☉云南省漾濞縣第一中學(xué) 秦慶雄 范花妹

本文將首先證明一個(gè)簡(jiǎn)單的代數(shù)不等式，然后由它可以推出一系列三角形中的優(yōu)美不等式，其中包括著名的匹多（Pedoe）不等式的加強(qiáng)、費(fèi)恩斯列爾（Finsler）-哈德維格爾（Hadwiger）不等式的加強(qiáng)等，以及其他一些有趣的不等式.

一、一個(gè)代數(shù)不等式及其證明

定理 設(shè)實(shí)數(shù)x′，y′，z′及x，y，z同時(shí)滿足x′+y′+z′＞0，x+y+z>0，x′y′+y′z′+z′x′>0，xy+yz+zx>0，那么

當(dāng)且僅當(dāng)x′：x=y′：y=z′：z時(shí)（*）式中的等號(hào)成立.

證明：要證（*）式成立，只需證（x′+y′+z′）2（x+y+z）2≥（x′+y′+z′）（x+y+z）（x′x+y′y+z′z）+（x′+y′+z′）2（xy+yz+zx）+（x+y+z）2（x′y′+y′z′+z′x′）成立.

由均值不等式和柯西不等式，可得：

即（x′+y′+z′）2（x+y+z）2≥（x+y+z）（x′+y′+z′）（x′x+y′y+z′z）+（x′+y′+z′）2（xy+yz+zx）+（x+y+z）2（x′y′+y′z′+z′x′）成立，由均值不等式和柯西不等式取等號(hào)的條件知，當(dāng)且僅當(dāng)x′：x=y′：y=z′：z時(shí)（*）式等號(hào)成立，從而定理獲證.

二、三角形中幾個(gè)有趣的不等式

本文中，用a，b，c，S與a′，b′，c′，S′分別表示△ABC和△A′B′C′的邊長(zhǎng)及面積.

命題1 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC∽△A′B′C′時(shí)，①式取等號(hào).

據(jù)三角形面積的秦九韶公式，得：

同理，可得x′y′+y′z′+z′x′=16S2.

將以上各式代入（*）式，便得到①式.

說(shuō)明：不等式①，由中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)的彭家貴教授和常庚哲教授于1983年在文［1］中提出并證明，這里給出了另一種證明.

對(duì)①式的右邊用均值不等式，便可得

推論1 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式

a2（b′2+c′2-a′2）+b2（c′2+a′2-b′2）+c2（a′2+b′2-c′2）≥16SS′，當(dāng)且僅當(dāng)△ABC∽△A′B′C′時(shí)等號(hào)成立.

上式即為著名的匹多（Pedoe）不等式，可見(jiàn)①式是比匹多（Pedoe）不等式更精細(xì)的不等式.

由①式出發(fā)，我們可以推導(dǎo)出另外一些涉及兩個(gè)三角形的不等式.

推論2 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC與△A′B′C′均為正三角形時(shí)，②式取等號(hào).

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC與△A′B′C′均為正三角形時(shí)，③式取等號(hào).

簡(jiǎn)證：我們對(duì)△ABC與△B′C′A′、△ABC與△C′A′B′兩次使用①式，可得

將④與⑤兩式兩邊分別相加后同時(shí)除以2，便得

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC與△A′B′C′均為正三角形時(shí)，②式取等號(hào).

將①、④與⑤三式兩邊分別相加，便得：

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC與△A′B′C′均為正三角形時(shí)，③式取等號(hào).

命題2 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC∽△A′B′C′時(shí)，⑥式取等號(hào).

將以上各式代人（*）式，便得到⑥式.

說(shuō)明：不等式⑥，由宋慶老師（現(xiàn)任教于江西南昌大學(xué)附屬中學(xué)）于1989年在文［2］中提出并證明，這里給出了另一種證明.

對(duì)⑥式的右邊用一下均值不等式，便可得

推論3 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式：當(dāng)且僅當(dāng)△ABC與△A′B′C′為正三角形時(shí)等號(hào)成立.

上式由重慶市第二十三中學(xué)高靈老師于1981年提出，并發(fā)表于美國(guó)《Mathematics Magazine》第55卷（1982）第5期299頁(yè)上的問(wèn)題1156，可見(jiàn)⑥式是比高靈不等式更精細(xì)一些的不等式.

