李秦超，姚成寶，程 帥，張德志，劉文祥

（西北核技術(shù)研究所，陜西 西安 710024）

數(shù)值模擬是分析爆炸力學(xué)現(xiàn)象的重要手段之一，目前普通爆炸的數(shù)值模擬方法相對(duì)成熟[1]，計(jì)算可靠性較好。強(qiáng)爆炸數(shù)值模擬方法與普通化學(xué)爆炸數(shù)值模擬方法的主要區(qū)別體現(xiàn)在爆炸產(chǎn)物狀態(tài)方程（equation of state, EOS）上，狀態(tài)方程的準(zhǔn)確性是決定強(qiáng)爆炸數(shù)值模擬結(jié)果可靠性的關(guān)鍵。

強(qiáng)爆炸產(chǎn)物的初始狀態(tài)非常極端，參數(shù)跨度范圍特別大。目前常用的JWL、BKW 等狀態(tài)方程均是基于單一方程形式的半經(jīng)驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)公式[2]，此類狀態(tài)方程在強(qiáng)爆炸產(chǎn)物狀態(tài)參數(shù)跨度下維持適用性顯然較為勉強(qiáng)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有強(qiáng)大的非線性逼近能力，能夠處理復(fù)雜的多維、非線性問(wèn)題，因此在材料本構(gòu)模型及仿真等方面具有廣泛的應(yīng)用。1990 年，Ghaboussi 等[3]首次提出使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立復(fù)雜材料本構(gòu)模型來(lái)代替?zhèn)鹘y(tǒng)數(shù)學(xué)方程，后來(lái)學(xué)者們圍繞該課題開展了廣泛的應(yīng)用研究，例如：Sungmoon 等[4]使用自進(jìn)步神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立率相關(guān)材料本構(gòu)模型；曹吉星[5]使用遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)生成混凝土的本構(gòu)模型并進(jìn)行了有限元仿真；何龍等[6]建立了基于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高溫合金本構(gòu)模型，并能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)合金高溫流變應(yīng)力；崔浩等[7]提出了一種利用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-遺傳算法和沖擊Hugoniot 關(guān)系來(lái)確定未反應(yīng)炸藥JWL 狀態(tài)方程參數(shù)的方法。從理論上來(lái)說(shuō)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在強(qiáng)爆炸產(chǎn)物狀態(tài)方程上具有很大的應(yīng)用潛力，但目前將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于強(qiáng)爆炸產(chǎn)物狀態(tài)方程的研究極少。

本文應(yīng)用BP（back propagation）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)強(qiáng)爆炸產(chǎn)物狀態(tài)的數(shù)據(jù)庫(kù)，得到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的顯式表達(dá)，并將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)植入到爆炸沖擊波數(shù)值模擬程序中，求解與參考數(shù)據(jù)相吻合的強(qiáng)爆炸沖擊波參數(shù)，以探索將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程應(yīng)用于強(qiáng)爆炸沖擊波數(shù)值模擬的可行性。

1 基于機(jī)器學(xué)習(xí)的強(qiáng)爆炸產(chǎn)物狀態(tài)方程

1.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程

由于實(shí)際的強(qiáng)爆炸裝置材料組成較為復(fù)雜，選取合適的等效方式進(jìn)行處理能夠使問(wèn)題簡(jiǎn)化，喬登江[8]提出使用鐵蒸氣的參數(shù)進(jìn)行強(qiáng)爆炸流體動(dòng)力學(xué)的數(shù)值模擬，應(yīng)用Saha 電離平衡理論求解鐵蒸氣的狀態(tài)參數(shù)，并歸納為數(shù)值表形式的狀態(tài)方程，數(shù)值計(jì)算時(shí)通過(guò)雙線性插值的方法進(jìn)行查詢、計(jì)算，所得結(jié)果與實(shí)際比較符合。

