李亮，鄭冕，郭棟，何勍

(1.遼寧工業(yè)大學(xué),錦州,121001；2.遼寧工業(yè)大學(xué) 振動(dòng)工程研究所,錦州,121001)

0 序言

超聲焊接是一種利用超聲振動(dòng)生熱實(shí)現(xiàn)焊接的技術(shù)[1].超聲焊接無需添加其他材料，焊接速度快，焊接強(qiáng)度高，并且可以實(shí)現(xiàn)局部加熱焊接.早期的超聲焊接主要應(yīng)用于金屬材料[2-3]，隨著塑料等聚合物的廣泛應(yīng)用，超聲焊接技術(shù)被逐步引入聚合物焊接領(lǐng)域.在超聲焊接過程中，由于加熱時(shí)間極短，所以即便焊接溫度高于降解溫度，也可以有效避免聚合物降解，保證焊件質(zhì)量[4].特別是對(duì)于那些結(jié)構(gòu)復(fù)雜難以利用模具一次成形的構(gòu)件，采用超聲焊接技術(shù)是一種既經(jīng)濟(jì)又高效的選擇[5].近年來，工業(yè)中一些傳統(tǒng)的金屬構(gòu)件已逐漸為復(fù)合材料所取代，在眾多的聚合物連接技術(shù)中，超聲焊接引起了人們更多的關(guān)注[6-8]，對(duì)其工藝和機(jī)理的研究也越來越多[9-11].

早期人們普遍認(rèn)為超聲塑料焊接是靠高頻運(yùn)動(dòng)引起的摩擦熱實(shí)現(xiàn)的熔融焊接.但隨后的駐波焊接試驗(yàn)表明，在聚合物內(nèi)部，應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)闃O大值的區(qū)域聚合物材料也會(huì)變軟、熔融[12-13].同時(shí)，監(jiān)測(cè)焊接升溫過程的試驗(yàn)結(jié)果顯示，聚合物表面以里的內(nèi)部位置，溫度較低時(shí)升溫緩慢，當(dāng)溫度接近玻璃化溫度時(shí)，升溫速率驟然加快，當(dāng)溫度超過玻璃化溫度后升溫速率再度趨緩[14].以此為基礎(chǔ)，又誕生了粘彈性生熱理論.近期，Zhang 等人[15]深入研究了聚甲基丙烯酸甲酯 (polymethyl methacrylate，PM)的超聲焊接過程，摩擦生熱是超聲焊接的必要啟動(dòng)熱源，而粘彈性生熱才是焊接的主要熱源.

迄今為止，關(guān)于聚合物超聲焊接升溫機(jī)理的研究，大都停留在對(duì)現(xiàn)象和經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)和提煉，而未能解釋其微觀機(jī)制和內(nèi)在原因.而從能量角度來看，超聲焊接過程就是超聲場(chǎng)的能量轉(zhuǎn)化為焊接物內(nèi)能的過程.內(nèi)能為原子微觀運(yùn)動(dòng)的能量總和.固態(tài)物質(zhì)的原子在平衡點(diǎn)附近做三維振動(dòng)；對(duì)于聚合物，在分子高溫降解之前，由于分子的長鏈結(jié)構(gòu)，原子的轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)效應(yīng)有限，也可以認(rèn)為聚合物原子微觀運(yùn)動(dòng)以振動(dòng)為主.所以聚合物超聲焊接的升溫過程可視為聲場(chǎng)與原子振子之間的能量傳遞過程.按照量子力學(xué)理論，諧振子有分立的能級(jí)；超聲場(chǎng)可以二次量子化為一定流量的聲子流.原子振子可以吸收聲子使系統(tǒng)內(nèi)能增加，溫度上升.文章從這一理論出發(fā)，研究了超聲焊接吸熱升溫的量子機(jī)理和雙振子焊接在吸熱升溫方面的優(yōu)勢(shì).

1 超聲焊接的聲子吸收理論

量子吸收是愛因斯坦在解釋光電效應(yīng)時(shí)提出的電磁場(chǎng)與原子體系的能量交換模型.這一機(jī)理的完善歸功于二次量子化理論的發(fā)展.聲子，即聲量子，最早在解決固體熱容量問題時(shí)引入量子統(tǒng)計(jì)物理學(xué).目前，聲子氣體已經(jīng)成為一種成熟的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)模型.在近代物理學(xué)中，能量以量子化的形式輻射和吸收已經(jīng)成為共識(shí)，而超聲焊接從能量角度來看，就是能量吸收的過程，本質(zhì)上也應(yīng)該是量子化的吸收過程.由于量子力學(xué)理論計(jì)算的繁難，目前基于聲場(chǎng)和固體量子相互作用的超聲焊接理論還鮮有報(bào)道.文中應(yīng)用二次量子化的方法，從聲子的量子吸收角度分析雙振子超聲焊接的優(yōu)勢(shì).

