孫 凱 (江蘇省蘇州市陽山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校 215151)

陳 鋒 (江蘇省無錫市太湖格致中學(xué) 214125)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出,數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為三個(gè)方面:會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界[1].從數(shù)學(xué)內(nèi)部看,三句話分別對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等方面,觀察、思考和表達(dá)的對(duì)象都是現(xiàn)實(shí)世界.從現(xiàn)實(shí)世界看,“三會(huì)”包括將現(xiàn)實(shí)世界引入到數(shù)學(xué)內(nèi)部,用數(shù)學(xué)語言抽象、推理、建模,從而解決問題的過程,從宏觀上看,這本身就是一種數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)表達(dá)的過程.因此,數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的有效路徑之一.

1 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)表達(dá)的關(guān)系

數(shù)學(xué)表達(dá)是指用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)數(shù)學(xué)思維的過程,以數(shù)學(xué)的方式表征和求解問題[2].呂傳漢教授提倡通過“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”(簡稱“三教”)[3]培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),其中“教表達(dá)”是指學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界,實(shí)質(zhì)上就是學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于外部世界,用數(shù)學(xué)模型刻畫現(xiàn)實(shí)世界中研究對(duì)象的關(guān)系與規(guī)律[4],從而解決問題.事實(shí)上,數(shù)學(xué)語言的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)模型,在用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的過程中必然經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)世界引入數(shù)學(xué)內(nèi)部,即數(shù)學(xué)化的過程,而數(shù)學(xué)化的過程必然要用專業(yè)的數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)表達(dá)和闡釋現(xiàn)實(shí)事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律[5].從這個(gè)角度看,數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)表達(dá)有著互相交融、彼此促進(jìn)的關(guān)系.

數(shù)學(xué)建模是指將現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并用數(shù)學(xué)的知識(shí)解決問題[6].數(shù)學(xué)建模能力是指利用形式化的數(shù)學(xué)模型去表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題中的關(guān)系結(jié)構(gòu),通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的求解和檢驗(yàn),解決現(xiàn)實(shí)問題的能力.數(shù)學(xué)表達(dá)可以看作用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的簡稱,是指運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表示思考對(duì)象和解決問題的過程,闡明自己的觀點(diǎn)和意見[7].數(shù)學(xué)表達(dá)能力是指使用數(shù)學(xué)語言的能力,包括口頭表達(dá)能力或書面表達(dá)的能力[8].2017年版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出,數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是一種過程,分為現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)表達(dá)、建構(gòu)模型求解問題三個(gè)階段[9].基于以上含義的理解,我們可以看出,數(shù)學(xué)表達(dá)始終伴隨著數(shù)學(xué)建?；顒?dòng).從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)內(nèi)部的數(shù)學(xué)化表達(dá),建立數(shù)學(xué)模型求解獲得數(shù)學(xué)結(jié)果,再到將數(shù)學(xué)結(jié)果反數(shù)學(xué)化來闡釋現(xiàn)實(shí)世界,本質(zhì)上都屬于數(shù)學(xué)表達(dá)范疇.因此,可以說數(shù)學(xué)建模能力是數(shù)學(xué)表達(dá)能力的重要組成部分,在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)表達(dá)能力是切實(shí)可行的.

2 數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 選題說明

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材注重選擇與學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)緊密聯(lián)系的學(xué)習(xí)素材,設(shè)置了大量的現(xiàn)實(shí)生活背景.“一元一次方程”章節(jié)是初中階段第一個(gè)相對(duì)獨(dú)立完整的代數(shù)型模型,包括從現(xiàn)實(shí)情境中獲得一元一次方程模型,探索模型求解的方法,以及用一元一次方程模型解決實(shí)際問題,使學(xué)生體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.學(xué)生完整經(jīng)歷引入模型、建立模型、求解模型、驗(yàn)證模型的數(shù)學(xué)建模過程,體會(huì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值.

基于以上分析,蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)“4.3用一元一次方程解決問題(1)”為初中生首次提供了相對(duì)完整的數(shù)學(xué)建模活動(dòng).學(xué)生經(jīng)歷的數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)過程,對(duì)后續(xù)實(shí)際問題類的分析和求解影響深遠(yuǎn).因此,筆者從數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)表達(dá)的視角談?wù)劇坝靡辉淮畏匠探鉀Q問題(1)”的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考.

