孟占峰，高珊，盛瑞卿

北京空間飛行器總體設計部，北京 100094

嫦娥五號任務完成了國際上首次月球軌道無人交會對接。其導引方案與以往空間交會任務并不相同，具有鮮明的中國特色和中國智慧。為了最大限度地提供故障應急處置能力，確保任務穩(wěn)妥可靠實施，嫦娥五號制定了遠程導引各次變軌過程全程測控可見的設計原則。而月球背面天然遮擋造成環(huán)月軌道每圈都有約1/3 的時間測控站不可見。在月球測控弧段受限條件下，既要滿足變軌全程可見又要兼顧變軌過程能量較優(yōu)，這是以往空間交會任務從未面臨過的全新挑戰(zhàn)。

已有學者對交會導引策略設計開展了大量的研究工作，主要包括理論研究和工程設計2 個方向。理論研究學者將交會導引策略設計問題轉化為燃料最優(yōu)的控制問題，采用理論最優(yōu)和數值優(yōu)化方法進行求解。這主要包括：Prussing 等［1-3］研究了不同邊界條件和不同脈沖數量下的圓軌道最優(yōu)能量交會問題；Carter 和Humi［4-6］采用理論簡化模型系統(tǒng)地研究了圓軌道的無攝動條件下的燃料最優(yōu)交會問題。Chen 和Xie［7］研究了共面的橢圓軌道到圓軌道的最優(yōu)脈沖轉移問題。他們研究的結果可以獲得速度增量的理論最小值，對工程方案確定速度增量需求的下確界有理論指導意義。

Luo 等［8-12］則采用數值優(yōu)化方法對相同的多圈多脈沖交會問題進行了系統(tǒng)的研究，將交會問題轉化為數值優(yōu)化問題進行求解。另外，周軍和常燕［13］考慮地球J2項扁率的影響用非線性規(guī)劃方法求解了多脈沖異面橢圓軌道的最優(yōu)交會問題；Arzelier 等［14］用多項式優(yōu)化算法求解線性脈沖最優(yōu)交會問題。

國外工程任務的交會策略設計主要集中在美國和俄羅斯，分為兩大類：第1 類是以美國航天飛機交會策略為代表的特殊點變軌方案，其平面內的變軌位置均在遠地點或近地點，平面外的軌道參數采用獨立的脈沖進行控制［15］；第2 類是以俄羅斯聯盟號飛船為代表的綜合變軌策略，其每次變軌均包括平面內和平面外的2 個分量，可同時修正面內和面外的軌道參數，變軌位置也不固定，從而達到與變軌速度增量聯合優(yōu)化的目的。Baranov［16］以聯盟飛船交會任務為背景，提出了近圓軌道偏差方程，其將非線性相對運動學方程在參考圓軌道附近進行線性化，獲得了變軌速度增量與軌道要素偏差的線性關系，對綜合變軌策略進行求解。該方法由于物理概念清楚，可以靈活安排變軌位置，因而得到了廣泛的應用。

中國工程任務的交會策略研究主要在載人航天工程第2 步第1 階段交會對接任務牽引下開展。該階段的任務目標是：發(fā)射天宮一號（TG-1）目標飛行器， 發(fā)射神舟八號（SZ-8）、神舟九號（SZ-9）和神舟十號（SZ-10）飛船，通過3 次交會對接飛行試驗， 突破和基本掌握航天器交會對接技術［17］。相關學者圍繞這一任務開展了大量的工程實踐研究：王忠貴［17］系統(tǒng)設計了中國首次空間交會對接遠距離導引方案，并給出了飛行驗證結果；李革非等［18］給出了神舟八號到神舟十號飛控實施階段的交會對接遠程導引軌道控制方案；胡軍等［19］給出了神舟八號飛船交會對接制導、導航與控制（Guidance， Navigation， and Control， GNC）系統(tǒng)的設計以及飛行驗證情況；解永春等［20］系統(tǒng)總結了神舟飛船GNC 系統(tǒng)交會對接自動控制系統(tǒng)設計的相關內容，并給出了在軌驗證結果。載人航天工程第2 步第1 階段的交會對接任務突破了地球軌道的交會對接技術，大量的技術成果已被成功應用于月球軌道交會對接任務中，為中國成功實施嫦娥五號月球軌道交會對接奠定了堅實基礎。

