當(dāng)ΔABC為正三角形時(shí)取等號(hào).引理2(見(jiàn)文 [3]) 在 ΔABC中, 有s2≥當(dāng)且僅當(dāng)ΔABC為正三角形時(shí)取等號(hào).引理3(見(jiàn)文[4])在ΔABC中,有當(dāng)且僅當(dāng)ΔABC為正三角形時(shí)取等號(hào).引理4在ΔABC中,有當(dāng)且僅當(dāng)ΔABC為正三角形時(shí)取等號(hào).證明由引理1,要證明引理4,只需要證明:■∴引理4 成立.定理1在ΔABC中,有當(dāng)且僅當(dāng)ΔABC為正三角形時(shí)取等號(hào).證明∵,∴由引理4,得:.在上式兩邊分別乘以R和r,然后將兩式相加,得:由引理2 和引理3 得:定

經(jīng)常會(huì)看到用正三角形、正方形、正六邊形地磚鋪設(shè)地面的現(xiàn)象，它們能鑲嵌成一個(gè)平面，應(yīng)滿足什么條件？全等的正五邊形能否進(jìn)行密鋪？【思路分析】因?yàn)槭窍嗤膱D形，所以在拼接的時(shí)候只要把相同的邊靠在一起即可，是不是只要考慮這些就可以了呢？其實(shí)，我們還需要考慮在每一個(gè)頂點(diǎn)處若干個(gè)正三角形的內(nèi)角之和或者正方形的內(nèi)角之和或正六邊形的內(nèi)角之和等于360°?！驹O(shè)計(jì)方案】正三角形和正方形的密鋪很容易想象，因?yàn)橛泄岔旤c(diǎn)的若干個(gè)正三角形或正方形的內(nèi)角之和等于360°。正六邊形的每

當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.引理3[7]在△ABC中，有等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.3 主要結(jié)論的證明證明由三角形海倫面積公式及Δ=(sa)ra=(s-b)rb=(s-c)rc=sr，得依據(jù)歐拉不等式R≥2r，18R2-3Rr-2r2-16R2=(2R+r)(R-2r)≥0，所以18R2-3Rr-2r2≥16R2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.利用引理2，有不等式（2）右側(cè)得證.依據(jù)歐拉不等式，有8R3-(4R3+6R2r+3Rr2+2r

，△ABC是正三角形，△A1B1C1的邊A1B1，B1C1，C1A1交△ABC各邊分別于C2，C3，A2，A3，B2，B3.已知A2C3=C2B3=B2A3，且（C2C3）2+（B2B3）2=（A2A3）2.求證：A1B1⊥A1C1.證明 如圖4，把C3A2平移至C2O，連接A2O，得A2C3C2O，連接OA3，OB3.得OC2=A2C3=B3C2，∠OC2B3=∠C=60°，OA2=C2C3，OA2∥C2C3.故△OC2B3是正三角形.從而∠OB3C2=

經(jīng)常會(huì)看到用正三角形、正方形、正六邊形地磚鋪設(shè)地面的現(xiàn)象，它們能鑲嵌成一個(gè)平面，應(yīng)滿足什么條件？全等的正五邊形能否進(jìn)行密鋪？【思路分析】因?yàn)槭窍嗤膱D形，所以在拼接的時(shí)候只要把相同的邊靠在一起即可，是不是只要考慮這些就可以了呢？其實(shí)，我們還需要考慮在每一個(gè)頂點(diǎn)處若干個(gè)正三角形的內(nèi)角之和或者正方形的內(nèi)角之和或正六邊形的內(nèi)角之和等于360°?！驹O(shè)計(jì)方案】正三角形和正方形的密鋪很容易想象，因?yàn)橛泄岔旤c(diǎn)的若干個(gè)正三角形或正方形的內(nèi)角之和等于360°。正六邊形的每

丹妮【摘要】正三角形（等邊三角形）的性質(zhì)是重心、垂心、外心和內(nèi)心“四心”重合，但這“四心”中只要有“兩心”重合，即可證明此三角形為正三角形，這由本文的六個(gè)命題的證明可知結(jié)論成立。【關(guān)鍵詞】 正三角形? ?重心? ?垂心? ?外心? ?內(nèi)心? ?旁心【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1992-7711（2020）20-179-01

