潘長(zhǎng)青 宋彥波 (江蘇省連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué) 222000)

2022年4月下旬,教育部頒布了新版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(下稱2022版),與2011版課標(biāo)相比,新增了2個(gè)基本尺規(guī)作圖,更加重視作圖依據(jù)和原理,突出了尺規(guī)作圖的工具性、應(yīng)用性與探究性.所謂尺規(guī)作圖,是指用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖.縱覽現(xiàn)行的教材,對(duì)于尺規(guī)作圖的內(nèi)容呈現(xiàn)方式多采用程序性操作,這導(dǎo)致教師在日常教學(xué)中往往直接告知學(xué)生作圖步驟,然后當(dāng)作一種技能反復(fù)練習(xí),很少有機(jī)會(huì)讓學(xué)生探索分析作圖的原理,導(dǎo)致學(xué)生對(duì)“為什么這么作”缺乏深層次的認(rèn)知.筆者認(rèn)為,特別在尺規(guī)作圖教學(xué)的起始階段,更應(yīng)注重探索的過(guò)程,要讓學(xué)生能夠感受到尺規(guī)作圖的來(lái)路、思路及出路,充分體驗(yàn)到探究的過(guò)程與樂(lè)趣,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),并以此為載體將核心素養(yǎng)落地生根.下面筆者將結(jié)合“用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角”教學(xué)片段來(lái)呈現(xiàn)其探索過(guò)程,并就教于同行.

1 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體之一:尺規(guī)作圖

從立足學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的角度來(lái)看,尺規(guī)作圖內(nèi)容蘊(yùn)含了培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀及推理能力等學(xué)科核心素養(yǎng),它們對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和品質(zhì)具有極其重要的價(jià)值.

(1)幾何直觀．2022版新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出[1]:幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣.數(shù)學(xué)家阿蒂亞曾說(shuō):“在幾何中,視覺(jué)思維占主導(dǎo)地位.”也就是說(shuō),學(xué)習(xí)幾何知識(shí)、解決幾何問(wèn)題,離不開(kāi)空間想象和直觀洞察.事實(shí)上,尺規(guī)作圖的實(shí)質(zhì)[2]就是用圖形來(lái)解決和表達(dá)幾何問(wèn)題或數(shù)量關(guān)系問(wèn)題,既需要直觀洞察和空間想象能力,又能培養(yǎng)直觀洞察和空間想象能力.

(2)推理能力．尺規(guī)作圖是鍛煉學(xué)生推理能力的良好平臺(tái).尺規(guī)作圖既需要推理能力,又能培養(yǎng)推理能力,還能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的學(xué)習(xí)習(xí)慣,可謂一舉多得.不僅要思考怎么作,而且要尋求為什么這樣作.而作出符合要求的圖形后,往往會(huì)再往前走一步,思考有沒(méi)有更優(yōu)的畫(huà)法.這些想法的背后就凸顯出學(xué)生“四基”水平如何,學(xué)生“三會(huì)”維度在何層次上.

2 滲透核心素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐片斷與分析

站在落實(shí)立德樹(shù)人、發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)的角度,基于對(duì)尺規(guī)作圖教學(xué)的認(rèn)識(shí)和理解,結(jié)合學(xué)生的生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),在2021年10月江蘇省初中數(shù)學(xué)優(yōu)秀課比賽時(shí)筆者對(duì)蘇科版教材七年級(jí)上冊(cè)“6.2角(2)”一節(jié)進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)與課堂實(shí)踐,并最終榮獲省一等獎(jiǎng).這節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)是如何讓學(xué)生主動(dòng)聯(lián)想到用直尺和圓規(guī)“作一個(gè)角等于已知角”.通過(guò)師生、生生之間的對(duì)話發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題,從而完成數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”過(guò)程,發(fā)展學(xué)生的幾何直觀與推理能力等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

(1)畫(huà)一個(gè)角等于已知角

操作1 (1)如圖1,已知∠AOB=60°,請(qǐng)選擇合適的工具畫(huà)∠A′O′B′,使得∠A′O′B′=∠AOB.

圖1

引導(dǎo)學(xué)生思考畫(huà)圖工具和方法主要有:①利用含60°的三角尺,直接描出60°角;②利用量角器,并在此時(shí)總結(jié)畫(huà)一個(gè)角的主要步驟(定始邊,定標(biāo)記點(diǎn),定終邊),讓學(xué)生深刻體會(huì)準(zhǔn)確畫(huà)圖最關(guān)鍵的是定標(biāo)記點(diǎn)(不妨記作點(diǎn)D),也就是找準(zhǔn)量角器邊緣弧與角終邊的交點(diǎn)D,進(jìn)而總結(jié)出標(biāo)記點(diǎn)D的位置能確定角的大小.