通過以上調研可以發(fā)現，現有的研究大多數以地球軌道為目標，僅有少數對月球軌道交會進行研究，但其也未考慮實際月球軌道測控弧段的約束。而且現有的算法的計算模型都是以變軌點時刻為設計變量，變軌點的位置無法直接約束。另一方面，以往研究雖然獲得了數值上的最優(yōu)解，但通常只是數值意義上的某個特定解，大量滿足要求的次優(yōu)解及其分布規(guī)律并未揭示，這對于必須考慮參數可行變化范圍包絡的工程任務并不能直接采用。

以嫦娥五號月球軌道交會工程任務設計為背景，在中國載人航天地球軌道交會對接技術的基礎上，本文的主要貢獻如下：

1）建模。針對現有以變軌點時刻為設計變量的模型無法直接約束變軌點角位置的問題，建立了以變軌點緯度俯角和月心軌道坐標系（Radia Tangenial Normal， RTN）速度增量3 個分量為設計變量的交會導引求解模型。通過引入徑向變軌控制量，提出了一種新的四脈沖交會策略，約束各次變軌點的緯度幅角，從而滿足測控條件的要求。

2）求解。針對變軌點緯度幅角約束下的新交會導引模型，采用近圓軌道偏差方程推導了一種新的迭代計算方法，解決了傳統(tǒng)方法初值猜測難收斂的問題。構造了以緯度幅角為變量的微分修正的精確數值求解算法，并推導了問題相應的狀態(tài)轉移矩陣的解析表達形式。

3）優(yōu)化。將測控約束轉化成變軌點緯度幅角的邊界約束條件，將總速度增量作為優(yōu)化變量進行求解，構建了問題的優(yōu)化求解模型，并揭示了變軌點位置約束條件下，交會問題最優(yōu)解的全局特性。

4）應用。在中國首次月球軌道交會對接任務中應用了本文的方法，通過嫦娥五號實際工程任務實施，驗證了本文設計方案的正確性和有效性。

1 嫦娥五號交會任務概述

1.1 嫦娥五號交會導引過程

嫦娥五號交會導引是一種典型的雙交會過程。雙交會是指目標航天器和追蹤航天器分別通過軌道調整，在規(guī)定的時間到達規(guī)定的目標軌道狀態(tài)，以滿足自主控制段的相對關系。雙交會方案可以在追蹤航天器實施導引前將目標航天器的軌道形狀和相位提前調整到位，從而標準化追蹤航天器交會過程的飛行時序，進而更好地滿足變軌過程測控條件，并創(chuàng)造自主控制初始條件。由于雙交會方案的以上優(yōu)點，其在中國載人航天領域得到了廣泛的應用［17］。

嫦娥五號任務的交會包括上升器遠程導引過程和軌返組合體器調相2 個過程。上升器遠程導引過程從上升器進入月面上升目標軌道開始，至上升器到達近程自主控制的初始瞄準點為止。上升器遠程導引持續(xù)約2 d，期間通過4 次變軌，將上升器導引到軌返組合體前方50 km 左右、上方10 km 左右的高度210 km 的環(huán)月圓軌道指定位置。軌返組合體調相過程從著陸器環(huán)月降軌開始，至上升器月面起飛前為止。軌返組合體調相持續(xù)約2 d 時間，共執(zhí)行4 次變軌，目的是保證軌返組合體在交班點時刻到達軌道高度為200 km 環(huán)月圓軌道的預定相位。

在上升器和軌返組合體到達交班點后，軌返組合體將作為主動航天器完成后續(xù)自主控制、對接和樣品轉移過程。嫦娥五號月球軌道交會過程如圖1 所示。圖中，E0和E*f分別表示上升器入軌點和交班點的軌道要素；Δv1T為上升器遠程導引第1 次變軌的切向分量；Δv2N為上升器遠程導引第2 次變軌的法向分量；Δv3T為上升器遠程導引第3 次變軌的切向分量；Δv4R和Δv4T為上升器遠程導引第4 次變軌的徑向分量和切向分量。