傳統(tǒng)插值方法形式直觀，但是數(shù)據(jù)樣本無(wú)規(guī)律時(shí)，插值將極其復(fù)雜，且插值算法對(duì)數(shù)據(jù)具有一對(duì)一的針對(duì)性，無(wú)法泛化推廣。此外，插值方法需要頻繁的搜索、查詢操作，在大規(guī)模數(shù)值計(jì)算時(shí)的計(jì)算效率不高。由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在處理高維、大樣本的非線性數(shù)據(jù)庫(kù)時(shí)具有算法高效、泛化能力強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)，利用同一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，可以處理分布各異的數(shù)據(jù)樣本，且數(shù)據(jù)樣本越多，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)越精確，不存在計(jì)算效率與精度之間的對(duì)立矛盾。因此，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)對(duì)存儲(chǔ)物質(zhì)狀態(tài)參數(shù)的狀態(tài)方程數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行數(shù)據(jù)的訓(xùn)練和驅(qū)動(dòng)，將對(duì)提升狀態(tài)方程的準(zhǔn)確性和計(jì)算效率起到至關(guān)重要的作用。其中，強(qiáng)爆炸的鐵蒸氣等效神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程概念如圖1 所示，圖中p為爆炸產(chǎn)物的壓力，ρ 為產(chǎn)物的密度，e為產(chǎn)物的比內(nèi)能。

圖1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程概念Fig.1 Conceptual sketch of equation of state using neural network

1.2 狀態(tài)方程數(shù)據(jù)庫(kù)

1.2.1 芝麻數(shù)據(jù)庫(kù)

芝麻數(shù)據(jù)庫(kù)（Sesame EOS data）[9-10]，由LASL（Los Alamos Science Laboratory）研制，是比較先進(jìn)的狀態(tài)方程數(shù)據(jù)庫(kù)，其數(shù)據(jù)可以在很寬的密度和溫度范圍內(nèi)，精確地表示密度、溫度、壓力以及能量之間的函數(shù)關(guān)系，相較于解析形式狀態(tài)方程具有很強(qiáng)的普適性與先進(jìn)性。庫(kù)中包括鐵蒸氣的特性參數(shù)與EOS 數(shù)據(jù)，表1 截取了芝麻數(shù)據(jù)庫(kù)中鐵蒸氣的部分?jǐn)?shù)據(jù)，鐵蒸氣所有數(shù)據(jù)樣本中密度的最大值達(dá)到157 kT·m-3，比內(nèi)能最大值達(dá)到3 310.6 GJ·kg-1，壓力最大值達(dá)到3.371 0 × 1020Pa。

表1 芝麻數(shù)據(jù)庫(kù)中鐵蒸氣數(shù)據(jù)（部分）Table 1 Iron steam data in sesame data(part)

1.2.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理

芝麻數(shù)據(jù)庫(kù)的數(shù)據(jù)范圍廣、應(yīng)用場(chǎng)景廣，可應(yīng)對(duì)多種工況，乃至極端工況下的物質(zhì)狀態(tài)，但同時(shí)也為數(shù)據(jù)處理帶來(lái)了極大的困難。由于數(shù)據(jù)跨度極大，且數(shù)據(jù)點(diǎn)分散，數(shù)據(jù)在線性空間分布極不均勻，對(duì)后續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)提出了很大的挑戰(zhàn)。

為解決上述問(wèn)題，在數(shù)據(jù)集方面，對(duì)3 類數(shù)據(jù)變量（密度ρ、比內(nèi)能e、壓力p）進(jìn)行預(yù)處理，具體步驟如下。

(1) 對(duì)數(shù)變換—對(duì)三類變量均取對(duì)數(shù)，將線性空間內(nèi)的分布狀態(tài)轉(zhuǎn)化至對(duì)數(shù)空間。

(2) 去噪—將數(shù)據(jù)噪點(diǎn)、邊緣毛刺樣本去除，提升樣本光滑度。

(3) 歸一化—將大跨度的數(shù)據(jù)整合至[-1, 1]區(qū)間內(nèi)，提升神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)精度，采用下式對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理：

式中：為第i個(gè)未歸一化處理的值，Ki為其經(jīng)過(guò)歸一化后的值，Kmax和Kmin分別對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)集中的最大值和最小值。