1.1 諧振子頻譜

固體或類固體中的原子振動(dòng)可視為三維諧振子.一般說來，1 個(gè)三維諧振子可等效為3 個(gè)彼此正交的一維諧振子.若系統(tǒng)的原子總數(shù)為N，則其包含的原子振子總數(shù)為3N.這些原子振子按一定的頻譜分布.德拜針對(duì)晶態(tài)固體給出1 個(gè)頻譜[16]，即

式中：g(ω)dω為單位體積中角頻率在ω～ω+dω范圍內(nèi)的振子數(shù)目，其中為速度平均值，滿足下面定義，即

式中：vL和vT是縱波和橫波的聲速，可以寫成彈性模量、泊松比和質(zhì)量密度的函數(shù).角頻率上限值ωm可表示如式(3)所示，即

式中：N為以振動(dòng)為主要運(yùn)動(dòng)形式的原子數(shù)目.對(duì)于非晶態(tài)固體，Landau 和Lifshitz[17]曾做過相關(guān)論證，認(rèn)為也適用于非晶體熵函數(shù)之外的討論.因此這里假設(shè)在聚合物降解之前，聚合物中原子振子都滿足德拜頻譜.需要注意的是，隨著聚合物的升溫，聲速非線性下降，所以該頻譜為溫度的函數(shù).但在某一給定的溫度下，各頻率下的原子振子數(shù)目是固定的.

1.2 諧振子二次量子化

在量子力學(xué)中，沿x方向的一維諧振子對(duì)應(yīng)的哈密頓算符，即

式(8)是諧振子能量本征方程.l為整數(shù)，是諧振子能級(jí)量子數(shù).式(9)和式(10)表明+和的功用.+作用到態(tài)矢 |l〉上，結(jié)果令能級(jí)量子數(shù)增1，即原子振子向上躍遷一個(gè)能級(jí)；作 用到態(tài)矢 |l〉上，結(jié)果是令原子能級(jí)量子數(shù)減1，即原子振子向下躍遷一個(gè)能級(jí).

1.3 超聲場(chǎng)二次量子化

式中：t為時(shí)間；A為振幅；為角頻率.與原子發(fā)生相互作用的有效聲場(chǎng)能量如式(12)所示，即

式中：ρ為固體密度，Veff是確保原子振子能級(jí)躍遷的必要能量對(duì)應(yīng)的體積.

令廣義動(dòng)量PX=ρVeff(dX/dt)，式(12)可寫成

仿照諧振子算符式(4)，可對(duì)超聲場(chǎng)二次量子化，結(jié)果如式(14)～ 式(16)所示，即

式(17)即是聲場(chǎng)的能量本證方程.η為整數(shù)，是聲場(chǎng)能量量子數(shù).按量子力學(xué)的觀點(diǎn)，量子化的聲場(chǎng)對(duì)應(yīng)的量子數(shù) η即是聲場(chǎng)中聲子個(gè)數(shù)，一個(gè)聲子能量為?，聲子的總能量即是聲場(chǎng)的能量.聲子是波色子，可以有很多聲子同時(shí)處于同一個(gè)態(tài).式(18)和式(19)表明：作用到態(tài)矢 |η〉上，結(jié)果是令聲場(chǎng)量子數(shù)增1，即生成一個(gè)聲子，所以稱為聲子產(chǎn)生算符；作用到態(tài)矢 |η〉上，結(jié)果是令聲場(chǎng)量子數(shù)減1，即湮滅一個(gè)聲子，所以稱為聲子湮滅算符.

1.4 超聲場(chǎng)和原子振子的相互作用

由于在某一原子周圍聲場(chǎng)可用式(11)描述，所以該原子在超聲作用下加速度可寫成 -?2X，進(jìn)而聲場(chǎng)作用到原子上的力為F=-μ?2X.力F對(duì)原子做功為Fx，由此產(chǎn)生的能量增量如式(20)所示，即

式中：X為超聲振動(dòng)位移，x為原子振動(dòng)位移.