在此基礎(chǔ)上,學(xué)生觀察到量角器邊緣弧與刻度線已經(jīng)有181個(gè)標(biāo)記點(diǎn),根據(jù)這些點(diǎn)的位置能畫(huà)出0°～180°的整數(shù)度的角.繼而引發(fā)思考:如果一個(gè)角度不是整數(shù),能不能繼續(xù)用量角器畫(huà)出來(lái)?

操作2 (2)如圖2,已知∠AOB(這里設(shè)計(jì)的是48.31°),你還能用量角器畫(huà)∠A′O′B′,使得∠A′O′B′=∠AOB嗎?

圖2

學(xué)生展示:先畫(huà)射線O′A′,然后用量角器量一下∠AOB,找到量角器邊緣弧與射線OB的交點(diǎn),作標(biāo)記點(diǎn)D,然后將量角器移動(dòng)過(guò)來(lái),對(duì)準(zhǔn)始邊,過(guò)這個(gè)標(biāo)記點(diǎn)畫(huà)出終邊.(學(xué)生邊說(shuō)邊畫(huà),如圖3)

圖3

師生總結(jié):此時(shí)只要找到這個(gè)標(biāo)記點(diǎn)D就能確定角的大小.當(dāng)∠AOB是整數(shù)度的角,顯然也能運(yùn)用這種作標(biāo)記點(diǎn)的方法畫(huà)出與它相等的角,故能畫(huà)出0°～180°的任意角.

設(shè)計(jì)意圖由于學(xué)生對(duì)60°角比較熟悉,可選擇的畫(huà)圖工具比較多,易于操作完成.低起點(diǎn)入手可以增強(qiáng)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的信心,也體現(xiàn)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題常從特殊到一般.同時(shí),學(xué)生通過(guò)用量角器畫(huà)60°角,明確“怎么做”,即畫(huà)出始邊(一條射線)后如何定終邊(一條射線),感受到畫(huà)角關(guān)鍵是確定終邊上的一點(diǎn).在操作1的分析之下,量角器顯然能方便畫(huà)出0°～180°內(nèi)整數(shù)度的角,但角度變?yōu)椴僮?中的任意角時(shí)怎樣準(zhǔn)確畫(huà)角?這是本節(jié)課思考的重點(diǎn)和難點(diǎn),也是由具體度數(shù)確定角的大小過(guò)渡到由點(diǎn)的位置來(lái)確定角的大小的思考.雖然此時(shí)不便于直接利用量角器的刻度線,但仍然可以確定量角器邊緣弧與角的終邊交點(diǎn).適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到利用圓規(guī)畫(huà)弧可以代替這里量角器的功能,為利用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角作鋪墊.

(2)作一個(gè)角等于已知角

引導(dǎo)學(xué)生回憶在解決“畫(huà)一個(gè)角等于已知角”的過(guò)程中,量角器大小沒(méi)有改變,刻度線也沒(méi)用到.因此可以通過(guò)PPT展示刻度線隱藏后簡(jiǎn)潔的圖形(圖4),感受沒(méi)有刻度的量角器可用來(lái)畫(huà)弧,方便確定標(biāo)記點(diǎn)D的位置.

圖4

操作2 學(xué)生通過(guò)圖4可以感受手中的圓規(guī)能替代這樣的無(wú)刻度量角器.讓學(xué)生繼續(xù)思考:如圖5,小明的量角器破損了,他說(shuō)通過(guò)上面的啟發(fā)也能用手中其他畫(huà)圖工具(三角板、圓規(guī)、直尺)畫(huà)出∠A′O′B′,使得∠A′O′B′=∠AOB.你也能解決這個(gè)問(wèn)題嗎?請(qǐng)?jiān)谕该骷埳显囈辉?透明紙上印制的量角器大小不一),組內(nèi)合作完成.