預(yù)處理前后樣本分布情況具有直觀的對(duì)比。圖2(a)為以鐵蒸氣的密度、比內(nèi)能為橫軸、壓力值為縱軸的原始樣本分布散點(diǎn)圖，可以看出樣本分布極不均勻。由于縱軸壓力值的數(shù)量級(jí)跨度極大，導(dǎo)致小數(shù)量級(jí)的散點(diǎn)在視覺上產(chǎn)生聚集。圖2(b)為經(jīng)過(guò)預(yù)處理后的散點(diǎn)圖，其中 ˉρ、eˉ 和pˉ 為經(jīng)過(guò)歸一化的值。樣本曲線擬合近似線性，樣本分布均勻且光滑，在數(shù)據(jù)集上能夠滿足對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本的需求。

圖2 數(shù)據(jù)樣本散點(diǎn)圖Fig.2 Data sample scatter plot

1.3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的搭建與訓(xùn)練

1.3.1 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是經(jīng)典的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、非線性能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在提出多隱含層的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)后，成為深度學(xué)習(xí)的重要算法之一。采用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)生成狀態(tài)方程模塊，假設(shè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層數(shù)為L(zhǎng)，每一層上的節(jié)點(diǎn)數(shù)均為N，則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)結(jié)構(gòu)如圖3 所示。

圖3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)結(jié)構(gòu)Fig.3 Neural network parameter structure

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層數(shù)與節(jié)點(diǎn)數(shù)受到具體問(wèn)題與數(shù)據(jù)集的約束，一般來(lái)說(shuō)，訓(xùn)練樣本數(shù)應(yīng)為總權(quán)數(shù)的2～10 倍[11]?？筛鶕?jù)“2 倍原則”來(lái)確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理論單層最大節(jié)點(diǎn)數(shù)，本文的訓(xùn)練樣本數(shù)S= 2 202，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的總個(gè)數(shù)MW和閾值的總個(gè)數(shù)Mb以及其應(yīng)當(dāng)滿足的約束關(guān)系分別為

計(jì)算得到的理論最大節(jié)點(diǎn)數(shù)見表2。

表2 不同隱含層數(shù)量對(duì)應(yīng)的理論單層最大節(jié)點(diǎn)數(shù)Table 2 The number of the maximum nodes of single layer

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)是誤差反向傳播，訓(xùn)練步驟主要分為4 步：(1) 信息正向傳播，計(jì)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)前向傳播值；(2) 誤差逆向傳播，計(jì)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差函數(shù)的反向傳播值；(3) 更新權(quán)值閾值，該過(guò)程使用近似的梯度下降法；(4) 重復(fù)以上三步，交替進(jìn)行正向傳播與逆向傳播，不斷對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值與閾值進(jìn)行更新，當(dāng)達(dá)到設(shè)定目標(biāo)時(shí)，訓(xùn)練終止。本文在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程訓(xùn)練過(guò)程中選用的誤差函數(shù)為均方誤差（mean squared error,MSE），神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程建立過(guò)程的主要步驟如圖4 所示，圖中上方虛線框內(nèi)為訓(xùn)練集生成和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始化過(guò)程，下方虛線框內(nèi)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程。

圖4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程建立過(guò)程Fig.4 Establishment process of equation of state using neural network

1.3.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)優(yōu)化

結(jié)構(gòu)優(yōu)化的最終的目的是選取均方誤差較小且結(jié)構(gòu)較簡(jiǎn)單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而提升該狀態(tài)方程模型的計(jì)算精度和效率，最終提升后續(xù)數(shù)值模擬的計(jì)算精度和效率。依據(jù)圖4 中的流程，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始化階段設(shè)置不同的L和N，對(duì)比測(cè)試其訓(xùn)練完成后的MSE 大小，值越小則擬合精度越高，則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合誤差參量可定義為MSE 的大小。由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值閾值的隨機(jī)性，同一種結(jié)構(gòu)的測(cè)試結(jié)果也不盡相同，為避免偶然性，對(duì)每種結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行6 次測(cè)試，去除MSE 最大值和最小值后剩余4 個(gè)值作為有效結(jié)果，分別記為δ1、δ2、δ3、δ4，將δ1、δ2、δ3、δ4的平均值記為δ，見表3，其中最大節(jié)點(diǎn)數(shù)的選取參考表2。

表3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)測(cè)試均方誤差Table 3 Mean squared error of different Neural network structure