2.2 教學(xué)分析

2.2.1內(nèi)容簡析

教材提供了四部分內(nèi)容:數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室(月歷情境);問題1(桌子用料問題);方法總結(jié)(一般步驟);練習(xí)題(4道題).以月歷為情境,設(shè)置一些問題,驅(qū)使學(xué)生探索月歷中的數(shù)量關(guān)系,體會(huì)用字母表示未知的數(shù)的必要性和優(yōu)越性,為用代數(shù)式表達(dá)數(shù)量關(guān)系、列出方程奠定基礎(chǔ).問題1取材于現(xiàn)實(shí)生活,重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生建立一元一次方程模型.方法總結(jié)是對(duì)實(shí)際問題求解過程的梳理和歸納,使學(xué)生理解和掌握建立數(shù)學(xué)模型求解實(shí)際問題的一般步驟.

2.2.2教學(xué)目標(biāo)

能通過建立一元一次方程模型解決簡單的實(shí)際問題,包括列方程、解方程,并能根據(jù)實(shí)際問題的意義檢驗(yàn)結(jié)果,提高分析和解決問題的能力;經(jīng)歷“實(shí)際問題—建立模型—求解模型—驗(yàn)證解釋”的建模過程,培養(yǎng)數(shù)學(xué)表達(dá)能力.

2.3 教學(xué)過程

2.3.1關(guān)聯(lián)情境,感受數(shù)學(xué)表達(dá)的延續(xù)性

代數(shù)式模型是方程模型的認(rèn)知基礎(chǔ),代數(shù)式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)水平直接關(guān)系到方程學(xué)習(xí)的質(zhì)量.教學(xué)引入環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)得好不好,其中一個(gè)關(guān)鍵要素是是否體現(xiàn)學(xué)生知道什么、還可以知道什么,即是否符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),為新知識(shí)的生成、生長做好鋪墊.

問題1小明和小麗在玩火柴棒搭“小魚”的游戲,要求用火柴棒按以下方式(圖1)搭“小魚”.

圖1 搭“小魚”游戲

(1)搭n條“小魚”需要多少根火柴棒?

(2)用602根火柴棒能搭多少條“小魚”?

教學(xué)分析在本課前,“搭‘小魚’”問題情境已經(jīng)在教材上出現(xiàn)過兩次,每一次出現(xiàn)都肩負(fù)著不同的使命.在代數(shù)式章節(jié)的“章頭圖”中使學(xué)生感受字母表示數(shù)的優(yōu)越性,在“3.3代數(shù)式的值”處,使學(xué)生獲得函數(shù)的感性認(rèn)識(shí),感悟模型思想.在本課教學(xué)引入環(huán)節(jié),再現(xiàn)“搭‘小魚’”問題情境,有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,喚醒建立代數(shù)式模型的經(jīng)驗(yàn),通過建立代數(shù)式模型,進(jìn)一步建立一元一次方程模型.兩個(gè)問題的設(shè)置遵循了知識(shí)的生長規(guī)律,由淺入深、從無到有,體現(xiàn)了代數(shù)式到方程模型的生長過程,有利于學(xué)生體會(huì)代數(shù)式與方程的內(nèi)在聯(lián)系.

2.3.2解決問題,感悟數(shù)學(xué)表達(dá)的完整性

“用一元一次方程解決問題”中的“解決問題”是指解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)內(nèi)部,用數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想和方法建立模型并解決的過程就是數(shù)學(xué)建模.在此過程中既要關(guān)注數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)過程的完整性,也要關(guān)注每個(gè)活動(dòng)環(huán)節(jié)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的簡潔性、條理性、規(guī)范性等.

問題2一張桌子有一張桌面和四條桌腿,做一張桌面需用木料0.03 m3,做一條桌腿需用木料0.002 m3.用3.8 m3木材可做多少張這樣的桌子?(不計(jì)木材加工時(shí)的損耗)

教學(xué)分析在該問題的教學(xué)中,教師應(yīng)從兩個(gè)維度考量教學(xué)過程:一是數(shù)學(xué)建模維度,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)際問題—數(shù)學(xué)問題—數(shù)學(xué)模型—數(shù)學(xué)模型的解—實(shí)際問題解答”的建?；顒?dòng)過程,使學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)建模的一般流程;二是數(shù)學(xué)表達(dá)維度,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“審題、設(shè)未知數(shù)(數(shù)學(xué)化表達(dá))—找等量關(guān)系、列方程(列方程表達(dá))—解方程(求解)—檢驗(yàn)(驗(yàn)證)—作答(解釋)”的數(shù)學(xué)表達(dá)過程.圖2呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模循環(huán)模型背景下的數(shù)學(xué)表達(dá)流程.