圖5 圖6

大部分學(xué)生按照畫(huà)一個(gè)角的步驟首先畫(huà)一條射線O′A′,然后記射線OA與量角器邊緣弧的交點(diǎn)為C,以O(shè)為圓心、OC為半徑畫(huà)弧,恢復(fù)量角器的半圓弧,射線OB與量角器半圓弧的交點(diǎn)為D(圖6),再以O(shè)′為圓心、OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交射線O′A′于點(diǎn)C′(圖7)．少數(shù)學(xué)生憑感覺(jué)找到圖6中標(biāo)記點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′,即用圓規(guī)截取線段CD的長(zhǎng),以C′為圓心、CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交前弧為D′,這樣就確定∠A′O′B′終邊上的標(biāo)記點(diǎn)D′,過(guò)D′畫(huà)射線O′B′(圖8).

圖7 圖8

引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考:線段CD的長(zhǎng)度到底能否控制∠AOB的大小呢?借助量角器探究:當(dāng)點(diǎn)D在量角器的外輪廓上運(yùn)動(dòng)時(shí)(圖9),∠AOB的大小與CD的長(zhǎng)度之間有什么聯(lián)系呢?(幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示)

圖9

學(xué)生通過(guò)觀察幾何畫(huà)板度量動(dòng)態(tài)過(guò)程中∠AOB的大小與線段CD的長(zhǎng)度,發(fā)現(xiàn)線段CD越長(zhǎng),∠AOB也越大;反之線段CD越短,∠AOB也越小.當(dāng)線段CD固定在某一個(gè)數(shù)值時(shí),這個(gè)角的大小也隨之確定下來(lái).

師:請(qǐng)未完成的同學(xué)按照這樣的思路,在原來(lái)的基礎(chǔ)上繼續(xù)作圖.

由于給學(xué)生們提供的透明紙上的量角器是有大有小的,筆者隨機(jī)找了3個(gè)學(xué)生畫(huà)好的圖形,將3張透明紙重合并使得3個(gè)圖形中∠A′O′B′的頂點(diǎn)與始邊重合(投影展示如圖10),發(fā)現(xiàn)不同圖形中標(biāo)記點(diǎn)D′在同一條射線上.這說(shuō)明量角器的大小不影響畫(huà)一個(gè)角等于已知角,所以可以用任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,并且不需畫(huà)整個(gè)半圓弧,畫(huà)出的弧只要能方便確定出標(biāo)記點(diǎn)的位置即可.

圖10

學(xué)生經(jīng)歷了以上的探究過(guò)程后,很容易想到用圓規(guī)代替這里大大小小的量角器.此時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)用圓規(guī)和無(wú)刻度直尺也能直接作一個(gè)角等于已知角,并總結(jié)作圖的一般步驟:

①畫(huà)射線O′A′;

②以點(diǎn)O為圓心、任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,分別交OA,OB于點(diǎn)C,D;

③以O(shè)′為圓心、OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交O′A′于點(diǎn)C′;

④以點(diǎn)C′為圓心、CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交前弧于點(diǎn)D′;

⑤過(guò)D′畫(huà)射線O′B′.

∠A′O′B′就是與∠AOB相等的角.

師:至于為什么這樣作的兩個(gè)角就相等了,由于教材內(nèi)容的安排,我們?cè)诎四昙?jí)的時(shí)候會(huì)進(jìn)行證明.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生在前面活動(dòng)的基礎(chǔ)上聯(lián)想到殘缺的量角器可以用圓規(guī)補(bǔ)全,但是此時(shí)學(xué)生操作的難點(diǎn)有兩個(gè):一是這個(gè)圖形不能移動(dòng),這會(huì)推動(dòng)學(xué)生去積極思考利用工具“造”一個(gè)量角器的外輪廓,引出“圓規(guī)”;二是如何確定終邊上的一個(gè)點(diǎn),也就是圓弧與終邊的交點(diǎn),學(xué)生突破難度較大,此時(shí)需要在教師的引導(dǎo)下,結(jié)合多媒體感受角的大小還可以通過(guò)圓上兩點(diǎn)間距離CD來(lái)控制.回頭再看整個(gè)作圖過(guò)程直接變成用直尺和圓規(guī)可以解決的作圖問(wèn)題,從而明晰可以直接利用直尺和圓規(guī)“作一個(gè)角等于已知角”.在以上的過(guò)程中深化知識(shí)之間的聯(lián)系,感受知識(shí)的生成自然,可以發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和推理能力等核心素養(yǎng).

(3)折一個(gè)角等于已知角

操作3 如圖11,你能折出∠BOC,使得∠BOC=∠AOC嗎?請(qǐng)利用手中的透明紙?jiān)囈辉?

