深圳市龍華區(qū)教育科學(xué)研究院附屬外國語學(xué)校(518109)鐘文體

1.試題呈現(xiàn)及分析

例1(2022年新高考Ⅱ卷第21 題)設(shè)雙曲線C:的右焦點(diǎn)為F(2,0),漸近線方程為y=±3x.

(1)求C的方程;

(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M,請(qǐng)從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)條件成立:①M(fèi)在AB上; ②PQ//AB; ③|MA|=|MB|.

注若選擇不同的組合分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.

試題分析本題以直線和雙曲線為載體,具體考察雙曲線的方程與漸近線、直線的方程、韋達(dá)定理、兩點(diǎn)間距離公式等解析幾何的必備知識(shí),涉及數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,著力考察數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).第(1)問是常規(guī)的基礎(chǔ)題,難度不大,只要學(xué)生熟悉雙曲線的相關(guān)要素(實(shí)軸、虛軸、焦點(diǎn)、漸近線等)以及它們之間的關(guān)系即可正確解答.第(2)問是典型的結(jié)構(gòu)不良問題[1],初始條件和目標(biāo)結(jié)論都不明確,需要學(xué)生根據(jù)自身的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),選擇最有把握的組合進(jìn)行解答,有效考察學(xué)生思維的靈活性和深刻性.解答時(shí)需要將所給的三個(gè)幾何條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件(解析化),滲透了數(shù)形結(jié)合等平面解析幾何中的核心數(shù)學(xué)思想,具有一定的區(qū)分度,體現(xiàn)了高考的選拔功能.

解答分析(1).(過程略)

(2)由條件x1> x2>0 可知直線PQ的斜率存在,下面再分析直線AB的斜率是否存在.若選擇①②或②③作為條件,則由PQ//AB可知直線AB的斜率存在.若選擇①③作為條件,則M為線段AB的中點(diǎn),假設(shè)直線AB的斜率不存在,則由雙曲線的對(duì)稱性可知M在x軸上,即為焦點(diǎn)F,此時(shí)由雙曲線的對(duì)稱性可知P、Q關(guān)于x軸對(duì)稱,從而x1=x2,與已知條件矛盾,所以直線AB的斜率存在.因此,不管如何選取條件,直線AB的都斜率存在.

評(píng)注一般情況下,在設(shè)直線方程時(shí),為了保證解答的嚴(yán)謹(jǐn)性,需要分直線的斜率存在與不存在兩種情形進(jìn)行討論,但斜率不存在的情形通常較容易解決,且不是問題的本質(zhì).本題所給的條件x1> x2>0 隱含了直線AB的斜率存在,避免了繁瑣的分類討論,減輕了學(xué)生的答題負(fù)擔(dān),體現(xiàn)了高考的人文關(guān)懷.

思考由條件可知點(diǎn)M由點(diǎn)P和點(diǎn)Q確定,當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)Q變動(dòng)時(shí),點(diǎn)M也隨之變動(dòng).因此,自然的思路是設(shè)出直線PM和直線QM的方程,再聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo).但可以預(yù)想到,此時(shí)M的坐標(biāo)的表達(dá)式會(huì)比較復(fù)雜,若學(xué)生不具備敏銳的觀察力和較高的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,將給后面的計(jì)算帶來極大的困難.另一方面,所給的三個(gè)條件都不涉及直線PM和QM,但有兩個(gè)條件( ①和③)涉及點(diǎn)M.因此,以M為主體,先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),是更優(yōu)的解題途徑.

設(shè)直線AB的斜率為k,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0),則直線AB的方程為y=k(x-2).

條件①的代數(shù)化:易知,M在AB上?y0=k(x0-2).

條件②的代數(shù)化:由題設(shè)知直線PM的斜率為直線QM的斜率為故直線PM和QM的方程分別為y - y0=和y - y0=將點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別代入,得y1-兩式相減得因此,直線PQ的斜率.

移項(xiàng)整理得

即

也即x0-xN+k(y0-yN)=0,因此x0+ky0=xN+kyN,將xN和yN代入得.所以|AM|=.

綜上,①?y0=k(x0-2); ②?3x0=ky0; ③,成功將三個(gè)幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件,即關(guān)于x0,y0,k的代數(shù)表達(dá)式.進(jìn)一步注意到三個(gè)代數(shù)表達(dá)式都是關(guān)于x0和y0二元一次方程,任選兩個(gè)都可以很方便地求出x0和y0,再代入剩下的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算即可.事實(shí)上,任選兩個(gè)條件計(jì)算x0和y0的結(jié)果都是一樣的,即.

評(píng)注解析幾何問題的解答應(yīng)遵循“多想少算”的原則,恰當(dāng)?shù)卦O(shè)點(diǎn)和直線可以有效減少計(jì)算量.上面的解答以點(diǎn)M為主體,巧妙地設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo),使得整個(gè)解題過程順利推進(jìn).