按量子力學(xué)引入算符的法則，將式(6)和式(15)帶入式(20)中，對(duì)應(yīng)的算符可以寫成如式(21)所示，即

由原子升、降算符和聲子產(chǎn)生、湮滅算符構(gòu)成，它反映了聲場(chǎng)和原子的作用方式，每作用一次，聲場(chǎng)都會(huì)產(chǎn)生或湮滅一個(gè)聲子，原子振子則相應(yīng)地上升或下降一個(gè)能級(jí).顯然，若存在n個(gè)獨(dú)立的聲場(chǎng)，式(21)將變成如式(22)所示，即

1.5 聲子吸收理論

原子振子和周圍有效聲場(chǎng)組成能量系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)的哈密頓算符如式(23)所示，即

則原子振子由 |F〉 態(tài)躍遷至 |G〉態(tài)的速率如式(27)所示，即

利用迭代法可以將上式寫成級(jí)數(shù)的形式[18]，如式(28)所示，即

式中：Ω 代表和共同本征態(tài)對(duì)應(yīng)的頻率；Tn滿足式(29)所示，即

式中：δ(x)是 δ 函數(shù)，當(dāng)x≠ 0 時(shí)，δ(x)≡0.躍遷速率公式中出現(xiàn) δ函數(shù)，這是能量守恒對(duì)躍遷的必然要求.由式(8)和式(11)可知Sfg不為零(即 δ(x)≠0)的必要條件如式(30)所示，即

式中：lf，lg代表原子振子(算符為)初、末態(tài)對(duì)應(yīng)的量子數(shù)；ηif，ηi代表第i個(gè)超聲場(chǎng)(算符為)初、末態(tài)對(duì)應(yīng)的量子數(shù).這一方程說明，只有能級(jí)之差等于吸收或放出聲子總能量的躍遷才可能發(fā)生.所以能夠與聲場(chǎng)交換能量的原子振子，其頻率 ω必須滿足式(30)的要求.

2 雙振子焊接量子吸收優(yōu)勢(shì)

2.1 雙振子焊接原子頻率構(gòu)成

在超聲場(chǎng)中，可以吸收聲子的有效原子振子的頻率必須滿足式(30)的要求，而某一頻段對(duì)應(yīng)的原子振子數(shù)目是固定的，由式(1)可知，在給定的超聲場(chǎng)中，只有一部分原子可以有效吸收聲子.以f～f+1 的躍遷為例，如果只有單一頻率的超聲，聲場(chǎng)角頻率為 ?，由式(30)可以得到能夠有效吸收聲子的原子振子頻率 ω如式(31)所示，即

式中：Δη為聲子個(gè)數(shù).顯然，這種情況下，只有頻率為超聲頻率整數(shù)倍的原子振子才能有效吸收聲子.

如果有兩個(gè)超聲場(chǎng)，角頻率分別為 ?1和 ?2，此時(shí)原子振子可同時(shí)吸收兩種頻率的聲子.按(30)式，能夠有效吸收聲子的振子頻率如式(32)～式(34)所示，即

式中：ω1和 ω2是能夠有效吸收頻率為 ?1或 ?2聲子的原子振子頻率，也是角頻率為 ?1和 ?2的聲場(chǎng)單獨(dú)焊接時(shí)對(duì)應(yīng)的有效原子振子頻率. ω12是兩個(gè)聲場(chǎng)同時(shí)存在時(shí)，能夠同時(shí)吸收兩種頻率聲子的有效原子振子頻率，這一頻率為兩個(gè)聲場(chǎng)頻率的整數(shù)倍組合.也就是說，兩個(gè)聲場(chǎng)同時(shí)存在時(shí)，有效原子振子不僅包括兩個(gè)聲場(chǎng)單獨(dú)存在時(shí)對(duì)應(yīng)的有效原子振子，還包括能夠同時(shí)吸收兩種聲子的有效原子振子.后一種原子振子可稱為疊加態(tài)原子振子.原子振子的頻譜由式(1)給出，在某一給定溫度下，各頻段對(duì)應(yīng)的原子振子數(shù)是確定的.由于疊加態(tài)原子振子的存在，雙振子焊接時(shí)參與聲子吸收的有效原子振子數(shù)目必然大于對(duì)應(yīng)的兩個(gè)單振子焊接時(shí)有效原子振子數(shù)目之和.所以，雙振子焊接的能量吸收能力必然要大于對(duì)應(yīng)的單振子焊接能量吸收能力之和.