如圖1，G是正三角形ABC的邊AB上一點(diǎn)，以BG為一邊作正三角形BGE，連接AE，CG，那么AE = CG. 為什么？ 解析：因?yàn)椤鰽BC和△BGE都是等邊三角形， 所以AB = BC，BE = BG，∠ABC = ∠EBG = 60°， 所以△AEB ≌ △CGB，所以AE = CG. 同類(lèi)練：如圖2，G是正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，以BG為一邊作正方形BGFE，連接AE，CG，那么AE = CG. 為什么？ 例2 如圖3，E是正三角形ABC

當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.首先介紹如下的引理.引理的證明由f(x)=ln sinx-lnx，知f(x)為上凸函數(shù).由g(x)=ln tanx-lnx知g″(x)>0.(2)sin22x-4x2cos 2x>0，注： ① 不等式(2)等價(jià)于(3)② 不等式(2)可加強(qiáng)為[1](4)下面進(jìn)行定理的證明:由此知再由△ABC中的等式可得(5)故由Jensen不等式知由此知或利用△ABC中的等式可得(6)由算術(shù)—幾何平均不等式知sinA+sinB+sinC利用△A

，向外作三個(gè)正三角形，則這三個(gè)正三角形的中心也構(gòu)成正三角形——外Napoleon三角形：（2）以任意三角形的三邊為邊，向內(nèi)作三個(gè)正三角形，則這三個(gè)正三角形的中心也構(gòu)成正三角形——內(nèi)Napoleon三角形：（3）外、內(nèi)Napoleon三角形的面積之差，等于原三角形的面積。上述定理是歐氏幾何中最奇異精彩的定理之一，它因簡(jiǎn)明深邃的結(jié)論和靈活多樣的證法而引人人勝，是歐氏幾何的經(jīng)典課題，百余年來(lái)，人們對(duì)它進(jìn)行了廣泛而細(xì)致的研究，得到了許多深刻而優(yōu)美的結(jié)論，如文[1]

當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.對(duì)Milosevic不等式進(jìn)行再研討，本文得到不等式①的一個(gè)逆向不等式以及不等式②的一個(gè)加強(qiáng).定理2在△ABC中，有③等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.定理3在△ABC中，有④等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.2 三個(gè)引理為證明不等式③與不等式④，先給出三個(gè)引理.引理1[3]在△ABC中，有∑ab=s2+4Rr+r2；∑a2=2(s2-4Rr-r2)；∑a3=2s(s2-6Rr-3r2).引理2[4]在△ABC中，有等號(hào)

一邊作的三個(gè)正三角形的外心是一個(gè)正三角形的頂點(diǎn).在斜三角形內(nèi)側(cè)以各邊為一邊作的三個(gè)正三角形的外心是一個(gè)正三角形的頂點(diǎn).”因?yàn)槭悄闷苼霭l(fā)明，所以稱拿破侖定理(法語(yǔ)：Napoléon Bonaparte).二、證明方法證法一：如圖1，以任意三角形ABC的三邊AB，BC，AC為邊分別作三個(gè)正三角形ABG，BCH，ACO，它們的內(nèi)心分別為F，D，E，要證明DEF是正三角形，只需證明它的三個(gè)角都是60°.連接AF，BF，BD，CD，CE，AE，將△BDF繞點(diǎn)F逆時(shí)針

當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.通過(guò)探究，發(fā)現(xiàn)了不等式①的一個(gè)如下類(lèi)似：?jiǎn)栴}2 在△ABC中，R,r表示三角形外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有②等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.證明記△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c,則存在正數(shù)x、y、z，使得a=y+z,b=z+x,c=x+y.這時(shí)，可以求得(文[5])(*)注意到文[6]里的恒等式：(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz.立知(*)等價(jià)于4(yz)2+4(zx)2+4(xy)2≤

當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào).文[2]給出了歐拉不等式的一個(gè)三角形式的類(lèi)似：定理2設(shè)R,r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào).2 構(gòu)建新的歐拉三角不等式定理3設(shè)R,r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào).定理4設(shè)R,r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào).定理5設(shè)R,r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑

矩形內(nèi)部最大正三角形問(wèn)題，尤其第（3）問(wèn)關(guān)于矩形內(nèi)部最大正三角形的操作、計(jì)算、作圖難度系數(shù)只有2，而此類(lèi)問(wèn)題與教學(xué)緊密相連，學(xué)生非常感興趣，如何突破難點(diǎn)顯得尤為重要.筆者對(duì)此類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行了梳理、總結(jié).一、試題呈現(xiàn)題目：（2017年江蘇·南京卷第27題第（3）問(wèn)）（3）已知矩形一邊長(zhǎng)為3cm，另一邊長(zhǎng)為a cm.對(duì)于每一個(gè)確定的a的值，在矩形中都能畫(huà)出最大的等邊三角形.請(qǐng)畫(huà)出不同情形的示意圖，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的a的取值范圍.二、問(wèn)題解決探究1：任意矩形都有一個(gè)最大的