圖11 圖12

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)用工具“畫(huà)特殊角”到用尺規(guī)“作一個(gè)角等于已知角”,再到折出“一個(gè)角等于已知角”,這是本節(jié)課學(xué)生活動(dòng)的主線.通過(guò)最后一個(gè)活動(dòng)自然地引入角平分線,同時(shí)與線段中點(diǎn)的認(rèn)知類(lèi)比,獲得角平分線的定義,并結(jié)合圖形用符號(hào)表達(dá).這樣讓學(xué)生在類(lèi)比中生成新知,在探究中生長(zhǎng)新知,從而積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),建構(gòu)了更加完整的知識(shí)體系,從學(xué)會(huì)走向會(huì)學(xué).

3 教學(xué)思考

(1)凸顯結(jié)構(gòu)框架,感受學(xué)習(xí)方法

本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)是如何讓學(xué)生主動(dòng)聯(lián)想到“用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角”.基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),本節(jié)課安排從畫(huà)特殊角60°再到一般角.學(xué)生對(duì)60°角比較熟悉,三角尺中剛好也存在這樣的特殊角,會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生一種“做做看”的心理活動(dòng),增強(qiáng)學(xué)生對(duì)學(xué)會(huì)本節(jié)課內(nèi)容的信心.對(duì)于特殊角60°學(xué)生還能想到用量角器完成,此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)利用量角器畫(huà)一個(gè)角的一般步驟,關(guān)鍵是確定終邊上的點(diǎn),給學(xué)生后面“畫(huà)一個(gè)角等于已知角”和“作一個(gè)角等于已知角”提供“怎么做”的路徑.將線段中點(diǎn)的定義類(lèi)比得到角平分線的定義,線段中點(diǎn)的符號(hào)語(yǔ)言類(lèi)比得到角平分線的符號(hào)語(yǔ)言．這樣的教學(xué)從學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中尋找“最近發(fā)展區(qū)”,學(xué)生不僅知其然而且知其所以然,課堂生成也自然不生硬.

(2)培養(yǎng)動(dòng)手操作,積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要標(biāo)志.為了讓學(xué)生始終有機(jī)會(huì)處于一個(gè)“動(dòng)”的狀態(tài)之中,本案例設(shè)計(jì)了三個(gè)操作活動(dòng):“畫(huà)一個(gè)角等于已知角”“作一個(gè)角等于已知角”“折出一個(gè)角等于已知角”.這組系列活動(dòng)學(xué)生每完成一個(gè)都必須有所思考,積累一定的認(rèn)識(shí),為下一個(gè)活動(dòng)做好準(zhǔn)備.學(xué)生在這組活動(dòng)中有操作、有體會(huì)、有想象、有發(fā)現(xiàn)、有推理,不但讓學(xué)生在活動(dòng)中感受尺規(guī)作圖的合理性,而且這三個(gè)“操作活動(dòng)”讓學(xué)生自己動(dòng)手使用量角器、三角尺、圓規(guī)和直尺等畫(huà)圖工具完成了同一個(gè)任務(wù)——“畫(huà)一個(gè)角等于已知角”,有效地增強(qiáng)了學(xué)生的動(dòng)手能力,很好地激發(fā)出初中起始年級(jí)階段學(xué)生“做數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)”的興趣,積累了基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

(3)滲透數(shù)學(xué)思想,積淀核心素養(yǎng)

從畫(huà)特殊角60°再到一般角,讓學(xué)生體會(huì)“從特殊到一般”也是我們數(shù)學(xué)研究和解決問(wèn)題中常用的思想方法.類(lèi)比線段中點(diǎn)的定義及符號(hào)語(yǔ)言得到角平分線的定義及符號(hào)語(yǔ)言,感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“套路”.這兩種數(shù)學(xué)思想在本章節(jié)的其他課時(shí)也有出現(xiàn),蘊(yùn)含數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性,也蘊(yùn)含數(shù)學(xué)的一般觀念,所以在平時(shí)教學(xué)中教師需要從一個(gè)整體的角度看待這兩種數(shù)學(xué)思想,建構(gòu)學(xué)習(xí)體系,這樣有利于提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3].

總的來(lái)說(shuō),尺規(guī)作圖教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去分析思維的起點(diǎn)與突破口,尋找樸素的適合學(xué)生思維的自然,堅(jiān)持前后一致的必然,揭示本質(zhì)貫通的超然.教給學(xué)生作法背后的“套路”,感悟“套路”背后所蘊(yùn)含最基本的思想方法,最后讓學(xué)生“想得透”,讓通性通法成為學(xué)生作圖的“家常菜”,從而真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[4].