圖2 數(shù)學(xué)建模背景下數(shù)學(xué)表達(dá)流程

2.3.3歸納過程,重視數(shù)學(xué)表達(dá)的規(guī)范性

數(shù)學(xué)表達(dá)包括口頭表達(dá)和書面表達(dá).在數(shù)學(xué)表達(dá)活動(dòng)中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言闡釋數(shù)學(xué)理解,從而發(fā)展學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)表達(dá)的專業(yè)性語言體系[10].這就要求教師關(guān)注學(xué)生口頭表達(dá)和書面表達(dá)的簡潔性、規(guī)范性,幫助學(xué)生說得準(zhǔn)確、清晰、有條理,寫得簡潔、規(guī)范、有邏輯.

問題3(1)“桌子加工”問題中有哪些數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)用合適的數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來.

(2)根據(jù)相等的數(shù)量關(guān)系,建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型求解問題.

教學(xué)分析通過問題(1)驅(qū)動(dòng)學(xué)生審題、理解題意,簡化問題情境,梳理并表達(dá)出以下數(shù)量關(guān)系:一條桌腿用料×4=一張桌子的桌腿用料;一張桌面用料+一張桌腿用料=一張桌子用料;所有桌面用料+所有桌腿用料=總用料,為3.8 m3;一張桌子的用料×桌子張數(shù)=總用料,為3.8 m3.然后用字母表示適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù),并用含有字母的代數(shù)式表達(dá)其他相關(guān)的量,根據(jù)數(shù)量之間的相等關(guān)系建立一元一次方程模型,然后求解方程模型,檢驗(yàn)并寫出問題的答案.在表達(dá)數(shù)量關(guān)系時(shí),應(yīng)關(guān)注學(xué)生的表達(dá)方式,適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生體悟文字語言、符號(hào)語言、圖形語言三種表達(dá)方式的特征.

問題(2)充分預(yù)設(shè)了學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的多樣性,比如有學(xué)生會(huì)建立算術(shù)模型直接求解,也有學(xué)生選用不同的等量關(guān)系建立不同的方程模型等,但最終教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到方程模型的優(yōu)越性.

在這個(gè)環(huán)節(jié),教師要示范用一元一次方程解決問題的規(guī)范性解答,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)清晰、有條理、規(guī)范地表達(dá)問題求解的過程及結(jié)論.這里的教學(xué)重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化表達(dá),分析和理解問題中的數(shù)量關(guān)系,并用代數(shù)式或方程表達(dá),從而建立方程模型.在問題解決后,教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納用方程解決問題的一般步驟:審題、設(shè)未知、找等量、列方程、解方程、檢驗(yàn)、作答.

2.3.4深度思考,理解數(shù)學(xué)表達(dá)的結(jié)構(gòu)性

一般而言,數(shù)學(xué)模型本身是一種穩(wěn)定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).從整體上看,整個(gè)章節(jié)提供的72個(gè)實(shí)際問題情境都指向一元一次方程模型的建構(gòu).從局部上看,每個(gè)問題情境中的數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)類型卻不盡相同,但進(jìn)一步梳理可以發(fā)現(xiàn)兩種基本的結(jié)構(gòu)模型．引導(dǎo)學(xué)生抽象出實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)模型,是一種高階思維參與的探究活動(dòng),有利于實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

問題4“搭‘小魚’”和“桌子加工”兩個(gè)問題中的數(shù)量關(guān)系有什么共同的特征?

教學(xué)分析“搭‘小魚’”和“桌子加工”問題中的數(shù)量關(guān)系分別為:“魚尾”根數(shù)(2根)+“魚身”根數(shù)=總根數(shù);桌面用料+桌腿用料=總用料.兩種數(shù)量關(guān)系可以概括為“a+b=c”型結(jié)構(gòu)模型.其中一個(gè)“魚身”根數(shù)ד小魚”條數(shù)=“魚身”總根數(shù)、一張桌面用料×桌子數(shù)量=桌面總用料、一張桌腿用料×桌子數(shù)量=桌腿總用料.這些數(shù)量關(guān)系可以概括為“ab=c”型結(jié)構(gòu)模型.教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生討論交流,提煉并表達(dá)出以上結(jié)構(gòu)模型,從而實(shí)現(xiàn)深度探究、深度學(xué)習(xí).正是基于結(jié)構(gòu)模型的教學(xué)需要,本節(jié)課教學(xué)舍棄了教材提供的“月歷”問題情境.

