dá)域不是南北對(duì)稱(chēng)的，最大橫程Lmax=2036.4km。將可達(dá)域縱程平均設(shè)置18個(gè)節(jié)點(diǎn)，橫程平均設(shè)置6個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的再入段最小時(shí)間如表3所示。

圖6 仿真條件下可達(dá)域范圍

表3 各節(jié)點(diǎn)最小再入時(shí)間(單位：s)

根據(jù)假設(shè)，計(jì)算得到飛行器當(dāng)前點(diǎn)至著陸點(diǎn)的航程角Δβ=1.92rad。利用式(5)可求得目標(biāo)距星下點(diǎn)軌跡的最小橫向距離dmin=556.51km。由于dmin≤Lmax，故滿足位置約束。

由仿真條件，確定再入段時(shí)間取值范圍。當(dāng)橫程相同時(shí)，隨著縱程的增加，再入時(shí)間增加。當(dāng)橫程L=dmin時(shí)，計(jì)算得縱程取值范圍Rz∈[1083.2,4819.1]km。通過(guò)插值計(jì)算得到不同縱程對(duì)應(yīng)的再入時(shí)間和再入航程角，其中最小和最大再入時(shí)間分別為Δtemin=810.17s、Δtemax=3098.60s，對(duì)應(yīng)再入航程角Δβemin=0.17rad、Δβemax=0.7556rad。

下面計(jì)算離軌時(shí)間取值范圍。根據(jù)式，由離軌點(diǎn)及再入點(diǎn)高度、再入角計(jì)算得到不同離軌航程角Δβk對(duì)應(yīng)的離軌時(shí)間Δtk。圖7給出了二者的關(guān)系圖，可以看出二者呈正相關(guān)，標(biāo)注的紅色點(diǎn)表示速度沖量Δvr=Δvmax時(shí)航程角和離軌時(shí)間大小，當(dāng)曲線上點(diǎn)在該點(diǎn)下方時(shí)，滿足能量約束。設(shè)離軌航程角求解精度為10-6rad，選取滿足約束的點(diǎn)進(jìn)行迭代，分別計(jì)算離軌段最短飛行時(shí)間Δtk，迭代結(jié)果如圖8所示。

圖7 離軌航程角與離軌時(shí)間關(guān)系圖

圖8 離軌段最短飛行時(shí)間迭代結(jié)果

可以看出，在合適初值條件下，兩種方法均求得Δtkmin=877.26s，對(duì)應(yīng)Δβkmin=1.02rad，結(jié)果較為準(zhǔn)確，過(guò)程較為平滑。但SQP算法迭代12次，用時(shí)0.705965s，而牛頓迭代法迭代9次，用時(shí)0.099555s，相比于SQP算法，牛頓迭代法迭代次數(shù)少、求解時(shí)間快，可以更好地實(shí)現(xiàn)最短離軌時(shí)間的求解。類(lèi)似地，求得離軌段最大飛行時(shí)間Δtkmax=2069.9s，對(duì)應(yīng)的航程角Δβkmax=2.3284rad。

在求得離軌段及再入段航程角范圍后，可進(jìn)一步求得等待段航程角Δβw∈[0,0.73]rad，進(jìn)而確定離軌窗口。如圖9所示，標(biāo)注段表示離軌窗口。

圖9 離軌窗口

由式(6)和(25)計(jì)算出不同離軌和再入航程角下的等待時(shí)間及返回總時(shí)間，在所求離軌窗口的基礎(chǔ)上，應(yīng)用非線性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)方法fmincon對(duì)返回總時(shí)間進(jìn)行尋優(yōu)，結(jié)果如圖10所示，其中圖線①、②、③、④分別表示Δtw、Δtk、Δte和Δt的迭代過(guò)程。可以看出，在本例中，當(dāng)離軌段和再入段時(shí)間均取最小值時(shí)，返回段總時(shí)間最短，為2379.2s，離軌點(diǎn)軌道根數(shù)如表4所示。

表4 最短返回時(shí)間離軌點(diǎn)軌道根數(shù)

為進(jìn)一步驗(yàn)證算法的適用性，分別改變飛行器初始時(shí)刻位置和著陸點(diǎn)位置進(jìn)行仿真。飛行器初始時(shí)刻位置改變，離軌窗口也相應(yīng)改變。圖11為一個(gè)回歸周期內(nèi)飛行器滿足約束的離軌點(diǎn)集合，其中標(biāo)粗部分為各圈離軌窗口。可以看出，在升力式飛行器強(qiáng)橫向機(jī)動(dòng)優(yōu)勢(shì)下，離軌窗口范圍較大，機(jī)動(dòng)性和靈活性較強(qiáng)。

圖11 一個(gè)回歸周期內(nèi)飛行器離軌窗口

當(dāng)飛行器需應(yīng)急返回時(shí)，往往需要改變著陸點(diǎn)位置。假設(shè)除了主著陸場(chǎng)1外，還有7個(gè)副著陸場(chǎng)，表5給出了各著陸場(chǎng)位置及最短離軌時(shí)間仿真結(jié)果。可以看出，對(duì)于不同的著陸點(diǎn)位置，本文所提算法均有較好的適應(yīng)性。仿真結(jié)果表明，飛行器在8個(gè)著陸場(chǎng)均可正常著陸，其中著陸場(chǎng)7返回段飛行時(shí)間最短，因此可優(yōu)先選擇該著陸場(chǎng)進(jìn)行應(yīng)急著陸。

表5 各著陸場(chǎng)位置及仿真結(jié)果

5 結(jié)論

為了實(shí)現(xiàn)升力式飛行器離軌點(diǎn)的快速設(shè)計(jì)，本文充分考慮其橫向機(jī)動(dòng)能力強(qiáng)的特性，建立了基于再入可達(dá)域的時(shí)空約束模型，推導(dǎo)了燃耗約束下的離軌航程角解析計(jì)算方法，給出了確定最優(yōu)制動(dòng)點(diǎn)位置的迭代算法。通過(guò)仿真分析可以得到以下結(jié)論：

1) 多約束下的最短時(shí)間離軌點(diǎn)確定策略能夠滿足升力式飛行器的離軌要求。經(jīng)過(guò)較少次數(shù)迭代后，離軌段航程角誤差收斂至較高精度,速度較快，結(jié)果較為準(zhǔn)確；

2) 對(duì)飛行器不同飛行時(shí)刻的離軌窗口求解表明，本算法對(duì)于不同起始位置均有較好的適應(yīng)性，升力式飛行器的橫向機(jī)動(dòng)能力拓寬了其離軌窗口，增加了返回的機(jī)動(dòng)性和靈活性；

3) 對(duì)不同位置著陸點(diǎn)的最優(yōu)離軌點(diǎn)求解表明，當(dāng)飛行器需要應(yīng)急返回時(shí)，該算法能夠基于當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)進(jìn)行快速計(jì)算，通過(guò)對(duì)比確定最優(yōu)著陸點(diǎn)，具有較強(qiáng)的可行性和實(shí)時(shí)性。