謝志堅(jiān) 魏 武

1(廣州市機(jī)電技師學(xué)院 廣東 廣州 510370) 2(華南理工大學(xué) 廣東 廣州 510641)

0 引 言

近年來,馬爾可夫跳變系統(tǒng)受到了廣泛研究并且被有效用于建模具有參數(shù)突變的機(jī)電系統(tǒng)[1-2]、電力系統(tǒng)[3-4]、生物系統(tǒng)[5-6]等。在網(wǎng)絡(luò)化環(huán)境下,網(wǎng)絡(luò)化馬爾可夫跳變系統(tǒng)在高可靠性與低成本上有著巨大的優(yōu)勢(shì),受到了越來越多研究人員的關(guān)注[7-8]。值得注意的是,基于事件觸發(fā)機(jī)制的控制策略可以有效降低網(wǎng)絡(luò)傳輸負(fù)載,許多學(xué)者展開了相關(guān)研究并且取得了很多成果。文獻(xiàn)[9-10]研究了一種時(shí)滯方法用來解決基于事件觸發(fā)的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)控制問題。文獻(xiàn)[11]討論了帶有事件觸發(fā)機(jī)制的異步馬爾可夫跳變系統(tǒng)的控制問題,取得了滿意的控制效果。文獻(xiàn)[12]提出了一種基于事件觸發(fā)的非脆弱H∞方法解決馬爾可夫跳變系統(tǒng)的濾波問題。

另一方面,不同于傳統(tǒng)的穩(wěn)定性研究,耗散性主要用來從能量角度描述系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系,在實(shí)際工程中有著重要意義。許多研究學(xué)者針對(duì)控制系統(tǒng)的耗散性分析與綜合問題開展了研究。文獻(xiàn)[13]利用狀態(tài)反饋解決了存在耗散不確定性的線性系統(tǒng)魯棒耗散性控制問題。文獻(xiàn)[14]針對(duì)帶有時(shí)滯的模糊描述系統(tǒng),設(shè)計(jì)了一種基于觀測(cè)器的耗散控制器,取得了滿意的控制效果。文獻(xiàn)[15]進(jìn)一步研究了模糊馬爾可夫跳變系統(tǒng)的異步耗散性控制問題,給出了滿足耗散性指標(biāo)的異步控制設(shè)計(jì)步驟。文獻(xiàn)[16]討論了帶有執(zhí)行器故障的模糊馬爾可夫跳變系統(tǒng)的可靠性控制問題,能夠在存在故障的時(shí)候依舊滿足耗散性性能指標(biāo)。文獻(xiàn)[17]設(shè)計(jì)了一種新穎的基于事件觸發(fā)的具有異步約束的模糊系統(tǒng)耗散性濾波器,有效解決了其可靠性濾波問題。然而,需要指出的是,盡管基于耗散性分析與事件觸發(fā)機(jī)制的馬爾可夫跳變系統(tǒng)受到了研究學(xué)者的越來越多的重視,例如,文獻(xiàn)[18]研究了馬爾可夫跳變系統(tǒng)的事件觸發(fā)耗散性同步問題,文獻(xiàn)[19]討論了廣義離散時(shí)滯馬爾可夫跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的事件觸發(fā)耗散性分析問題等。然而,與已有結(jié)果相比較,目前針對(duì)馬爾可夫跳變系統(tǒng)的耗散性濾波問題中關(guān)于采用事件觸發(fā)機(jī)制的相關(guān)成果尚處于起步階段。

在本文中,針對(duì)網(wǎng)絡(luò)化馬爾可夫跳變系統(tǒng)的耗散性濾波問題,基于事件觸發(fā)機(jī)制設(shè)計(jì)一種模態(tài)依賴的濾波器。通過選擇合適的Lyapunov-Krasovskii泛函及推導(dǎo)證明,建立了在均方意義下滿足耗散性能指標(biāo)的線性矩陣不等式。在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步通過求解線性矩陣不等式得到相應(yīng)的模態(tài)依賴濾波器增益。

1 問題描述與預(yù)備知識(shí)

考慮概率空間(Ω,,)內(nèi)的網(wǎng)絡(luò)化馬爾可夫跳變系統(tǒng):

在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中,通常假設(shè)采樣器是按照時(shí)間驅(qū)動(dòng)間隔采樣的,采樣周期假設(shè)為h>0。本文中采用基于事件觸發(fā)的信號(hào)傳輸機(jī)制來確定最新的有效傳輸數(shù)據(jù)y(tkh)。事件觸發(fā)函數(shù)由式(3)給出:

εyT(tkh+lh)W2iy(tkh+lh)}

(3)

式中:tkh表示最新的觸發(fā)瞬間;0<ε<1表示閾值參數(shù);W1i與W2i為模態(tài)依賴的正定權(quán)重矩陣。一旦事件觸發(fā)函數(shù)滿足條件,則測(cè)量輸出信號(hào)將通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行傳輸。

因此,可以設(shè)計(jì)下列的全階模態(tài)依賴濾波器:

式中:矩陣Afi、Bfi、Cfi為待設(shè)計(jì)的濾波器增益矩陣。

通過在tk

y(tkh)=y(t-τ(t))+e(t),t∈[lh,(l+1)h)

(5)

ε[y(t-τ(t))]TW2i[y(t-τ(t))]-

eT(t)W1ie(t)>0

(6)

(7)

更進(jìn)一步,給出下面的耗散性指標(biāo)定義:

定義1[20]給定常數(shù)γ>0以及合適的矩陣Q≤0、S、R,式(7)被稱為滿足均方意義下的耗散性指標(biāo),如果在零初始條件時(shí)下列條件成立:

<ω,Rω(t)>T}≥γ<ω(t),ω(t)>T

(8)

其中對(duì)于任意r(t)有:

(9)

此外,本文將使用下列引理:

引理1[21]給定矩陣M>0以及標(biāo)量τ>0,0≤τ(t)≤τ,則下列矩陣不等式條件成立:

式中:

ζ(t)=[xT(t),xT(t-τ(t)),xT(t-τ)]T,

其中“*”表示矩陣中的對(duì)稱塊。

或者:

本文的目標(biāo)是基于事件觸發(fā)機(jī)制設(shè)計(jì)模態(tài)依賴的濾波器增益從而使得增廣濾波誤差系統(tǒng)滿足定義1中的耗散性指標(biāo)。

2 主要結(jié)果

證明1構(gòu)建下列Lyapunov-Krasovskii泛函:

式中:

定義下列無窮小算子:

根據(jù)引理1可知:

此外,不難驗(yàn)證下列不等式成立:

式中:

eT(t),ωT(t)]T。

根據(jù)事件觸發(fā)函數(shù),可以得到:

τ(t))-eT(t)W1ie(t)

(20)

根據(jù)定義1并且結(jié)合式(15)-式(20),可以進(jìn)一步得到:

ωT(t)(R-γI)ω(t)≤δT(t)Πiδ(t)

(21)

綜上所述,當(dāng)滿足條件Πi<0時(shí),則在零初始條件下通過對(duì)式(21)進(jìn)行積分運(yùn)算可知,式(7)滿足定義1中的耗散性指標(biāo),證明完畢。

基于定理1得到的充分性條件,定理2將進(jìn)一步通過求解矩陣不等式的方法計(jì)算模態(tài)依賴濾波器增益。

當(dāng)上述矩陣不等式存在可行解時(shí),模態(tài)依賴濾波器增益可以進(jìn)一步通過下列公式求解:

證明2對(duì)于任意的矩陣Y,存在非奇異矩陣V以及矩陣J>0,從而滿足條件Y=VJ-1VT。

定義下列矩陣:

則對(duì)Πi<0進(jìn)行全等變換diag{ZT,I,I,I,I,I,ZT}并且令:

余下證明可以通過代入上述結(jié)果直接得到,證畢。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)將給出兩個(gè)數(shù)值仿真的例子來證明本文中理論結(jié)果的有效性。

例子1考慮具有下列參數(shù)的馬爾可夫跳變系統(tǒng):

其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為:

在仿真實(shí)驗(yàn)中,假設(shè)采樣周期h=0.2 s,閾值參數(shù)ε=0.01,γ=1,外部擾動(dòng)假設(shè)為ω(t)=0.1sint。

將上述參數(shù)代入定理2中的矩陣不等式,可以得到模態(tài)依賴濾波器增益為:

圖1-圖2分別展示了事件觸發(fā)間隔以及相應(yīng)的濾波器估計(jì)誤差。此外,從圖3中與傳統(tǒng)的基于時(shí)間觸發(fā)的濾波器設(shè)計(jì)結(jié)合圖1中的結(jié)果不難發(fā)現(xiàn),本文所設(shè)計(jì)的基于事件觸發(fā)的濾波器可以在保證濾波性能的基礎(chǔ)上顯著提高信息傳輸?shù)男??？梢钥闯?本文所設(shè)計(jì)的模態(tài)依賴濾波器可以有效地對(duì)存在外部擾動(dòng)的網(wǎng)絡(luò)化馬爾可夫跳變系統(tǒng)進(jìn)行濾波。

圖1 例子1的傳輸瞬間和釋放間隔

圖2 例子1的濾波誤差軌跡

圖3 濾波誤差軌跡對(duì)比示意圖

例子2考慮下列垂直起落直升機(jī)控制系統(tǒng),其動(dòng)力學(xué)模型可以被建模為具有下列參數(shù)的馬爾可夫跳變系統(tǒng)[23]:

其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為:

在仿真實(shí)驗(yàn)中,假設(shè)采樣周期h=0.2 s,閾值參數(shù)ε=0.01,γ=1,外部擾動(dòng)假設(shè)為ω(t)=0.01sint。

將上述參數(shù)代入定理2中的矩陣不等式,可以得到模態(tài)依賴濾波器增益為:

類似地,從圖4-圖5不難驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的模態(tài)依賴狀態(tài)濾波器可以在降低信號(hào)傳輸頻率的基礎(chǔ)上,有效解決網(wǎng)絡(luò)化馬爾可夫跳變系統(tǒng)的事件觸發(fā)濾波問題。

圖4 例子2的傳輸瞬間和釋放間隔

圖5 例子2的濾波誤差軌跡

4 結(jié) 語

本文針對(duì)網(wǎng)絡(luò)化馬爾可夫跳變系統(tǒng)的濾波問題,提出一種基于事件觸發(fā)機(jī)制與耗散性指標(biāo)的模態(tài)依賴濾波器。通過構(gòu)建合適的Lyapunov-Krasovskii泛函,給出了相應(yīng)的充分性條件和模態(tài)依賴濾波器增益的設(shè)計(jì)過程。最后,通過兩個(gè)數(shù)值仿真的例子驗(yàn)證了本文方法的有效性。在后續(xù)工作中,將進(jìn)一步針對(duì)存在模態(tài)異步的情況進(jìn)行研究。