遼寧省沈陽市沈河區(qū)教師進修學校 王 丹

數(shù)學概念是指客觀事物或現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系或空間形式在人們大腦中的反映.也就是說我們一旦對事物的本質(zhì)屬性產(chǎn)生了認識，就會在腦海中形成相應(yīng)的概念.于數(shù)學學科而言，概念就是它的基礎(chǔ)或構(gòu)成細胞，是培養(yǎng)學生邏輯思維的關(guān)鍵性因素，學生只有形成了相應(yīng)的概念，才能進行較好的思維.缺乏概念的支撐，不僅無法思維，更無法準確判斷.

1 趣味導(dǎo)入，激發(fā)靈感

布魯納曾經(jīng)說過：“學生若沒有事先從直覺上接觸過概念，貿(mào)然將概念以正規(guī)形式呈現(xiàn)在他們面前，會讓概念的學習變得力不從心.”[1]由此可見，概念的導(dǎo)入對概念教學的成效具有舉足輕重的影響.眾所周知，興趣是學習最好的老師.結(jié)合學生的心理發(fā)展特征，利用學生感興趣的方式進行概念導(dǎo)入能起到事半功倍的效果.

常用的概念導(dǎo)入方法有以下幾種：①分析現(xiàn)實材料，抽象概念.利用貼合學生生活實際的材料，如實物、模型或圖示等，讓學生在觀察與分析中抽象出它們的特征形成概念.②結(jié)合內(nèi)在需求引入概念.每個人都有內(nèi)在發(fā)展的需求，而這種需求是推動學科發(fā)展的主要動力，教師可通過激發(fā)學生認知矛盾的方式，促使學生產(chǎn)生探究的欲望.③類比分析，明晰概念.類比是一種重要的數(shù)學思想，我們可將生活中具有共性特征的事物羅列到一起，鼓勵學生在異同點的類比分析中明晰概念.

案例1“平行線”的概念教學

為了激發(fā)學生對平行線的興趣，教師可讓學生觀察生活中熟悉的鐵軌、公路分流線(見圖1)等，從中抽象出它們共同的本質(zhì)屬性.

圖1

學生在觀察與交流后一致認為它們的共同屬性是都有可以無限延長，卻永不相交的線存在.

師：還有其他補充嗎？

生1：應(yīng)該是在同一個平面內(nèi)，要是不在一個平面就不好說了.

師：非常好！這就是我們今天要學的“平行線”.現(xiàn)在請你們根據(jù)剛才的觀察與分析，完整地說一說平行線的概念.

…………

以生活素材作為平行線概念教學的導(dǎo)入，不僅快速激起了學生探究的興趣，還讓學生在觀察與交流中產(chǎn)生靈感，自主抽象出相應(yīng)的概念.學生通過對生活實例的觀察，體會到平行線的本質(zhì)屬性與生活實際應(yīng)用價值.這種教學設(shè)計，有效地提升了學生從生活現(xiàn)象中抽象數(shù)學知識的能力，為培養(yǎng)學生的抽象邏輯思維奠定了堅實的基礎(chǔ).

2 注重交流，概念形成

概念的形成需經(jīng)歷一個概括的過程.概括就是以一些典型的事物或?qū)嵨镒鳛榉治龅妮d體，通過學習者的探究與交流分析出它們的共有屬性.概括的過程就是概念形成的過程，而數(shù)學教學本就要求講究背景、思想與應(yīng)用，概念概括則體現(xiàn)了這個過程[2].學生的學習能力在概念概括中得以體現(xiàn)，因此，發(fā)展學生的數(shù)學能力首先要注重概念概括過程.

一般情況下，概念的形成不可能一步到位，需經(jīng)歷從模糊到清晰、從片面到全面、從特殊到一般的過程.因此，教師在概念教學時要保持充足的耐心，不要急于求成，可通過循序漸進的引導(dǎo)，讓學生在合作交流、反思中由淺入深地實現(xiàn)概念概括.