2.2 振子焊接有效原子數(shù)目估算

聲場(chǎng)穩(wěn)定時(shí)，原子周圍的平均聲子數(shù)目固定，記為m，顯然m與振源輸出功率成比例.單振子焊接時(shí)，由式(1)和式(31)可以估算出有效原子振子數(shù)N滿足式(35)，即

雙振子焊接時(shí)，可以吸收聲子的有效原子振子頻率由式(32)～ 式(34)給出.顯然式(32)～ 式(34)，可以寫成統(tǒng)一的形式如式(36)所示，即

此時(shí)，原子周圍兩種聲子的平均數(shù)目記為m1，m2，則由式(1)和式(36)可以估算出有效原子振子數(shù)N滿足式(37)，即

有效原子振子數(shù)目是相應(yīng)情況下參與聲子吸收的振子數(shù).顯然，這一數(shù)目越大說明焊接物的能量吸收能力越強(qiáng)，所以可以用這一數(shù)目表征焊接物的能量吸收能力.

3 雙振子超聲焊接的試驗(yàn)研究

3.1 試驗(yàn)設(shè)備

圖1 為雙振子超聲焊接系統(tǒng)，系統(tǒng)主體由作者團(tuán)隊(duì)自行設(shè)計(jì)、加工完成，材料為鋁合金(YL12).超聲振子A、B 各自擁有獨(dú)立的驅(qū)動(dòng)器(AFG320 波形發(fā)生器).A、B 可以同時(shí)工作，也可獨(dú)立工作.焊接壓力由系統(tǒng)上方砝碼提供.試驗(yàn)樣品材料為PVC，密度為1 360 kg/m3，定壓摩爾熱容為1 475 J/(kg·K-1)，楊氏模量為3.5 × 109Pa，泊松比為0.38.樣品長、寬、厚尺寸為50 mm × 20 mm × 0.25 mm.試件沿長邊搭接，搭接寬度為20 mm.

圖1 雙振子超聲焊接系統(tǒng)Fig.1 System of double-vibrator ultrasonic welding

為了便于比對(duì)，A、B 兩個(gè)超聲振子均選用激振頻率接近1.7 MHz 壓電陶瓷激勵(lì)，并設(shè)計(jì)與此相匹配的參數(shù).由于振子的個(gè)體差異，可以認(rèn)為兩個(gè)振子提供了兩個(gè)不同頻率的聲場(chǎng).由于壓電陶瓷激振頻率同在1.7 MHz 附近，所以超聲振子頻率相差不大，A、B 單獨(dú)工作時(shí)對(duì)應(yīng)的有效原子振子的頻率構(gòu)成相差不大，對(duì)應(yīng)的有效原子振子數(shù)目近似相等.

3.2 試驗(yàn)分析與討論

理論上，焊接物的能量吸收能力如圖2 所示，橫軸為振子A、B 各自發(fā)射到每個(gè)原子周圍的平均聲子數(shù)m，m由振子A、B 各自輸出功率決定.對(duì)于雙振子焊接，這里假設(shè)振子A、B 的輸出功率始終相同.計(jì)算結(jié)果表明隨著超聲振子輸出功率的增加(m增大)，無論單振子焊接還是雙振子焊接，焊接物的能量吸收能力(有效原子振子數(shù)目)均迅速增加.這是由于隨著原子周圍的聲子增多，高頻率原子振子逐漸參與聲子吸收.由德拜頻譜可知：各頻段原子振子數(shù)目隨頻率升高而增多.同時(shí)，對(duì)應(yīng)某一給定的m值 (如圖2 所示m=10)，使用雙振子焊接時(shí)，某一原子周圍分布有振子A、B 各自發(fā)射到該區(qū)域的m個(gè)聲子，即此時(shí)原子周圍的平均聲子數(shù)為2m(即20).按圖2 中的結(jié)果，雙振子焊接對(duì)應(yīng)的能量吸收能力遠(yuǎn)大于單振子焊接原子周圍平均聲子數(shù)為2m(即20) 時(shí)對(duì)應(yīng)的能量吸收能力，這是由于雙振子焊接時(shí)存在疊加態(tài)原子振子.考慮到焊接時(shí)總有超聲能流穿透焊接物，無法及時(shí)被焊接物吸收；所以焊接物能量吸收能力增強(qiáng)，超聲能量的利用率必然隨之增高.一方面在振子A、B 功率固定的條件下，焊接物要吸收相同能量，振子A、B 同時(shí)焊接的耗時(shí)應(yīng)小于振子A 或B 單獨(dú)焊接時(shí)對(duì)應(yīng)耗時(shí)的1/2；另一方面，由于雙振子焊接時(shí)能量吸收能力更好，在焊接時(shí)間相同的條件下，要吸收相同能量，雙振子焊接所需總功率應(yīng)該小于單振子焊接功率.