當(dāng)實(shí)際節(jié)點(diǎn)數(shù)量達(dá)到理論單層最大節(jié)點(diǎn)數(shù)時(shí)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可能出現(xiàn)誤差放大，也可能出現(xiàn)輸出精度的跳躍，即同一種結(jié)構(gòu)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)多次訓(xùn)練結(jié)果差異較大，這反映了該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過(guò)程不夠穩(wěn)定。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)誤差差距不大的情況下，優(yōu)先選擇結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單、權(quán)值數(shù)量更少的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。表中共有5 種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的平均預(yù)測(cè)均方誤差小于1.2×10-5，其中4 層10 節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，因此選擇該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖5 所示。

圖5 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.5 Neural network structure

該模型在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程中均方誤差大小δ 隨迭代次數(shù)n的變化如圖6 所示，藍(lán)色實(shí)線為訓(xùn)練集表現(xiàn)，綠色實(shí)線為驗(yàn)證集表現(xiàn)，紅色實(shí)線為測(cè)試集表現(xiàn)，在迭代至323 步時(shí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)獲得最優(yōu)驗(yàn)證集表現(xiàn)并且在圖中采用虛線及圓圈對(duì)其進(jìn)行了標(biāo)識(shí)。迭代過(guò)程中誤差曲線下降較為平滑，表明訓(xùn)練過(guò)程穩(wěn)定收斂。

圖6 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練表現(xiàn)Fig.6 Neural network training performance

由此已經(jīng)獲得了能夠預(yù)測(cè)強(qiáng)爆炸產(chǎn)物壓力值的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程模型，其具有4 個(gè)隱含層，每個(gè)隱含層均具有10 個(gè)神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)，下面將繼續(xù)介紹如何應(yīng)用該模型進(jìn)行準(zhǔn)確性驗(yàn)證。

2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與數(shù)值計(jì)算的融合

由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)“黑箱”般的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，必然導(dǎo)致神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程模型具有較為繁雜的運(yùn)算過(guò)程和參數(shù)組成。本節(jié)將通過(guò)分析神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的算法結(jié)構(gòu)，給出其具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式和參數(shù)，為將其植入數(shù)值計(jì)算程序提供依據(jù)，并簡(jiǎn)要介紹了所采用的數(shù)值計(jì)算方法。

2.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的顯式表達(dá)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的整體運(yùn)算結(jié)構(gòu)見圖7，圖中首尾正方形代表輸入輸出，矩形代表層結(jié)構(gòu)，其中Layer 5 為輸出層，其余為4 個(gè)隱含層，圓圈代表各層之間的數(shù)據(jù)交互，a代表前向傳播的數(shù)據(jù)（即中間變量），是層與層的中間變量，右上角括號(hào)內(nèi)數(shù)字代表神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層數(shù)。圖8 為第i個(gè)層結(jié)構(gòu)的內(nèi)部運(yùn)算結(jié)構(gòu)，其中W代表權(quán)值，b代表閾值，f為激活函數(shù)，其余隱含層的結(jié)構(gòu)也是類似的。

圖7 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整體運(yùn)算結(jié)構(gòu)Fig.7 The overall operational structure of neural network

圖8 中f代表的激活函數(shù)包括線性函數(shù)（y=x）和雙曲正切函數(shù)（y=tanhx）等，其中x為函數(shù)輸入，y為函數(shù)輸出。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)算參數(shù)組成如表4所示，其中，各數(shù)值僅代表參數(shù)數(shù)量，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)“10×2”代表10 行2 列的矩陣，該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有330 個(gè)權(quán)值，以及41 個(gè)閾值，一共371 個(gè)參數(shù)值。

表4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)組成Table 4 Neural network parameter composition

在第i個(gè)隱含層，信息向前傳遞的方式為：

根據(jù)式(5)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程p=fn(ρ,e) 可由如下步驟的表達(dá)式表示：

式中：第1 步為輸入值的對(duì)數(shù)變換及歸一化，第2～5 步為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層計(jì)算，第6 步為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出層計(jì)算，第7 步為輸出值的反歸一化和反對(duì)數(shù)變換；密度ρ、比內(nèi)能e為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入；壓力p為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出，p為歸一化的壓力值；a為中間變量矩陣，由每步計(jì)算得出；右上角括號(hào)內(nèi)數(shù)字代表神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層數(shù)，例如W(1)代表神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)第一隱含層的權(quán)值矩陣；系數(shù)k、c為歸一化（或反歸一化）系數(shù)。至此，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程模型的運(yùn)算表達(dá)式已經(jīng)得到完整描述，其歸一化系數(shù)kρ= 0.135 542，ke= 0.091 564 7，kp=14.702 6，cρ= -0.621 631，ce= 0.047 042 8，cp= 7.235 89，權(quán)值矩陣和閾值矩陣參數(shù)數(shù)量龐大，此處不再贅述。

2.2 數(shù)值計(jì)算

根據(jù)預(yù)處理數(shù)據(jù)集優(yōu)化后的數(shù)據(jù)范圍，以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)際測(cè)試效果，結(jié)合實(shí)際工況應(yīng)用需求，確定了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的應(yīng)用范圍，即密度大于等于61.33 kg·m-3，比內(nèi)能大于等于20 MJ·kg-1。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程應(yīng)用的工況范圍對(duì)應(yīng)于強(qiáng)爆炸前期距爆心較近的核心區(qū)域的強(qiáng)爆炸產(chǎn)物，具有較高的密度與比內(nèi)能，其余工況對(duì)應(yīng)于常規(guī)區(qū)域內(nèi)壓力處于常規(guī)范圍的爆炸產(chǎn)物，此時(shí)使用經(jīng)典的理想氣體狀態(tài)方程即可，具體見下式：

式中：γ = 1.4 為理想氣體絕熱指數(shù)。數(shù)值計(jì)算過(guò)程中對(duì)爆炸產(chǎn)物的壓力計(jì)算方法依據(jù)上式進(jìn)行。

爆炸沖擊波數(shù)值模擬的控制方程采用一維球?qū)ΨQ形式的Euler 方程組：

式中：u為速度；r為距離；E為單位體積的總能量，且滿足E=ρe+ρu2/2。

采用有限體積方法對(duì)式(8)進(jìn)行數(shù)值離散，其中空間方向利用local Lax-Friedrich 數(shù)值通量函數(shù)來(lái)計(jì)算單元邊界上的數(shù)值通量，時(shí)間方向采用向前Euler 方法進(jìn)行數(shù)值離散。詳細(xì)的數(shù)值求解過(guò)程請(qǐng)參考文獻(xiàn)[12]，此處不再贅述。

3 數(shù)值算例與驗(yàn)證

3.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)驗(yàn)證

對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出性能的評(píng)價(jià)，主要從輸出的相對(duì)誤差大小、是否過(guò)擬合等方面判斷。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)訓(xùn)練集的輸出誤差小，說(shuō)明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)精準(zhǔn)，很好地發(fā)揮了擬合作用；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)未知的測(cè)試集也有良好的精度，說(shuō)明未發(fā)生過(guò)擬合，泛化性能優(yōu)秀。

3.1.1 預(yù)測(cè)精度

對(duì)訓(xùn)練集進(jìn)行驗(yàn)證，訓(xùn)練集由滿足2.2 節(jié)中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程應(yīng)用范圍內(nèi)的訓(xùn)練樣本組成。圖9 對(duì)比了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)輸出與原始樣本，可直觀地看出，幾乎所有代表預(yù)測(cè)值的點(diǎn)均精準(zhǔn)地落在了代表原始樣本點(diǎn)的空心圓之中。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)訓(xùn)練集的輸出相對(duì)誤差隨輸入變量的分布見圖10，擬合的最大相對(duì)誤差為10.89%，最小相對(duì)誤差為0.000 97%，平均相對(duì)誤差為0.75%，計(jì)算結(jié)果表明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)訓(xùn)練集的表現(xiàn)良好。

圖9 訓(xùn)練集檢測(cè)擬合精度Fig.9 Fitting accuracy of training set

圖10 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)壓力輸出相對(duì)誤差Fig.10 Relative error of pressure output value of neural network

3.1.2 過(guò)擬合檢測(cè)

將訓(xùn)練集插值處理形成測(cè)試集，測(cè)試集更加密集，包含神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)未學(xué)習(xí)訓(xùn)練過(guò)的數(shù)據(jù)。測(cè)試結(jié)果如圖11 所示，點(diǎn)代表測(cè)試輸出，三角形代表原始樣本，較密集的測(cè)試輸出平滑地鑲嵌于較稀疏的原始樣本間，沒有產(chǎn)生明顯的波動(dòng)與偏離，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)測(cè)試集的表現(xiàn)良好，未發(fā)生過(guò)擬合現(xiàn)象。

3.2 數(shù)值算例

3.2.1 初始工況

一般情況下，爆炸裝置的實(shí)際物理結(jié)構(gòu)為球形結(jié)構(gòu)，球體半徑大小變化不大，而質(zhì)量會(huì)隨當(dāng)量發(fā)生變化，選取強(qiáng)爆炸當(dāng)量為15 kt TNT，參考相關(guān)文獻(xiàn)[13-15]大致確定其初始質(zhì)量與初始半徑，進(jìn)一步換算得到爆炸產(chǎn)物的初始密度與初始比內(nèi)能。爆炸裝置的具體初始參數(shù)見表5。

表5 裝置初始參數(shù)Table 5 Initial device parameter

計(jì)算表中裝置起爆后產(chǎn)生的強(qiáng)爆炸沖擊波參數(shù)。計(jì)算的物理時(shí)間為0.5 s，物理空間為410 m，假設(shè)爆炸在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下的空中自由場(chǎng)中發(fā)生，忽略所有障礙物與地面。

3.2.2 結(jié)果分析

在時(shí)間t為爆后166 ms 時(shí)爆炸流場(chǎng)隨爆心距r的分布如圖12 所示，在離爆心距離r為100 m 的位置處沖擊波參數(shù)隨時(shí)間t變化的曲線如圖13 所示。

圖12 爆后166 ms 爆炸流場(chǎng)分布Fig.12 Explosive flow field distribution at 166 ms after the explosion

圖13 爆炸流場(chǎng)歷程曲線Fig.13 Explosive flow field history curve

以比距離為橫坐標(biāo)，分別對(duì)峰值超壓、沖擊波到時(shí)的計(jì)算值進(jìn)行驗(yàn)證，參考值來(lái)自相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式[16]，結(jié)果如圖14 所示。可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與參考值曲線符合較好，部分觀察點(diǎn)極為接近。選取不同爆心距的4 個(gè)點(diǎn)位，計(jì)算其數(shù)值計(jì)算與標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果的相對(duì)誤差，結(jié)果見表6。爆心距大于200 m 后的峰值超壓計(jì)算值偏大，但是總體來(lái)看，數(shù)值計(jì)算的相對(duì)誤差大多數(shù)能控制在15%以下。

表6 數(shù)值計(jì)算誤差Table 6 Error of numerical simulation

圖14 數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.14 Comparison of numerical results

4 結(jié) 語(yǔ)

強(qiáng)爆炸產(chǎn)物的狀態(tài)方程是非線性模型，其參數(shù)范圍跨度大、非線性程度高，狀態(tài)方程數(shù)據(jù)庫(kù)中的熱力學(xué)數(shù)據(jù)能夠較為準(zhǔn)確地描述產(chǎn)物的熱力學(xué)狀態(tài)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有強(qiáng)大的非線性擬合能力，基于大量的熱力學(xué)數(shù)據(jù)，能夠建立起復(fù)雜的映射關(guān)系從而表征強(qiáng)爆炸產(chǎn)物的狀態(tài)方程關(guān)系。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程模型具有擬合精度高、未過(guò)擬合、可快速調(diào)用的優(yōu)點(diǎn)，可以作為狀態(tài)方程的優(yōu)化方案從而取代傳統(tǒng)狀態(tài)方程，應(yīng)用于數(shù)值模擬程序之中?，F(xiàn)有的計(jì)算結(jié)果表明，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程計(jì)算獲得的強(qiáng)爆炸沖擊波結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果的一致性較好，該方法具有一定的應(yīng)用價(jià)值。