當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)等號(hào)成立.(p-a)(p-b)=x，(p-b)(p-c)=y，(p-c)(p-a)=z，則a2-(b-c)2=4y，b2-(c-a)2=4z，所以原不等式等價(jià)于[a2-(b-c)2]+[b2-(c-a)2]+[c2-(a-b)2]?(x+y+z)2≥3(xy+yz+zx)?x2+y2+z2≥xy+yz+zx最后的一個(gè)不等式顯然成立,故原不等式成立.由最后的不等式不難看出當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z，也就是p-a=p-b=p-c,即a=b=c時(shí)等

僅當(dāng)三角形為正三角形時(shí)成立.引理2設(shè)a,b,c,s,r,R分別是△ABC的邊長(zhǎng)、半周長(zhǎng)、內(nèi)接圓半徑與外接圓半徑，則(3)其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時(shí)成立.證明由引理1知，只要證由歐拉不等式：R≥2r，只要證(4)因?yàn)?(R+r)(R-2r)+3r2≥0，而=4Rr3+r4≥0.所以，(4)式成立，于是，(3)式成立.從上述證明過(guò)程知，(3)式等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時(shí)成立.3 結(jié)論的證明三式相加，得應(yīng)用三角恒等式a2+b2+c2利用引理2，有即a

提出母排空間正三角形排列，是解決母排振動(dòng)的主要手段。關(guān)鍵詞：母排連接；振動(dòng)；正三角形1引言在變電所中，連接高壓變壓器和中壓開(kāi)關(guān)柜，一般為母排。由于其性能穩(wěn)定，散熱好，頗受開(kāi)關(guān)柜廠家青睞。隨著工業(yè)的發(fā)展，變壓器的容量越來(lái)越大，產(chǎn)生的電流也越來(lái)越大，隨之母排所受的電場(chǎng)力也越來(lái)越大。在變電所巡檢時(shí)，經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)開(kāi)關(guān)柜的振動(dòng)聲很大，這是因?yàn)槟概乓蚴茈妶?chǎng)力而劇烈振動(dòng)，使得開(kāi)關(guān)柜母排的螺絲松動(dòng)，嚴(yán)重時(shí)會(huì)造成短路，燒毀設(shè)備。因此對(duì)開(kāi)關(guān)柜母排振動(dòng)原因進(jìn)行研究并找到避免其振動(dòng)

圖形B、兩個(gè)正三角形是位似圖形C、位似圖形是全等形D、兩個(gè)圖形是位似圖形，則這兩個(gè)圖形一定相似練習(xí)2：判斷下列各圖形是不是位似圖形。（1）五邊形ABCDE和五邊形A′B′C′D′E′（2）正三角形ABC和正三角形A′B′C′(3) 三角形ABC和三角形ADE二、自主活動(dòng)，動(dòng)手實(shí)踐練習(xí)3：（1）以點(diǎn)O為位似中心，把 ABC放大為原來(lái)的2倍。（2）以點(diǎn)O為位似中心，把ABC縮小為原來(lái)的二分之一。三、課堂練習(xí)1.下面是ΔABC位似圖像的幾種畫(huà)法，如圖，其中正確的

當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)等號(hào)成立.命題人的證明推導(dǎo)出了本文進(jìn)一步給出(6)式的加強(qiáng):命題在數(shù)學(xué)問(wèn)題1746的條件下,有當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取“=”號(hào).證明將二維柯西 (Cauchy)不等式 (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)(當(dāng)且僅當(dāng)bc=ad時(shí)取“=”號(hào))用于(3)式,并注意到射影定理a=bcosC+ccosB,有(當(dāng)且僅當(dāng)B=C時(shí)取“=”號(hào)),同理可證:(當(dāng)且僅當(dāng)C=A,A=B時(shí)(9)、(10)分別取“=”號(hào))(8)、(9)、(10)

01）通過(guò)對(duì)正三角形、正多邊形以及橢圓的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)行軌跡探究得出：只要設(shè)計(jì)出適當(dāng)?shù)穆访婧推?chē)前后車(chē)輪軸心的距離，輪子是三角形、凸多邊形和橢圓形狀的汽車(chē)可以平穩(wěn)行駛，并且求出一般結(jié)論，光滑封閉曲線形狀的車(chē)輪可以平穩(wěn)行駛。關(guān)鍵詞：車(chē)輪；正三角形；正多邊形；橢圓；光滑封閉曲線一、問(wèn)題提出汽車(chē)的輪子是圓形的，對(duì)此大家司空見(jiàn)慣，試想如果汽車(chē)輪子不是圓形的，那么這樣的汽車(chē)能否平穩(wěn)行駛？其實(shí)，在高低不平的路面，圓形輪子的汽車(chē)是不能平穩(wěn)行駛的，要使汽車(chē)在這樣的路面平穩(wěn)行駛，就

°.例2P是正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),連PA,PB,PC,若PA=10,PB=6,PC=8,求正三角形ABC的邊長(zhǎng).解如圖6，將?BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至?BP′A位置，連結(jié)PP′,顯然?BPP′為正三角形.在?APP′中,AP=10,AP′=8,PP′=PB=6,則有AP2=AP′2+PP′2,故?APP′為直角三角形,∠AP′P=90°.在?ABP′中,AB2=AP′2+BP′2-2AP′·BP′cos∠AP′B，即AB2=62+82-2×6×8co

發(fā)現(xiàn)之旅：由正三角形“衍生”出正三角形再探◎楊 川(四川新津縣鄧雙學(xué)校，四川 新津 611437)在文[1]中探究了由正三角形“衍生”出正三角形的一些情況，現(xiàn)對(duì)原正三角形與“衍生”出的正三角形邊長(zhǎng)、面積之間的聯(lián)系進(jìn)行探究.正三角形；邊長(zhǎng)；面積一、命題探究探究命題1 已知，如圖1，點(diǎn)M，N，P分別在正三角形ABC(邊長(zhǎng)為a)的BC，CA，AB的延長(zhǎng)線上，且BM=CN=AP=b(b>a)，連接NP，PM，MN.圖1圖2證明① 在文[1]中已證△MNP為正三角形

，△ABC為正三角形，P為其內(nèi)部任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別向三角形的三邊作垂線，垂足分別是D、E、F，連接PA、PB、PC.文[1]通過(guò)研究得出：（1）AF+BD+CE=FB+DC+EA；（2）正△ABC被分成了6個(gè)直角三角形，這6個(gè)直角三角形的內(nèi)切圓半徑依次記為r1、r2、r3、r4、r5、r6，則r1+r3+r5=r2+r4+r6.筆者在文[1]研究的基礎(chǔ)上又發(fā)現(xiàn)了三條新的結(jié)論，權(quán)作補(bǔ)遺.性質(zhì)1AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2；性質(zhì)2四邊形AEP

并受此啟發(fā)對(duì)正三角形網(wǎng)格中的類(lèi)似問(wèn)題進(jìn)行探究：正三角形網(wǎng)格中每個(gè)小正三角形面積為1，小正三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形，下圖是該正三角形格點(diǎn)中的兩個(gè)多邊形：讀完題，我非常有信心能把這題解出來(lái).與原來(lái)背景唯一不同的就是將正方形網(wǎng)格換成了正三角形網(wǎng)格.很輕松的，第一行應(yīng)該填8，第二行應(yīng)該填11.我笑瞇瞇地朝著老爸說(shuō)：“老爸，這題也太簡(jiǎn)單了，下面只要我去尋找規(guī)律就行了，真的沒(méi)什么技術(shù)含量.”老爸笑而不語(yǔ).我又開(kāi)始埋頭苦干起來(lái)，果然局勢(shì)突變

當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)等號(hào)成立.由于該不等式具有簡(jiǎn)單而不平凡的特點(diǎn)，所以至今仍然在幾何不等式領(lǐng)域里保持著高水平的地位，關(guān)于它的各種加強(qiáng)和推廣的研究一直是幾何不等式研究的熱點(diǎn)，筆者在研究三角形內(nèi)部任意一點(diǎn)到各邊的距離時(shí)得到了歐拉不等式的如下推廣.由上述證明過(guò)程不難看出，當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形并且點(diǎn)P為△ABC的中心時(shí)等號(hào)成立.特別地，當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心時(shí)，x=y=z=r（r為△ABC的內(nèi)切圓半徑），則由（1）式得R2≥r，即R≥2r，因此不等式（1）

他請(qǐng)教：如果正三角形內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)P，那么，不管P的位置在三角形內(nèi)如何變動(dòng)，P到三角形三邊距離之和是否總是不變的呢？佩多教授馬上給了讓他滿意的答復(fù). 如圖1，把△ABC分成△PAB，△PBC，△PCA.上式右端恰好是△ABC的高！其實(shí)，那位經(jīng)濟(jì)學(xué)家大可不必為此去麻煩佩多教授，一個(gè)初中二年級(jí)的學(xué)生就能給他滿意的答復(fù)，因?yàn)檫@個(gè)題目常常被選為平面幾何的習(xí)題！不過(guò)，它當(dāng)初還是數(shù)學(xué)家維維安尼的一條定理呢！但是，這個(gè)小小的習(xí)題卻啟發(fā)我們：從平凡的事實(shí)出發(fā)，有時(shí)a能得到并不

B′C′均為正三角形時(shí)，②式取等號(hào).當(dāng)且僅當(dāng)△ABC與△A′B′C′均為正三角形時(shí)，③式取等號(hào).簡(jiǎn)證：我們對(duì)△ABC與△B′C′A′、△ABC與△C′A′B′兩次使用①式，可得將④與⑤兩式兩邊分別相加后同時(shí)除以2，便得當(dāng)且僅當(dāng)△ABC與△A′B′C′均為正三角形時(shí)，②式取等號(hào).將①、④與⑤三式兩邊分別相加，便得：當(dāng)且僅當(dāng)△ABC與△A′B′C′均為正三角形時(shí)，③式取等號(hào).命題2 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式當(dāng)且僅當(dāng)△ABC∽△A′B′C′時(shí)，⑥式

當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)等號(hào)成立.證明在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,(a+b)2-4ab=(a-b)2≥0,即顯然，當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)等號(hào)成立.推論1[1]設(shè)△ABC的3條邊長(zhǎng)和面積分別為a,b,c和Δ，則證明由二元均值不等式及本文定理1可得推論1就是著名的外森比克不等式,本文定理1是外森比克不等式的一種加強(qiáng).推論2設(shè)△ABC的3條邊長(zhǎng)和面積分別為a,b,c和Δ，則證明從本文定理1的證明可以看出有以下更強(qiáng)的不等式:同理

400)巧用正三角形解題●應(yīng)立君余雪贊(余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 浙江余姚 315400)正三角形又稱等邊三角形，是最完美的三角形．它的3條邊相等，3個(gè)內(nèi)角均為60°，可以據(jù)此進(jìn)行邊角的傳遞、轉(zhuǎn)化；它是軸對(duì)稱圖形，被對(duì)稱軸分成的2個(gè)三角形(含有30°角的特殊直角三角形)，可以據(jù)此進(jìn)行長(zhǎng)度、角度、面積等計(jì)算；它又是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，據(jù)此可把它分成3個(gè)全等的特殊等腰三角形(頂角為120°)．本文介紹正三角形在競(jìng)賽解題中的的幾種用法，旨在拋磚引玉.1 化歸成“正三角形”正三角

空隙。這就是正三角形、正方形和正六邊形。因?yàn)?span id="syggg00" class="hl">正三角形的一個(gè)角等于60°，六個(gè)正三角形拼在一起時(shí)，在公共頂點(diǎn)上的六個(gè)角之和等于360°正方形的一個(gè)角等于90°，所以四個(gè)正方形拼在一起時(shí)，在公共頂點(diǎn)上的四個(gè)角之和剛好360°而正六邊形的一個(gè)角是120°，所以三個(gè)正六邊形道磚拼在一起時(shí)，在公共頂點(diǎn)上的三個(gè)角之和也是360°。如果用別的正多邊形拼在一起，就達(dá)不到要求。例如正五邊形的一個(gè)角等于108°，把三個(gè)正五邊形拼在一起，在公共點(diǎn)上的三個(gè)角的和是108°×3=3

，△EDP為正三角形，∴PD=PE=ED又∠PEC=360°－（∠PED＋∠DEC）=360°－（150°＋60°）=150°∴∠PEC=∠DEC∴△DEC≌△PEC（SAS）∴PC=DC從而，BP=PC=BC即：△PBC為等邊三角形．解法二：以AD為邊向外作等邊△AED.再連結(jié)EP．∵∠PAD=∠PDA=15°∴AP=PD在△EAP和△EDP中△EAP≌△EDP（SSS）∴∠1=∠2=60°在△EAP和△BAP中EA=AB∠EAP=∠BAPAP=AP=7