2.試題溯源

高考試題具有“源于教材,高于教材”的特點(diǎn),例1 能否從教材中找到源頭呢? 在將條件③進(jìn)行代數(shù)化時(shí),曾得到.于是,當(dāng)直線AB的斜率為定值k時(shí),線段AB的中點(diǎn)在一條直線上.筆者查閱教材發(fā)現(xiàn),人教A 版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》(“舊教材”)選修2-1 第49 頁第8 題有類似的題目:

例2已知橢圓,一組平行直線的斜率是.

(1)這組直線何時(shí)與橢圓相交?

(2)當(dāng)它們與橢圓相交時(shí),證明這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在一條直線上.

人教A 版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(“新教材”)選擇性必修第一冊(cè)第116 頁第14 題也有同樣的題目.事實(shí)上,在一般的圓錐曲線中,也有類似例2 的結(jié)論.

結(jié)論1橢圓平行弦的中點(diǎn)在一條過橢圓中心的直線上.

證明不妨設(shè)橢圓方程為當(dāng)弦平行于x軸或平行于y軸時(shí),結(jié)論顯然成立.下面考慮斜率存在且不為零的情形,設(shè)弦所在直線的方程為y=kx+m(k0),與橢圓方程聯(lián)立,消去y,得(k2a2+b2)x2+ 2ka2mx+a2(m2-b2)=0,設(shè)弦中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),由韋達(dá)定理可知.因此,從而弦的中點(diǎn)在直線上.

結(jié)論2雙曲線平行弦的中點(diǎn)在一條過雙曲線中心的直線上.

結(jié)論3拋物線平行弦的中點(diǎn)在一條平行于拋物線對(duì)稱軸的直線上.

證明不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),當(dāng)弦平行于y軸時(shí),結(jié)論顯然成立.下面考慮斜率存在的情形,設(shè)弦所在直線的方程為y=kx+m(k0),與拋物線方程聯(lián)立,消去y,得k2x2+2(km-p)x+m2=0,設(shè)弦中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),由韋達(dá)定理可知從而弦的中點(diǎn)在直線上.

上述三個(gè)結(jié)論具有深刻的高等數(shù)學(xué)背景,在大學(xué)的解析幾何課程中,圓錐曲線平行弦中點(diǎn)的軌跡稱為平行弦的共軛直徑.橢圓的平行弦的斜率與其共軛直徑的斜率之積為常數(shù);雙曲線的平行弦的斜率與其共軛直徑的斜率之積為常數(shù);拋物線任意平行弦的共軛直徑均平行于拋物線的對(duì)稱軸.

下面從軌跡的視角重新審視例1.

根據(jù)結(jié)論2,當(dāng)例1 中的直線AB的斜率為定值k時(shí),線段AB的中點(diǎn)N在直線上.設(shè)例1 中M的坐標(biāo)為(x0,y0),直線PQ的斜率為t,在將條件②進(jìn)行代數(shù)化時(shí)曾得到關(guān)系式,即因此,當(dāng)直線PQ的斜率為定值t時(shí),點(diǎn)M在直線上.另一方面,在將條件③進(jìn)行代數(shù)化時(shí)曾得到線段AB中點(diǎn)N(xN,yN)的坐標(biāo)為.

若選擇①②,則t=k,即點(diǎn)M在直線上.聯(lián)立解得M的坐標(biāo)為因此,點(diǎn)M和點(diǎn)N重合,即點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),所以|MA|=|MB|.

若選擇①③,則點(diǎn)M為線段AB中點(diǎn),故M的坐標(biāo)為由于點(diǎn)M在直線上,故解得t=k,所以PQ//AB.

若選擇②③,則點(diǎn)M(x0,y0)在線段AB的垂直平分線上,與直線聯(lián)立,解得x0=,將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入,得,同理y0=yN,故點(diǎn)M和點(diǎn)N重合,所以M在AB上.

評(píng)注上述解答將原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于兩條直線的位置關(guān)系以及點(diǎn)與直線的位置關(guān)系,解答過程充分利用了點(diǎn)M在直線上這一結(jié)論.事實(shí)上,一般的雙曲線中也有類似的結(jié)論,有興趣的讀者可以作進(jìn)一步的探究.

結(jié)語圓錐曲線是高考的必考內(nèi)容,考察的形式多樣,通常都有一道解答題作為壓軸題,運(yùn)算量和思維量較大,學(xué)生需要有較好的思維品質(zhì)才能正確完整地解答.本文探究的高考真題改編自教材習(xí)題.事實(shí)上,近年來的高考數(shù)學(xué)試題中涌現(xiàn)了一批源自教材的優(yōu)秀試題.可見,在日常的教學(xué)和復(fù)習(xí)備考中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入研究教材中的例習(xí)題.教材包含最基本的數(shù)學(xué)知識(shí),是學(xué)生獲得系統(tǒng)知識(shí)的主要材料,也是高考命題的鮮活源泉.羅增儒教授曾指出:“教材是課程的載體,所以高考命題最具體、最方便的依據(jù)其實(shí)就是教材”.引導(dǎo)學(xué)生鉆研教材中的例習(xí)題,深挖其深刻的背景,體會(huì)其豐富的數(shù)學(xué)思想,真正將書本的知識(shí)內(nèi)化為學(xué)生自己的知識(shí).