3 培養(yǎng)數(shù)學(xué)表達(dá)能力的思考

3.1 注重示范規(guī)范化表達(dá)

規(guī)范化表達(dá)是指用數(shù)學(xué)語言清晰、有條理、規(guī)范地表達(dá)對(duì)問題的數(shù)學(xué)思考、求解過程以及結(jié)果的合理解釋.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們經(jīng)常遇到學(xué)生表達(dá)不規(guī)范的現(xiàn)象,這種現(xiàn)象在解題作答時(shí)表現(xiàn)得尤為突出,廣大一線教師對(duì)此頗為煩惱.事實(shí)上,這種現(xiàn)象表明學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的規(guī)范性有待加強(qiáng).這就要求教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,應(yīng)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到規(guī)范表達(dá)的重要性,有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范化表達(dá),讓他們逐步養(yǎng)成規(guī)范表達(dá)的習(xí)慣.比如,在列一元一次方程求解問題時(shí),教師先給出規(guī)范的表達(dá)過程,做好示范,隨后在練習(xí)中關(guān)注學(xué)生表達(dá)的規(guī)范性,發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)提醒并糾正,反復(fù)訓(xùn)練,提高學(xué)生規(guī)范化表達(dá)的能力.

3.2 重視引導(dǎo)多元化表達(dá)

多元化表達(dá)是指使用不同的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行有效表達(dá).數(shù)學(xué)表達(dá)的關(guān)鍵是對(duì)數(shù)學(xué)語言的掌握與使用能力.數(shù)學(xué)語言的形式是多樣的,數(shù)學(xué)的語言一般可以概括為文字語言、符號(hào)語言和圖形語言三類.提高學(xué)生數(shù)學(xué)語言的使用能力,一定程度上可以看成是提高學(xué)生三類語言互譯的能力.比如,在分析與表達(dá)“桌子加工”問題中的數(shù)量關(guān)系時(shí),可以引導(dǎo)學(xué)生使用文字語言、符號(hào)語言、圖表語言進(jìn)行表達(dá)(圖3),以此提高學(xué)生多元化表達(dá)能力.

圖3 多元化表達(dá)的板書

3.3 經(jīng)歷數(shù)學(xué)化表達(dá)過程

數(shù)學(xué)化表達(dá)多用于數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)過程,是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵環(huán)節(jié).從數(shù)學(xué)建模過程看,數(shù)學(xué)化表達(dá)分為兩個(gè)階段:橫向數(shù)學(xué)化表達(dá)和縱向數(shù)學(xué)化表達(dá).從實(shí)際問題中抽象和建立數(shù)學(xué)模型屬于橫向數(shù)學(xué)化表達(dá),在數(shù)學(xué)內(nèi)部探究數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)和求解屬于縱向數(shù)學(xué)化表達(dá).在本節(jié)課中,運(yùn)用數(shù)學(xué)語言從實(shí)際問題中建立一元一次方程屬于橫向數(shù)學(xué)化表達(dá),求解一元一次方程獲得數(shù)學(xué)結(jié)果屬于縱向數(shù)學(xué)化表達(dá).在此活動(dòng)過程中要注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)化表達(dá)能力的培養(yǎng),事實(shí)上,這也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的關(guān)鍵.

3.4 關(guān)注結(jié)構(gòu)化表達(dá)進(jìn)階

結(jié)構(gòu)化表達(dá)是指將實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)進(jìn)行模型化表達(dá),從而深刻理解問題的結(jié)構(gòu)化特征.在對(duì)問題解決的反思中,進(jìn)一步提煉問題中蘊(yùn)涵數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu),有利于培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化表達(dá)能力.研究發(fā)現(xiàn),教材很多題目中的數(shù)量關(guān)系都包括“a+b=c”“ab=c”這兩個(gè)最基本的結(jié)構(gòu),稍復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系可以看作是這兩個(gè)基本結(jié)構(gòu)的復(fù)合結(jié)構(gòu)[11].指向?qū)嶋H問題解決的建模教學(xué)應(yīng)關(guān)注結(jié)構(gòu)化模型的進(jìn)階,從大單元視角對(duì)不同實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行結(jié)構(gòu)化統(tǒng)整,從而形成簡約、統(tǒng)一、優(yōu)美的結(jié)構(gòu)模型,以此提高學(xué)生的結(jié)構(gòu)化表達(dá)能力.