圖2 有效原子振子數(shù)目Fig.2 Number of effective atom vibrators

為了實(shí)現(xiàn)單振子焊接和雙振子焊接的有效對(duì)比，試驗(yàn)時(shí)，焊接壓力固定為85 N，焊后保壓時(shí)間固定為3 s.試驗(yàn)包括兩項(xiàng)內(nèi)容.

試驗(yàn)一是對(duì)必要焊接時(shí)間的對(duì)比.驅(qū)動(dòng)器A、B 的輸出功率都固定為13 W.焊接時(shí)間從1 s 開始嘗試，每次增加1 s.每次焊接結(jié)束都檢測(cè)樣品是否被成功焊接，標(biāo)準(zhǔn)是拉斷力能否達(dá)到20 N.能夠保證完成焊接的最小時(shí)間定義為必要焊接時(shí)間.

相同條件下，單振子焊接和雙振子焊接的必要時(shí)間測(cè)量結(jié)果如表1 所示.超聲振子A、B 的驅(qū)動(dòng)功率相同時(shí)，要實(shí)現(xiàn)相同的焊接效果，A、B 同時(shí)焊接耗時(shí)與A 或B 單獨(dú)焊接耗時(shí)的比值為3/8 小于1/2，這與理論預(yù)測(cè)結(jié)果相一致.此外，在耗能方面，單振子焊接消耗能量為104 J，雙振子焊接耗能為78 J，這說明雙振子焊接時(shí)能量的吸收率更好，耗能更低.

表1 必要焊接時(shí)間試驗(yàn)結(jié)果Table 1 Experimental results of necessary welding time

試驗(yàn)二是必要焊接功率的對(duì)比.焊接時(shí)間固定為8 s，雙振子焊接時(shí)A、B 驅(qū)動(dòng)功率始終相同.焊接時(shí)驅(qū)動(dòng)功率從一個(gè)較低的起始值開始嘗試，每次增加0.1 W.每次焊接結(jié)束，都檢測(cè)樣品是否被成功焊接，標(biāo)準(zhǔn)是焊點(diǎn)拉斷力能否達(dá)到20 N.能保證完成焊接的最小功率，定義為必要焊接功率.單振子焊接和雙振子焊接的必要焊接功率測(cè)量結(jié)果由表2 給出.

表2 必要焊接功率試驗(yàn)結(jié)果Table 2 Experimental results of necessary welding power

如表2 所示，焊接時(shí)間同為8 s 時(shí)，A 或B 單獨(dú)焊接時(shí)必要功率為13 W；A 和B 同時(shí)焊接時(shí)各自必要功率為6 W，功率總和為12 W，小于單振子必要功率，這一結(jié)果也與理論預(yù)期相一致.在耗能方面，單振子焊接耗能104 J，雙振子焊接耗能96 J.所以試驗(yàn)二的結(jié)果也表明：雙振子焊接的能量吸收率更好，耗能更低.

4 結(jié)論

(1)雙振子焊接時(shí)原子對(duì)聲場(chǎng)能量的吸收能力更強(qiáng)，吸收率更高.要達(dá)到同樣的焊接效果，雙振子的焊接能耗更低，焊接速率更快.

(2)理論結(jié)果表明在振子A、B 功率固定的條件下，焊接物要吸收相同能量，振子A、B 同時(shí)焊接的耗時(shí)應(yīng)小于振子A 或B 單獨(dú)焊接時(shí)對(duì)應(yīng)耗時(shí)的1/2；試驗(yàn)結(jié)果表明振子A、B 功率相同時(shí)，要完成同樣的焊接，振子A、B 同時(shí)焊接所需時(shí)間約為單振子焊接所需時(shí)間的3/8.

(3)理論結(jié)果表明在焊接時(shí)間相同的條件下，要吸收相同能量，雙振子焊接所需總功率應(yīng)該小于單振子焊接功率；試驗(yàn)結(jié)果表明在焊接時(shí)間相同時(shí)，要完成同樣的焊接，振子A、B 同時(shí)焊接時(shí)，A、B 的功率總和約為單振子焊接功率的12/13.