湖南省長沙市望城區(qū)中小學(xué)教師發(fā)展中心(410200) 劉先明

設(shè)ΔABC的三邊長,三條高,三條旁切圓半徑,外接圓半徑,內(nèi)切圓半徑,半周長與面積分別為a,b,c,ha,hb,hc,ra,rb,rc,R,r,s,Δ,∑表示循環(huán)求和. (本文除特別說明外,取等號(hào)的條件都是“當(dāng)且僅當(dāng)ΔABC為正三角形時(shí)取等號(hào)”)

對如下兩個(gè)Milosevic 不等式:

結(jié)論1在ΔABC中,有.

結(jié)論2在ΔABC中, 有.

文[1]、文[2]和文[3]分別獲得了類似不等式:

文[1] 的定理1、2 (原文[1] 定理1 左邊的“3”應(yīng)當(dāng)為“1”)在ΔABC中,有

文[2]的定理2 在ΔABC中,有

文[3]的結(jié)論8○式 在ΔABC中,有

本文獲得(1)、(2)、(3)式的加強(qiáng)結(jié)論.

引理1(Bottema 基本不等式)在ΔABC中,有

引理2(見文[4]) 在ΔABC中, 有.

1 (1)式的加強(qiáng)

定理3在ΔABC中,有

證明由文[2]知:

2 (2)式的加強(qiáng)

定理4在ΔABC中,有

證明由文[2]知:,

又,

3 (3)式的加強(qiáng)

定理5在ΔABC中,有

證明由引理1 和引理2 知:

由證明過程知定理5 加強(qiáng)了(3) 式, 即加強(qiáng)了文[3] 的結(jié)論8○式.