李由

變式教學是指為了滿足實際教學需求，教師有計劃、有目的地合理轉化命題的一種教學方式. 這種“轉化”是指更換命題中的非本質特征，如條件、結論、問題內容或形式等，學生在對問題的探究中深刻掌握問題的本質屬性. 數學概念、定理、思想方法等具有恒定的本質特征，在教學中，教師可以通過變式教學法的應用，讓學生從不同角度去認識、分析并掌握知識的內涵.

研究的必要性

1. 新課標的要求

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（簡稱“新課標”）強調：數學教學是師生進行雙邊互動與交流的過程，是教學相長的過程. 在此過程中，應將學生作為課堂的主體，并在現代教育理論的指導下，引導學生積極地參與到教學中來.

變式作為師生互動、學生探究的重要方式，是促進學生個體發(fā)展不可或缺的教學手段. 良好的變式教學，不僅能促進師生的互動與交流，還能深化教師對教材的理解，幫助學生更好地掌握“四基”與“四能”，為發(fā)展學生的“三會”能力奠定基礎.

2. 適應高考的需求

數學教學以發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng)為教學目標，目標的完成情況在高考中體現. 縱觀近些年的高考試題，雖說難度適中，但題目越來越靈活、新穎，整個命題導向已經從“知識立意”轉化為“能力立意”，對學生的思維水平、應變能力等要求也越來越高.

剖析高考試題，一般都是以考查學生對知識的掌握程度、數學思想方法的應用、邏輯推理能力為主，試題對知識的靈活性、綜合性、應用性與探究性的要求越來越高. 顯然，“題海戰(zhàn)術”無法解決新時代的高考題，想要在高考中有所突破，必須在日常教學中注重知識的建構. 變式能夠增強學生的求異思維，促進學生創(chuàng)新意識與應變能力的發(fā)展.

3. 提高教學效率

變式的廣泛應用，不僅讓學生脫離“題海戰(zhàn)術”的壓力，還滿足當下素質教育的需求，為學生營造一種和諧、民主、寬松的學習環(huán)境. 以抽象的數學概念與定理為例，這些內容對學生而言確實難以理解，而變式的應用則將這些內容變得更加具體、形象，便于學生記憶；再如一些復雜的問題，變式的應用可將其轉化為一般性的問題去研究，通過變式引申的方式滲透多種數學思想方法. 由此可見，變式的介入顯著提高教學效率.

變式助力數學教學的具體措施

1. 變式助力情境創(chuàng)設，激發(fā)學習熱情

情境是開展數學教學的有效策略，尤其是課堂的起始環(huán)節(jié)，良好的情境不僅能快速吸引學生的注意力，讓學生投身于知識的研究，還能為整個課堂奠定良好的情感基調，讓學生產生舒適的學習體驗，為提高教學效率奠定基礎.

與學生認知匹配或與學生生活息息相關的情境，往往能有效激發(fā)學生的學習熱情，激發(fā)學生學習的內驅力，讓學生自發(fā)投入到知識的探究中去. 實踐發(fā)現，將變式、情境有機地結合在一起，能將一些生澀、抽象的數學知識直觀地呈現在學生面前，讓學生從直觀感知中增強對知識的理解程度.

案例1 “指數函數”的教學.

指數函數這部分內容相對抽象，若帶領學生從字面上去理解其內涵，學生只能憑借機械性記憶去掌握它，難以對這部分內容產生深刻、形象的認識. 為了增強學生對指數函數的畫面感，提升學生的直觀想象素養(yǎng)，筆者基于常規(guī)情境，應用變式操作情境引發(fā)學生思考.

常規(guī)情境：細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個……第x次分裂成y個細胞，請寫出細胞個數y與分裂次數x的關系式.

這是一個文字情境，部分學生寫關系式時感到困難，為了進一步深化學生對指數函數關系式的認識，筆者基于這個常規(guī)情境提出變式操作，以啟發(fā)學生思考.

