浙江省湖州市雙林中學(xué)(313012) 李建潮

一個數(shù)學(xué)問題的再加強(qiáng)

浙江省湖州市雙林中學(xué)(313012) 李建潮

《數(shù)學(xué)通報》2008年8月號問題1746是:設(shè)I是△ABC的內(nèi)心,R是△ABC的外接圓半徑,r,r1,r2、r3分別是△ABC、△IBC、△ICA、△IAB的內(nèi)切圓半徑.求證:

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時等號成立.

命題人的證明推導(dǎo)出了

本文進(jìn)一步給出(6)式的加強(qiáng):

命題在數(shù)學(xué)問題1746的條件下,有

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取“=”號.

證明將二維柯西 (Cauchy)不等式 (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)(當(dāng)且僅當(dāng)bc=ad時取“=”號)用于(3)式,并注意到射影定理a=bcosC+ccosB,有

(當(dāng)且僅當(dāng)B=C時取“=”號),同理可證:

(當(dāng)且僅當(dāng)C=A,A=B時(9)、(10)分別取“=”號)(8)、(9)、(10)三式相加,得

其中(7)式取“=”號當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形.

顯然,由以下不等式:

還可以得到:

推論在數(shù)學(xué)問題1746的條件下,有

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取“=”號.其中(14)式即為(文[1]的)(6)式.

[1]陳遠(yuǎn)新,唐鴻.數(shù)學(xué)問題1746的加強(qiáng)[J].數(shù)學(xué)通報,2010,7.