徐冰 山東省東營市實(shí)驗(yàn)小學(xué)

問題表征是指在頭腦中對一個問題信息進(jìn)行記載、理解和表達(dá)的方式。數(shù)學(xué)表征能力是數(shù)學(xué)解決問題過程的一個重要階段，恰當(dāng)?shù)膯栴}表征是成功解決問題的前提條件。

一、問題表征的內(nèi)涵

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，數(shù)學(xué)廣泛滲透在人們的日常生活中，“大眾數(shù)學(xué)”的倡導(dǎo)使得“能夠準(zhǔn)確形象地用合適的表征方式表達(dá)數(shù)學(xué)”顯得格外重要?！氨碚飨到y(tǒng)”這一概念是由美國學(xué)者首次提出的。新加坡數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2007 年）中提出：在問題解決和探索中使用直觀表征，比如模型、圖表、圖像、圖形等。在我國，問題表征在數(shù)理化應(yīng)用題中的研究比較早，徐明（2002 年）將數(shù)學(xué)問題的外在表征形式分為了五類：文字表征、數(shù)式表征、圖表表征、模型表征和實(shí)驗(yàn)表征。

問題表征，是數(shù)學(xué)問題在學(xué)生頭腦中的理解、呈現(xiàn)、表達(dá)和記載方式。問題表征能力是指在問題解決過程中，學(xué)生綜合運(yùn)用觀察、操作、分析、綜合等思維方式，將“數(shù)學(xué)問題所包含的有效信息”同“自身儲存的知識經(jīng)驗(yàn)”進(jìn)行主動建構(gòu)，促進(jìn)“數(shù)學(xué)問題”轉(zhuǎn)化為“圖像模型”“符號模型”等數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用模型解決問題的一種思維能力。問題表征能力是數(shù)學(xué)建模能力的核心。問題表征能力的強(qiáng)弱決定著學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解程度，決定著學(xué)生問題解決能力的發(fā)展水平。也就是說，如果一個數(shù)學(xué)問題得到了恰當(dāng)?shù)谋碚?，那么這個問題就解決了一半。

本文從數(shù)學(xué)建模的角度出發(fā)，將“問題表征”與“解決問題”有機(jī)地聯(lián)系在一起，在課堂中鼓勵學(xué)生用多種表征方式解決問題，譬如借助情境、語言、圖形、符號等可以幫助學(xué)生理解題意，形成解決問題的思考方法，從而培養(yǎng)學(xué)生多元化的數(shù)學(xué)表征方式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表征水平，并通過對比、分析、抽象順利建立數(shù)學(xué)模型，從而解決數(shù)學(xué)問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。皮亞杰認(rèn)為：“7～11 歲兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)由前運(yùn)算階段的表象圖式演化為運(yùn)算圖式。該時期的心理操作著眼于抽象概念，屬于運(yùn)算性（邏輯性）的，但思維活動需要具體內(nèi)容的支持?！币虼?，在教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生用圖形、符號、表格等方法表征問題，從而支持學(xué)生的思維活動，把抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、具體化，促進(jìn)“數(shù)學(xué)問題”轉(zhuǎn)化為“圖形模型”“符號模型”等數(shù)學(xué)模型，有助于學(xué)生探索解決問題的思路和方法，提升數(shù)學(xué)建模能力。

二、問題表征在數(shù)學(xué)問題解決中的教學(xué)實(shí)踐

（一）圖形表征

圖形表征是有效構(gòu)建數(shù)學(xué)模型必不可少的表征方式。在具體的教學(xué)實(shí)踐中，當(dāng)學(xué)生遇到抽象難懂或復(fù)雜難解的數(shù)學(xué)問題時，可以通過“實(shí)物圖”“示意圖”“線段圖”等多種方式，將抽象的“數(shù)學(xué)問題”轉(zhuǎn)化為直觀的“圖形模型”，使抽象的“數(shù)學(xué)問題”直觀化、形象化、模型化。同時，這一過程能夠發(fā)展學(xué)生的具體形象思維和抽象邏輯思維能力，增強(qiáng)學(xué)生的問題解決能力和數(shù)學(xué)建模能力。

圖形表征有利于學(xué)生由直觀形象思維逐步向抽象思維過渡，從而突破教學(xué)內(nèi)容中的關(guān)鍵問題或疑難問題。借助圖形表征，學(xué)生可以梳理數(shù)量關(guān)系，順利建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

【案例1】求比一個數(shù)多幾的數(shù)（青島版數(shù)學(xué)五四制二年級下冊第67頁）

1.問題情境

學(xué)生根據(jù)情境圖找信息、提問題：黃鸝有46 只，喜鵲比黃鸝多8只，黃鸝有多少只？

2.建立模型

師：你能用畫一畫的方法將信息和問題整理一下嗎？

（1）學(xué)生嘗試用畫一畫的方法整理信息和問題。

（2）展示交流。

第一種方法：

用46 個小圓圈表示黃鸝的只數(shù)，下面一行圓圈表示喜鵲的只數(shù)。多出的圓圈，表示喜鵲比黃鸝多的只數(shù)。

第二種方法：

師：對比第一種方法和第二種方法，你更喜歡哪一種呢？

生：我更喜歡第二種方法，因?yàn)榈谝环N方法一個一個畫太麻煩了。

第三種方法：

生問：多的8只在哪里呢？

師：怎樣畫一畫讓別人一眼看出多8 只呢？誰有辦法？

（一學(xué)生到投影下畫一畫）

師：這條虛線真巧妙，把喜鵲的只數(shù)分成了兩部分，是哪兩部分呢？誰能結(jié)合圖說一說呢？

生：虛線前面的是“和黃鸝同樣多的部分”，虛線后面的是“比黃鸝多的部分”。

師：再來對比第二種方法和第三種方法，你更喜歡哪一種方法呢？

生：我更喜歡第三種方法，因?yàn)檫@樣畫一個直條更方便了，數(shù)多大都可以。

（3）借助直條圖，解決問題（略）

3.拓展應(yīng)用

師：還是這個直條圖，你能根據(jù)這個直條圖編一個數(shù)學(xué)故事嗎？

生1：我們班有男生20 人，女生比男生多5 人。女生有多少人？

生2：我的體重是35 千克，媽媽比我重20 千克。媽媽的體重是多少千克？

生3：……

德國數(shù)學(xué)家戴維·希爾伯特在其著作《直觀幾何》一書中提到：“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題，也可以幫助我們尋求解決問題的思路，還可以幫助我們理解、記憶所得到的結(jié)果?！庇纱丝梢?，圖形對于解決數(shù)學(xué)問題而言非常重要，利用圖形可以化抽象為形象，幫助學(xué)生提升抽象邏輯思維能力。因此，在本案例中，教師放手讓學(xué)生用多種方法來表征數(shù)量關(guān)系，并對這些方法進(jìn)行了兩次對比，第一次對比是一個一個畫和十個十個畫之間的對比，你喜歡哪一種？學(xué)生會清楚地看到一個一個畫太麻煩了，從而感悟第二種方法的簡便性。第二次對比是十個十個畫和直條圖之間的對比，你更喜歡哪一種？有了第一次對比的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生自然會想到，如果數(shù)更大，十個十個畫也很麻煩，而一個小直條不僅可以表示46 只喜鵲，也可以表示460 只喜鵲，甚至可以表示更大的數(shù)，從而使學(xué)生感悟到直條圖表示數(shù)量的簡便性。小學(xué)生的思維發(fā)展離不開直觀的支撐，所以在本案例中，利用直條圖幫助學(xué)生感悟抽象的數(shù)量關(guān)系，在對比中逐步建立數(shù)學(xué)模型，學(xué)生的問題解決能力由此得到有效培養(yǎng)，此后解決“比一個數(shù)少幾的數(shù)”的問題就水到渠成了。

（二）符號表征

所謂“符號表征”是指將數(shù)學(xué)問題中的信息或關(guān)系抽象為用數(shù)學(xué)符號表示的算式、公式、字母式等，借以分析和解決數(shù)學(xué)問題。符號表征是分析關(guān)系和解決問題必不可少的一種表征方式。

【案例2】搭配問題（青島版數(shù)學(xué)五四制二年級下冊第34-35頁）

1.問題情境

學(xué)生根據(jù)情境圖找信息、提問題：2 件上衣、3 條裙子。一件上衣和一條裙子任意搭配，有幾種不同的穿法？

2.建立模型

（1）探究：用擺一擺、寫一寫、畫一畫等方法探索搭配方法。

（2）匯報(bào)交流，講解自己的方法，建立模型。

（3）對比優(yōu)化。

師：這么多的方法，你更喜歡哪種方法呢？

生1：我喜歡用圖形表示的，這樣很方便。

生2：我喜歡用字母表示的，寫起來很簡單。

師：對啊，寫字、畫實(shí)物圖的方法都很麻煩，在數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常會用一些符號來代替實(shí)物或者文字，這樣就簡單多了。

（4）借助符號模型，解決問題

師：一共有多少種搭配方法呢？

生1：我數(shù)了數(shù)一共有6 條線，所以有6 種搭配方法。

生2：2×3=6（種）

3.拓展應(yīng)用

（1）早餐搭配：3 種飲料，4 種點(diǎn)心。一種飲料配一種點(diǎn)心，有多少種不同的吃法？

（2）學(xué)生獨(dú)立思考，在作業(yè)本上畫一畫、連一連。

（3）展示部分學(xué)生的方法，說一說自己的搭配方法。（略）

建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。在本案例中，教師給學(xué)生提供了衣服圖片的學(xué)具，學(xué)生可以借助圖片擺一擺、畫一畫、寫一寫。通過對比，學(xué)生感受到用符號代替實(shí)物的簡便性。“符號”鋪就了模型建立之路，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

（三）表格表征

所謂“表格表征”是指將數(shù)學(xué)問題中的信息或關(guān)系抽象化為圖表，借以輔助分析和解決問題。表格表征是直觀呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系模型、有效解決問題的一種輔助性工具和策略。表格簡單明了，有助于分析比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立模型。

【案例3】解決問題的策略——表格列舉法（青島版數(shù)學(xué)五四制一年級下冊第75-76頁）

1.問題情境

學(xué)生根據(jù)情境圖找信息、提問題：從第一天開始種1棵樹，以后每天比前一天多種1棵樹。4天一共要種多少棵樹？

2.建立模型

師：請大家用自己喜歡的方法把信息表示出來，寫在作業(yè)本上。完成后和同桌交流一下你的想法。

（1）自主探究。

（2）匯報(bào)展示，建立模型。

（3）對比優(yōu)化

師：對比這幾種方法，它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生1：這些方法都是把每一天有幾棵都列出來了。

生2：有的方法是寫數(shù)字，有的方法是畫一畫。

師：這些方法，你更喜歡哪一種呢？為什么？

生：我更喜歡第三種，因?yàn)榍皟煞N還得去數(shù)一數(shù)每天有多少棵。

師：是啊，如果100 天一共種了多少棵數(shù)，我們?nèi)ギ嬕划?，你們覺得怎么樣？

生1：很麻煩，畫很長時間。

生2：直接寫數(shù)簡單，一眼就看出每天種了幾棵。

師：通過大家的對比，我們發(fā)現(xiàn)第三種方法簡單、清楚。第三種方法你們能看明白嗎？

師：這四行分別表示什么呢？（用黑色彩筆畫出4行，第一天1棵，第二天2棵，第三天3棵，第四天4棵）

生：第一行表示第一天種的棵數(shù)，第二行表示第二天種的棵數(shù)，第三行表示第三天種的棵數(shù)，第四行表示第四天種的棵數(shù)。

師：說得真清楚。那這兩列又分別表示什么呢？（天數(shù)和棵數(shù)分為2列）

生：第一列表示天數(shù)，第二列表示每天種的棵數(shù)。

師：看，我們給第三種方法加上了表格，你能給這種方法起個名字嗎？

生：表格法。

師：我們在表格里，把每天種的棵數(shù)都列舉出來了，這種方法在數(shù)學(xué)上叫表格列舉法。

（4）借助表格，解決問題

師：這個“表格列舉法”非常清楚、明白，方便我們解決問題。根據(jù)表格中列舉的信息，你會計(jì)算4 天一共種了多少棵樹嗎？

生：1+2+3+4=10（棵）

3.拓展應(yīng)用

一本書一共有64頁。小嬌周日看了6頁，以后每天比前一天多看2頁，周五時她能看完這本書嗎？

師：請大家獨(dú)立完成，完成“作業(yè)單”。

（1）學(xué)生獨(dú)立列表格解決問題。

（2）展示、匯報(bào)。（略）

本案例中，學(xué)生第一次接觸列表格整理信息，解決問題，以前接觸的都是根據(jù)文字或現(xiàn)成的表格，直接列算式解決問題，所以“表格法”對學(xué)生來說有一定的挑戰(zhàn)?；趯W(xué)生的認(rèn)知水平，本案例中，首先，放手讓學(xué)生自主表征問題，通過對比“它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)”體會畫圖和表格法之間的聯(lián)系，讓表格法的學(xué)習(xí)有所依托。其次，“你更喜歡哪種方法？”學(xué)生會感悟到使用表格法不僅可以清楚地看到數(shù)據(jù)，還可以看出數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，從而能快速地解決問題。最后，教師沒有著急告訴學(xué)生“第三種方法我們畫上線，這就是表格法”，而是通過“這四行分別表示什么呢？”“那這兩列又分別表示什么呢？”這兩個問題的引領(lǐng)，使表格躍然紙上。這樣的制表過程，逐步引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了表格的形成過程，有利于學(xué)生讀懂表格，從表格中抽象出基本的數(shù)量關(guān)系，建立模型，把握同一類型問題的解題策略。

總之，問題表征在數(shù)學(xué)問題解決中具有重要促進(jìn)作用，對改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)等有促進(jìn)作用，應(yīng)該在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中引起重視。