變式操作：請大家取出事先準備好的紙片，現在我們將手中的紙片平均撕成兩份，再將這兩張紙片重疊在一起后撕成兩份. 將撕下的紙片重疊、對折后又撕成兩份，周而復始重復這個操作活動.

思考：如果紙片的厚度是0.15毫米，那么第4次撕紙重疊后，紙片在一起的厚度是多少？第8次撕紙重疊后，紙片在一起的厚度是多少？第10次、第32次撕紙重疊后，紙片在一起的厚度分別又是多少呢？能否探尋出各個數據之間的關系？能否寫出某種函數關系式？

隨著操作活動的實施與問題的思考，不僅激起了學生探索這部分知識的欲望，還讓學生在動手動腦中積極觀察并分析，為探索指數函數奠定了基礎. 在這個情境下，無須筆者過多指導，學生就能自主探尋出部分問題的答案.

從這個教學片段不難看出，創(chuàng)設與教學內容有關的情境，可以從很大程度上發(fā)揮變式教學的價值. 學生在與自己認知、生活相貼近的情境中感知、體驗、領悟相應的數學知識，能獲得自主探索、自主分析的能力.

2. 變式助力概念教學，促進知識建構

概念是數學的基礎，其內涵與外延是統(tǒng)一且不可分割的兩方面. 為了深化學生對概念內涵與外延的掌握程度，教師可通過多樣化的變式，引導學生積極、主動地參與到概念的形成過程中來，讓學生在變式訓練中深刻認識概念、應用概念，促進分析能力的發(fā)展.

艾賓浩斯遺忘曲線告訴我們，學生對于學習材料的記憶存在一定的遺忘規(guī)律. 這就要求學生在學完某一部分知識后，通過一定量的變式訓練及時鞏固，為概念的靈活應用奠定基礎. 同時，概念作為數學這座大廈的基石，在教學中具有無可替代的重要作用，變式助力概念教學，能夠幫助學生建構完整的知識體系.

案例2 “拋物線”的教學.

當學生對拋物線的概念有所了解后，筆者呈現以下經典問題，引發(fā)學生思考.

問題：已知點A（a，3）為拋物線y2=2px上的一點，其焦點到準線的距離為4，分別求p與a的值.

這是一道典型的與拋物線定義相關的問題，學生通過公式的應用，很快就獲得了問題的答案. 為了深化學生對拋物線定義的理解，筆者改變這個問題如下：

變式1：已知“動點A到直線x+4=0的距離”與“動點A到點P（2，0）的距離”之差為2，求點A的軌跡.

這個問題雖然超越了拋物線概念描述的范疇，但隸屬于拋物線概念的外延部分，能夠深化學生對拋物線定義的理解. 當學生順利探尋出本題的答案后，筆者再一次進行拓展，設計了如下問題.

變式2：已知點A為拋物線x2=4y上的一個動點，且點P的坐標為（6，4），求“點A到點P的距離”與“點A到x軸的距離”之和的最小值.

顯然，變式2的難度比變式1大，學生的思維隨著問題難度的增大而進一步深化與發(fā)展，更深層次地理解拋物線的內涵與外延. 由此可以看出，變式對促進學生建構新知具有重要意義.

3. 變式助力問題呈現，實現有效探究

符合學生需求的教學方式往往能順利激起學生的“憤”“悱”狀態(tài)，讓學生在認知沖突中拓寬對知識的認識，有新的發(fā)現，獲得舉一反三的能力.

長期以來，我國的數學課堂教學受傳統(tǒng)教學模式的影響，教師一直以高位者自居，并以“灌輸式的講授”作為主要的教學模式. 隨著時代的發(fā)展，這種“注入式”教學模式已經被擯棄，取而代之的是師生互動、以生為本、教學相長的教學模式. 這種教學模式主張將問題展示在學生面前，以引發(fā)學生產生探究欲望.

案例3 “等差數列”的教學.

授課時，筆者提出這樣一個題干：“已知a1為一個無窮等差數列的首項，該數列的公差為d.”要求學生根據這個題干編擬問題，并自主解決. 學生經合作交流，編擬了如下三個典型的變式問題.

（1）將這個等差數列的前m項去掉，剩下的項所組成的數列還是等差數列嗎？若是，其首項與公差分別是什么？

（2）將這個等差數列中的所有偶數項去掉，剩下的奇數項組成一個新的數列，那么這個新數列是不是等差數列？若是，其首項與公差分別是什么？

（3）將這個等差數列中項數為7的倍數的項取出來組成新的數列，這個新數列是不是等差數列？若是，其首項與公差分別是什么？

對等差數列概念的理解是本節(jié)課的教學重點與難點，鼓勵學生自主根據題干信息編擬變式問題，進一步深化了學生對等差數列的理解. 隨著變式問題的形成，不僅從根本上使學生掌握了等差數列的內涵，還進一步發(fā)展了學生的創(chuàng)新意識. 事實證明，每一個問題的變化，都能有效開闊學生的視野，促進學生思維的發(fā)展.

4. 變式助力解題教學，推動思維發(fā)展

波利亞認為：掌握數學就意味著會解題. 問題的變化主要體現在問題條件、結論或情境的變化上，引導學生從不同角度去思考問題，讓學生通過自主探究，掌握相應的知識、數學思想方法和解題技巧，強化解題能力，從而有效促進思維的發(fā)展.

實踐發(fā)現，變式助力解題教學，不僅能夠開發(fā)學生的智力，促進學生創(chuàng)新意識的形成，還能讓學生形成解決實際問題的能力.

解題作為數學教學的重要組成部分，在課堂中占有舉足輕重的地位. 究竟怎樣將一道題的教學價值發(fā)揮到極致呢？引導學生探索、分析、研究典型例題能健全學生的知識體系，提升學生的解題能力. 解題過程實則為知識的增長過程，投入恰當的例題是檢驗學生學習成效、促進學生思維發(fā)展的必經之路.

一些師生常將一些經典數學試題作為研究對象，試圖探尋出更多、更便捷的解題思路或方法. 這種探索過程實則為提升學生數學思維能力的過程，變式的應用能進一步引申經典例題，讓學生從真正意義上擺脫思維定式的影響，獲得獨立自主的解題能力與數學思想方法.

案例4 “三角函數”的解題教學.

三角函數相關問題涉及的三角公式比較多，其解決方法自然也比較多，常見的有湊角法、對偶法、降冪法、方程法、換元法、平方法、討論法等. 為了引導學生深刻掌握不同的解題方法，筆者設計了一些變式題，鼓勵學生應用不同方法來解決各個變式題，從真正意義上靈活學生的思維，提升學生的解題能力.

數學對人類思維能力的提升與塑造具有無可替代的作用，而解題教學又是數學教學的重中之重，因此借助變式提升解題教學實效性是發(fā)展學生思維能力的關鍵措施. 而發(fā)展學生的思維能力，不僅僅是新課標的要求，更是每一位教師肩負的責任和義務.

實踐證明，高中知識龐雜且多變，公式定理比比皆是，試題靈活多樣，想要從真正意義上促進學生可持續(xù)發(fā)展，還得從解題與發(fā)展學生的思維能力著手. 讓學生通過解一道題，獲得解一類題的能力，達到透過現象看本質的目的. 變式教學不僅可以幫助學生達到這一目的，還能實現深度學習，培養(yǎng)學生思維的深刻性、靈活性和開放性.

凡益之道，與時偕行. 變式教學是發(fā)展學生數學學科核心素養(yǎng)的重要途徑，也是助推學生各項能力發(fā)展的關鍵. 一線數學教師應重視變式教學在課堂中的應用，注重對學生創(chuàng)新意識、思維能力、數學思想方法等的培養(yǎng)，促進學生全面發(fā)展.