案例2“方差、標準差”的概念教學

教師提供以下材料，供學生討論：

如表1，這是江蘇省某市2020年3月與2021年同期的每天最高氣溫對照情況：

表1 兩年同期的每天最高氣溫對照 單位：℃

對于這組數(shù)據(jù)，該如何進行比較呢？學生嘗試使用學過的平均數(shù)、中位數(shù)以及眾數(shù)等，經(jīng)統(tǒng)計分析后發(fā)現(xiàn)三個量竟然毫無差異，這樣的結(jié)果讓不少學生感到驚詫.如此，是不是說明這兩年在同一時間段的氣溫就毫無差異呢？有些學生不禁提出疑問：除了以上幾種比較方式以外，還可以用什么指標來分析這種差異？

此時教師提醒學生可嘗試將數(shù)據(jù)繪制成統(tǒng)計圖，然后再進行觀察.學生的探究欲立刻就被激起，且快速進入小組合作學習的模式，各組學生積極地制圖、分析、思考.巡查中，筆者發(fā)現(xiàn)學生有如下交流：

生1：從繪制而成的折線圖中來看，這兩組數(shù)據(jù)有著一定的起伏.如果去掉每組的最大與最小值之后，其他數(shù)據(jù)是否存在差異性波動呢？

生2：是不是可以用一個更加敏感的新指標來進行數(shù)據(jù)分析？

生3：咱們嘗試從每個數(shù)值與平均數(shù)的關(guān)系著手呢？

生4：若將各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差相加試試看呢？

…………

隨著學生之間交流的不斷深入，方差的概念隨著學生的合作交流自然誕生.雖然有些組還處于不太肯定的探究階段，但都已經(jīng)認識到數(shù)據(jù)的個數(shù)對他們所提出的新指標有著影響.隨后，各組代表逐一匯報了本組對這張表格的研究結(jié)論，教師在此基礎(chǔ)上及時給予引導(dǎo)與完善.方差與標準差的概念也就在師生共同的交流中概括而成.

學生通過自主合作交流，從教師提供的材料數(shù)據(jù)中概括、提煉出其中的本質(zhì)特征，雖然提煉過程中有各種障礙與疑問，但這些障礙與疑問很顯然就是思維的腳手架，促進學生在一步步的思考與分析中獲得新知.雖然學生的概括不一定準確，用詞也不夠精準，但他們共同探討、交流的過程就是不斷完善的過程.因此，教師應(yīng)耐心地做好引導(dǎo)工作，傾聽學生的言論，讓學生在舒適、和諧的氛圍內(nèi)更好地思考與探索，為創(chuàng)新意識的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ).

3 變式拓展，靈活應(yīng)用

概念的學習是為了更好地應(yīng)用，應(yīng)用能力體現(xiàn)了學生對概念的理解程度.因此，適當?shù)木毩暿谴龠M學生深入理解概念的有效方法.教學中，常發(fā)現(xiàn)一些學生已經(jīng)掌握了課堂中的一些練習，但課后題目稍微發(fā)生點變化就又力不從心了.究其原因主要還在于沒有深入掌握概念的內(nèi)涵，從而無法靈活變通.因此，教師在設(shè)計練習時，可有意識地設(shè)計一些變式訓(xùn)練，讓學生深切體驗概念的靈活性，獲得舉一反三的能力.

變式在概念教學中的應(yīng)用，按概念的類型主要分：①不定義型概念.此類概念的變式訓(xùn)練方式以描述或列舉為主.②定義型概念.此類概念的變式拓展可應(yīng)用邏輯關(guān)系編擬變式訓(xùn)練內(nèi)容，如真、假、逆、否命題等.③不理解型概念.有些學生雖然能一字不落地背誦概念，但對它的理解程度卻只停留在淺表層面.此類概念可從不同角度輔以正反事例進行變式設(shè)計.④不易想象型概念.如幾何類的概念，可借助圖形的變化進行變式訓(xùn)練，讓學生在數(shù)形結(jié)合中對概念產(chǎn)生更加直觀形象的認識.

弄清概念的內(nèi)涵與外延是概念教學的首要任務(wù)，它對解決相應(yīng)的問題具有重要影響.變式的應(yīng)用能讓學生學會從不同的視角觀察與分析問題，對推進教學活動與完善學生的思維具有深遠的影響.

案例3“一次函數(shù)”的概念教學

原題已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=x(a-3)-3，求a的值.

變式1已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=(a+3)x-3，求a的取值范圍.

變式2已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=(a+3)·xa2-3-3，求a的值.

變式3已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=(a+3)x+4x-3，求a的取值范圍.

這三個變式的設(shè)計，從學生對概念理解的基礎(chǔ)上拓展而來，變式問題的提出與學生的最近發(fā)展區(qū)相契合.學生在對問題的探究與思考中逐漸領(lǐng)悟一次函數(shù)概念的內(nèi)涵與外延，同時不少學生的思維也到“跳一跳，摘到桃”的效果.

總之，概念在數(shù)學學科中的地位猶如一座大廈的地基，對學生后期的學習具有決定性的影響.作為教師，不僅要關(guān)注學生對概念的理解程度，還要注重對學生概念應(yīng)用能力的培養(yǎng).讓學生在概念學習過程中獲得良好的數(shù)學思想與方法，為創(chuàng)造力的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ).