聞君

［摘? 要］ 《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》對(duì)選拔高素質(zhì)創(chuàng)新人才具有指導(dǎo)意義. 文章以恢復(fù)高考后的數(shù)學(xué)能力考核六次變革情況為起點(diǎn)，以“任意角的三角函數(shù)”的教學(xué)為例，從以下三方面談如何直面評(píng)價(jià)體系，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)：設(shè)定教學(xué)目標(biāo)，明確教學(xué)內(nèi)容；實(shí)施教學(xué)設(shè)想，揭露設(shè)計(jì)意圖；深入總結(jié)反思，提出教學(xué)感悟.

［關(guān)鍵詞］ 高考；評(píng)價(jià)體系；三角函數(shù)

根據(jù)國(guó)家新一輪高考改革的需要，教育部考試中心制定了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》（簡(jiǎn)稱“評(píng)價(jià)體系”），該體系以選拔高素質(zhì)創(chuàng)新人才為基準(zhǔn)，確立了“一核”“四層”“四翼”的框架（見(jiàn)圖1），為優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)明確了方向［1］.

研究背景

近四十年來(lái)，我國(guó)數(shù)學(xué)高考發(fā)生了多次變革，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考查要求越來(lái)越明確、具體與深入. 每一時(shí)間段所對(duì)應(yīng)的能力考核要求雖有所區(qū)別，卻又環(huán)環(huán)相扣、逐漸完善. 如圖2所示，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）的頒布與評(píng)價(jià)體系的實(shí)施，明確了學(xué)科素養(yǎng)與核心素養(yǎng)的關(guān)系［2］. 基于此背景實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)可強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與應(yīng)用意識(shí)，達(dá)到“減負(fù)增效”以及提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目的.

設(shè)定教學(xué)目標(biāo)，明確教學(xué)內(nèi)容

隨著高考評(píng)價(jià)體系的完善，對(duì)課堂教學(xué)提出了較高的要求. 從單元教學(xué)的角度來(lái)看，“比”是任意角的三角函數(shù)的本質(zhì)特征. 從學(xué)情來(lái)看，學(xué)生在之前接觸過(guò)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等相關(guān)知識(shí)的研究方法、分析過(guò)程、刻畫方式，因此學(xué)生有一定的基礎(chǔ).

1. 設(shè)定教學(xué)目標(biāo)

基于學(xué)情與教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，本節(jié)課教學(xué)的主要目標(biāo)為：帶領(lǐng)學(xué)生從實(shí)際情境中抽象出單位圓，并從單位圓與角的終邊交點(diǎn)的唯一性中建構(gòu)“任意角的三角函數(shù)”的概念，類比并驗(yàn)證銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的異同點(diǎn)，探尋其兼容性，以例題強(qiáng)化學(xué)生對(duì)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng).

2. 明確教學(xué)內(nèi)容

從教學(xué)內(nèi)容來(lái)看，將單位圓教學(xué)放在弧度制教學(xué)中進(jìn)行，從一定程度上分散了本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn). 如果帶領(lǐng)學(xué)生從銳角三角函數(shù)出發(fā)，先探尋出單位圓的定義，而后抽象出任意角三角函數(shù)的概念，教學(xué)容量與難度都比較大，對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高，學(xué)生在此過(guò)程中容易出現(xiàn)思維卡殼現(xiàn)象.

單位圓教學(xué)，要突出以下內(nèi)容：①將三角函數(shù)的“周期性”凸顯出來(lái)；②揭露任意角三角函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)；③教學(xué)流程要與三角函數(shù)的發(fā)展史相結(jié)合；④從發(fā)展的角度來(lái)實(shí)施教學(xué)，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 從學(xué)生思維的角度來(lái)說(shuō)，要完成上述內(nèi)容，確實(shí)需要花費(fèi)不少時(shí)間和精力.

為了讓學(xué)生更好地建構(gòu)與內(nèi)化任意角三角函數(shù)的知識(shí)，教師可帶領(lǐng)學(xué)生從“角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)”開始探索與分析，讓學(xué)生明晰任意給定一個(gè)角α∈R，它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)，不論是橫坐標(biāo)x還是縱坐標(biāo)y，都是唯一確定的.

以上教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生接觸過(guò)的函數(shù)概念遙相呼應(yīng)，既能揭露三角函數(shù)所存在的函數(shù)特性，又能彰顯數(shù)學(xué)知識(shí)前后的連貫性和系統(tǒng)性. 而后借助一道證明題，引導(dǎo)學(xué)生自主探索與剖析終邊定義法，讓學(xué)生親歷證明過(guò)程，理解為什么任意角α的三角函數(shù)值只與其大小相關(guān)，與點(diǎn)P在其終邊的位置毫無(wú)關(guān)系.

實(shí)施教學(xué)設(shè)想，揭露設(shè)計(jì)意圖

1. 生活情境，導(dǎo)入主題

教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容一旦確定后，則進(jìn)入實(shí)施環(huán)節(jié). 本節(jié)課，教師先借助多媒體展示指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等不同函數(shù)的模型與應(yīng)用情況，而后呈現(xiàn)出一幅摩天輪圖，要求學(xué)生觀察該圖，思考用哪個(gè)函數(shù)模型可以刻畫摩天輪運(yùn)動(dòng). 學(xué)生經(jīng)過(guò)思考與交流，一致表示在他們的認(rèn)知中不存在能夠刻畫摩天輪運(yùn)動(dòng)的函數(shù)模型. 在此基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)師生積極互動(dòng)后一致認(rèn)為，需要引入一個(gè)新的函數(shù)模型來(lái)刻畫摩天輪運(yùn)動(dòng)，于是教師趁機(jī)揭露本節(jié)課的教學(xué)主題——三角函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 一方面，數(shù)學(xué)是從生活實(shí)際中抽象而來(lái)的. 摩天輪的引入正是為了讓學(xué)生體驗(yàn)“數(shù)學(xué)源于生活且服務(wù)于生活”的理念，為幫助學(xué)生形成用函數(shù)解決問(wèn)題的能力奠定基礎(chǔ). 另一方面，摩天輪具有周而復(fù)始旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，它和任意角三角函數(shù)的性質(zhì)有一定的相關(guān)性，引入摩天輪不僅能吸引學(xué)生的注意力，還能借機(jī)培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng)，讓學(xué)生從摩天輪這個(gè)生活實(shí)際中抽象出單位圓的概念，為接下來(lái)研究三角函數(shù)奠定基礎(chǔ).

2. 借助例題，建構(gòu)概念

在弧度制下，角的范圍可以擴(kuò)展到全體實(shí)數(shù). 教材中呈現(xiàn)的概念雖然語(yǔ)言精練、嚴(yán)謹(jǐn)，但對(duì)于學(xué)生而言就是一串?dāng)?shù)學(xué)符號(hào)，理解起來(lái)比較困難. 若借助例題探索與問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，常常能讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、直觀認(rèn)識(shí)相應(yīng)的概念，使學(xué)生形成長(zhǎng)時(shí)記憶的同時(shí)也能為后續(xù)研究類似問(wèn)題夯實(shí)基礎(chǔ).

如圖3所示，以單位圓的圓心O為原點(diǎn)，射線OA為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）. 射線OA從x軸的非負(fù)半軸開始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α，終止位置為OP.

追問(wèn)1：這幾種情況下，點(diǎn)P的坐標(biāo)是唯一且確定的嗎？

追問(wèn)2：一般情況下，任意給定一個(gè)角α∈R，它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)是唯一且確定的嗎？

經(jīng)過(guò)以上幾個(gè)問(wèn)題的探索，學(xué)生一致認(rèn)為：任意給定一個(gè)角α∈R，它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)，無(wú)論是橫坐標(biāo)x還是縱坐標(biāo)y，都是唯一確定的. 所以，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y都是角α的函數(shù). 經(jīng)過(guò)總結(jié)和完善，給出以下定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P（x，y）.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 研究數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)，要揭示其本質(zhì). 函數(shù)本質(zhì)的研究在本節(jié)課至關(guān)重要，尤其要讓學(xué)生將函數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系爛熟于心. 此處，教師借助例題引導(dǎo)學(xué)生明晰單位圓上點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y與角α為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此它們都是角α的函數(shù). 在此基礎(chǔ)上，排除=tanα無(wú)意義的取值，明晰單位圓上點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的比值與角α也是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，確定正切函數(shù)的定義. 所以，例題的探索促使三角函數(shù)定義的產(chǎn)生.

3. 適當(dāng)引導(dǎo)，辨析概念

師：之前我們?cè)诔踔须A段就接觸過(guò)銳角三角函數(shù)，大家思考一下，用銳角三角函數(shù)的定義所獲得的三角函數(shù)值與本節(jié)課用任意三角函數(shù)的定義所獲得的三角函數(shù)值有沒(méi)有什么聯(lián)系？

學(xué)生合作交流，獲得結(jié)論：借助相似三角形的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)通過(guò)銳角三角函數(shù)的定義所獲得的三角函數(shù)值等于本節(jié)課用任意三角函數(shù)的定義所獲得的三角函數(shù)值.