由⑥式出發(fā)，我們可以推導(dǎo)出另外一些涉及兩個(gè)三角形的不等式.

推論4 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC與△A′B′C′均為正三角形時(shí)，⑦式取等號(hào).

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC與△A′B′C′均為正三角形時(shí)，⑧式取等號(hào).

簡(jiǎn)證： 我們對(duì)△ABC與△B′C′A′、△ABC與△C′A′B′兩次使用⑥式，可得：

將⑨與⑩兩式兩邊分別相加后同時(shí)除以2，便得：

命題3 對(duì)任意△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC∽△A′B′C′時(shí)式取等號(hào).

將以上各式代人（*）式，便得到式.

推論5 對(duì)任意△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC∽△A′B′C′時(shí)，上式取等號(hào).

說(shuō)明：上式即為陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院安振平老師于2012年在文［3］中提出的定理1，可見(jiàn)式是比上式更精細(xì)一些的不等式.

命題4 對(duì)任意△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC∽△A′B′C′時(shí)式取等號(hào).

簡(jiǎn)證:在（*）式中，令x=cotA′，y=cotB′，z=cotC′，x′=cotA，y′=cotB，z′=cotC.

在△ABC和△A′B′C′中，易得：

將以上各式代人（*）式，便得到式.

推論6 對(duì)任意△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC∽△A′B′C′時(shí)，上式取等號(hào).

說(shuō)明：上式即為陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院安振平老師于2012年在文［3］中提出的定理2，可見(jiàn)式是比上式更精細(xì)一些的不等式.

命題5 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

則x′+y′+z′=a2+b2+c2，x+y+z=2（a′b′+b′c′+c′a′）-（a′2+b′2+c′2）.

據(jù)三角形面積的秦九韶公式，得：

據(jù)三角形面積的海倫公式，得：

即xy+yz+zx=16S′2.

將以上各式代人（*）式，便得到式.

對(duì)上式經(jīng)過(guò)恒等變形，可以得到：

推論7 在△A′B′C′中，有不等式：

當(dāng)且僅當(dāng)△A′B′C′為正三角形時(shí)等號(hào)成立.

推論8 在△A′B′C′中，有不等式：

a′2+b′2+c′2≥2，當(dāng)且僅當(dāng)△A′B′C′為正三角形時(shí)等號(hào)成立.

上式即為著名的費(fèi)恩斯列爾（Finsler）-哈德維格爾（Hadwiger）不等式，可見(jiàn)式是比費(fèi)恩斯列爾（Finsler）-

哈德維格爾（Hadwiger）不等式更精細(xì)一些的不等式.

命題6 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC∽△A′B′C′時(shí)式取等號(hào).

z=（a′+c′-b′）（b′+c′-a′），

則x′+y′+z′=2（ab+bc+ca）-（a2+b2+c2），x+y+z=2（a′b′+b′c′+c′a′）-（a′2+b′2+c′2）.

據(jù)三角形面積的海倫公式，得：

將以上各式代人（*）式，便得到式.

推論9 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC∽△A′B′C′時(shí)式取等號(hào).

上式由陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院安振平老師在《數(shù)學(xué)通訊》1987年第6期上提出，可見(jiàn)式是比安振平不等式更精細(xì)一些的不等式.

據(jù)三角形面積的秦九韶公式，得：

將以上各式代人（*）式，便得到式.

推論10 設(shè)實(shí)數(shù)x，y，z同時(shí)滿足x+y+z＞0，xy+yz+zx＞0，在△ABC中，有不等式：

問(wèn)題：在△ABC中，有不等式：

1.彭家貴，常庚哲.再談匹多不等式.初等數(shù)學(xué)論叢（第6輯）［M］.上海教育出版社，1983（7）：17-25.

2.宋慶.一個(gè)三角不等式的加強(qiáng)［J］.湖南數(shù)學(xué)通訊，1989（4）：26-37.

3.安振平.涉及兩個(gè)三角形角元的一個(gè)不等式［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012（9）：28-29.

4.劉保乾.一組僅含三角形邊長(zhǎng)的不等式.第三屆全國(guó)初等數(shù)學(xué)研究學(xué)術(shù)交流論文集 （福州）［M］.1996（8）：559-571.

5.張小明.一個(gè)猜想不等式的證明：不等式研究（第一輯）［M］.拉薩：西藏人民出版社，2000（6）：271-274.