的正方形換成正三角形，那么，分別以兩直角邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正三角形面積之和是否等于以斜邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正三角形的面積呢？探究：如圖2，△ABC中，∠C=90°，△ABD、△BCE、△ACF均為正三角形.判斷S△ＢＣＥ+S△ACF是否等于S△ABD.因?yàn)椤鰽BD、△BCE、△ACF均為正三角形，所以由正三角形面積公式知，S△ABD=AB2，S△ACF=AC2，S△BCE=BC2.Ｓ△ACF+Ｓ△BCE=AC2+BC2=·（AC2+BC2），又因?yàn)锳C2+BC2=AB2

等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把與正三角形接近的程度稱為“正度”.在研究正度時(shí)，應(yīng)保證相似三角形的正度相等. 設(shè)等腰三角形的底和腰分別為a，b，底角和頂角分別為α，β.要求正度的值是非負(fù)數(shù). 同學(xué)甲認(rèn)為：可用式子|a-b|來(lái)表示正度，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同學(xué)乙認(rèn)為：可用式子|α-β|來(lái)表示正度，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形. 探究：（1） 他們的方案哪個(gè)較合理？為什么？（2） 對(duì)你認(rèn)為不夠合理的方案

，可畫(huà)多少個(gè)正三角形？至少應(yīng)當(dāng)去掉多少個(gè)點(diǎn)，才能使得留下的任何三點(diǎn)都不能組成一個(gè)正三角形？探究過(guò)程：依次連接各點(diǎn)，如圖5.若把相鄰的兩點(diǎn)之間的距離設(shè)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，那么可分類(lèi)如下：邊長(zhǎng)為1的正三角形的個(gè)數(shù)為：1+3+5=9；邊長(zhǎng)為2的正三角形的個(gè)數(shù)為：1+2=3；邊長(zhǎng)為3的正三角形的個(gè)數(shù)為1；邊長(zhǎng)為BH或CD的正三角形個(gè)數(shù)為：1+1=2

（ ）.A.正三角形、正方形、正五邊形B.正三角形、正方形、正六邊形C.正方形、正五邊形、正六邊形D.正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形分析：這是個(gè)密鋪問(wèn)題，判斷能否密鋪，可任選一個(gè)拼接點(diǎn)，看拼接點(diǎn)處的幾個(gè)內(nèi)角的和的度數(shù)，若恰好是360°，即幾個(gè)內(nèi)角組成一個(gè)周角，則能密鋪，否則不能.用同一種正多邊形密鋪，其內(nèi)角如果能整除360°，則能夠密鋪.顯然，正三角形、正方形、正六邊形的內(nèi)角都能被360°整除.解：選B.（二）用多種正多邊形密鋪例2某市雙語(yǔ)中學(xué)游藝館

（）.A. 正三角形B. 正方形C. 正五邊形 D. 正六邊形解析： 如圖1，我們可以看到，6個(gè)正三角形可以拼地板圖案.再看圖2、圖4，知正方形和正六邊形也是可以拼地板圖案的.而正五邊形（如圖3）是不能拼地板圖案的.此題的答案為C.評(píng)注：由這4幅圖我們很容易發(fā)現(xiàn)用同一種正多邊形拼地板圖案的規(guī)律：幾個(gè)相同正多邊形在公共頂點(diǎn)處的內(nèi)角加在一起恰好是360°（60°×6=360°，90°×4=360°，120°×3=360°），即正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)×正多邊形

.3. 3個(gè)正三角形和2個(gè)可以進(jìn)行鑲嵌，2個(gè)正八邊形和1個(gè)可以進(jìn)行鑲嵌.（填正多邊形名稱）4. 用大小完全相同的正三角形進(jìn)行平面鑲嵌，則每個(gè)重合的頂點(diǎn)周?chē)袀€(gè)正三角形.用外角為60°的正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌，則每個(gè)重合的頂點(diǎn)周?chē)羞@種正多邊形個(gè).二、選擇題5. 以下正多邊形中，不能與正三角形組合進(jìn)行鑲嵌的是（）.A. 正方形B. 正六邊形C. 正十二邊形D. 正十七邊形6. 某人到建材市場(chǎng)去購(gòu)買(mǎi)一種正多邊形瓷磚用來(lái)鋪地板，若使地面無(wú)空隙，他購(gòu)買(mǎi)的瓷磚的形狀不

邊形地磚：①正三角形與正方形；②正三角形與正六邊形；③正六邊形與正方形；④正八邊形與正方形．將每組中的兩種多邊形地磚結(jié)合，能進(jìn)行鑲嵌的是（）．A． ①③④ B． ②③④C． ①②③ D． ①②④<\192.168.2.123