設(shè)計(jì)意圖 將本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的銳角三角函數(shù)進(jìn)行類比，促進(jìn)學(xué)生自主驗(yàn)證銳角三角函數(shù)滿足任意角三角函數(shù)的特征，發(fā)現(xiàn)兩者定義的兼容性，讓學(xué)生切身體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性特征.

4. 實(shí)際應(yīng)用，深化理解

任何概念、定義、法則等的學(xué)習(xí)成效最終都體現(xiàn)在實(shí)際應(yīng)用中. 想要深化學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵與外延的理解，就必須帶領(lǐng)學(xué)生從知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用出發(fā)，促進(jìn)學(xué)生思維靈活性、深刻性與嚴(yán)謹(jǐn)性的發(fā)展.

師：通過(guò)證明過(guò)程，大家有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生4：不論點(diǎn)P的位置在哪里，三角函數(shù)的值都不會(huì)因此發(fā)生改變.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)例題的思考，讓學(xué)生充分體驗(yàn)到三角函數(shù)值僅僅與角的大小有關(guān)，與點(diǎn)P在角的終邊上的位置毫無(wú)關(guān)系.

關(guān)于“角α終邊上的點(diǎn)并不在單位圓上，該怎樣獲得它的三角函數(shù)值”這個(gè)問(wèn)題，教師若將它作為課后自主探究?jī)?nèi)容供學(xué)生思考，可能難以達(dá)到理想的效果；而將它放在課堂中作為例題讓學(xué)生探索、證明，可以進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的理解.

5. 立足反思，形成套路

在教學(xué)中，教師帶領(lǐng)學(xué)生從摩天輪這個(gè)生活實(shí)際出發(fā)，鼓勵(lì)學(xué)生自主抽象出任意角三角函數(shù)模型，又引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合單位圓、相似三角形、直角三角形等已有知識(shí)來(lái)建構(gòu)新知識(shí)，有效提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)與直觀想象素養(yǎng)，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).

課堂尾聲，教師要求學(xué)生做如下反思：①說(shuō)一說(shuō)本節(jié)課咱們學(xué)了哪些內(nèi)容，應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？②與我們學(xué)過(guò)的哪些知識(shí)具有怎樣的關(guān)聯(lián)？③通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么體會(huì)？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)教學(xué)內(nèi)容、思想方法等的回顧與提煉，為新舊知識(shí)建構(gòu)橋梁，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移. 心得體會(huì)的總結(jié)為后續(xù)研究類似問(wèn)題提供了方法指導(dǎo)，為形成研究“套路”奠定了基礎(chǔ).

深入總結(jié)反思，提出教學(xué)感悟

1. 教學(xué)總結(jié)

基于單元教學(xué)視角與學(xué)生原有認(rèn)知水平設(shè)計(jì)課堂，首先把與任意角三角函數(shù)相關(guān)的知識(shí)歸類，幫助學(xué)生搭建溝通新舊知識(shí)的橋梁，促使正遷移順利發(fā)生. 整個(gè)課堂探究活動(dòng)都圍繞教學(xué)主題展開，學(xué)生的思維在教師由淺入深地引導(dǎo)與啟發(fā)下拾級(jí)而上，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象與數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).

2. 教學(xué)反思

雖說(shuō)課堂教學(xué)成效尚可，但課堂沒(méi)有留有充足的時(shí)間與空間讓學(xué)生自主作圖以探尋特殊角與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo). 同時(shí)，例題教學(xué)過(guò)程中的終邊定義法的證明過(guò)程，也可以進(jìn)一步優(yōu)化.

3. 教學(xué)感悟

課堂重點(diǎn)是揭露函數(shù)的本質(zhì)，因此最佳的授課時(shí)機(jī)就在學(xué)生對(duì)初等函數(shù)有明確認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上. 類比方式的應(yīng)用，不僅能深化學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的認(rèn)識(shí)，還能幫助學(xué)生復(fù)習(xí)與之相關(guān)的內(nèi)容，讓學(xué)生在類比中辨析概念，建構(gòu)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu).

從評(píng)價(jià)體系的角度來(lái)看，本節(jié)課在“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力與必備知識(shí)”上，確實(shí)做得比較到位，但關(guān)于“立德樹人、服務(wù)選才”方面，還有待提高.

總之，直面評(píng)價(jià)體系是優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)的上上之策，教師一定要明確“為什么考”“考什么”“怎么考”三個(gè)問(wèn)題，才能從真正意義上實(shí)現(xiàn)“一核”“四層”“四翼”，培養(yǎng)社會(huì)發(fā)展需求的高素質(zhì)人才.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 教育部考試中心.中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］ 任子朝，趙軒. 基于高考評(píng)價(jià)體系的數(shù)學(xué)科考試內(nèi)容改革實(shí)施路徑［J］. 中國(guó)考試，2019（12）：27-32.