圖1 嫦娥五號月球軌道交會過程示意圖Fig.1 Rendezvous profile of Chang’e 5 mission

由于軌返組合體調相從設計模型和方法上與上升器遠程導引類似，限于篇幅，本文僅對上升器遠程導引進行介紹。

1.2 工程任務設計約束

嫦娥五號上升器遠程導引策略工程設計時需要滿足如下要求：

1）交會時間要求。過長的交會時間不利于整個飛行任務的安排。在保證測控條件約束下，應盡快完成交會任務，嫦娥五號任務要求在2 d左右的時間完成月球軌道交會，整個交會任務時間最長不能超過3 d。

2）測控要求。在變軌過程中，地面測控站需要保證變軌全過程（含變軌前調姿過程）對上升器進行跟蹤測軌、遙控遙測和數據通訊；在每次變軌前，需要確保至少2 圈的測軌弧段和1 圈的策略注入弧段。

3）入軌點參數要求。入軌點是交會遠程導引的初始狀態(tài)。入軌點近月點高度需要確保上升器入軌后可安全運行1 圈以上并兼顧考慮上升器入軌能量的最優(yōu)；遠月點高度需要考慮入軌安全性和后續(xù)遠程導引策略最優(yōu)。為了留有更多的測控弧段用于入軌后的測軌，入軌時刻安排在中國雙站共視弧段進站后5 min。

4）初始瞄準點參數要求。初始瞄準點（Initial aim point），又稱為交班點，是交會遠程導引的終端目標，也是交會近程自主控制的起始點，是遠程導引與近程自主控制的接口和界面。為了給自主控制段創(chuàng)造良好的條件，在初始瞄準點時刻，上升器和軌返組合體均為圓軌道且共面飛行。由于是首次月球軌道交會對接任務，嫦娥五號選擇了較為容易實現的負V-bar 交會策略，即：作為主動追蹤器的軌返組合體在交班點需要略低于上升器幾千米到十幾千米，并在上升器的后下方幾十到上百千米的距離，以保證相對測量設備良好的測量條件。交班點時刻的安排需要綜合考慮交班點的測控要求以及后續(xù)自主控制段的測控要求，還要保證在誤差條件下交班點的測控依然滿足要求。

1.2.1 ～1.2.3 節(jié)將對各個約束條件進行詳細討論。

1.2.1 測控約束條件

對于變軌點的測控約束是通過設計變軌點的圈次和緯度幅角來滿足的，通過圈次設計可以滿足每次變軌前的測定軌弧段要求和注入弧段要求；通過緯度幅角設計可以滿足變軌全過程測控可見的要求。而緯度幅角設計是與交會策略求解耦合的，這將在5.4 節(jié)進行介紹，這里僅給出變軌點圈次的設計考慮。

變軌點的圈次設計主要考慮：各次測定軌精度對測控弧段的需求，以及用于變軌前注入數據的測控站安排，這需要與定軌精度分析工作和飛行時序安排工作反復迭代最終確定。與文獻［8-11］中將其作為設計變量進行優(yōu)化不同，在嫦娥五號軌道設計時，通常不將其作為任務規(guī)劃的設計變量進行迭代，而是根據各方的協調匹配的結果提前確定。嫦娥五號任務確定的從發(fā)射入軌到交班點的圈次安排如表1 所示。

從表1 可以看出，嫦娥五號交會任務在25 圈完成，整個任務時長約50 h，滿足“在2 d 左右的時間完成，整個交會任務時間最長不能超過3 d”的任務要求。安排的圈次可以保證每次變軌前至少有2圈定軌弧段和1圈注入弧段的要求。

表1 圈次安排Table 1 Schedule of maneuvers

1.2.2 入軌軌道參數

上升器從月面起飛后的入軌點是交會過程的起始點，入軌點參數主要由確定軌道形狀的近月點高度、遠月點高度、入軌時刻3 部分組成。

1） 近月點和遠月點高度的確定

近月點高度的確定主要考慮上升器入軌安全性，根據月面地形分析結果及軌道演化情況，最終將近月點高度確定為15 km。

遠月點高度的確定主要考慮上升器入軌偏差以及入軌后的變軌策略最優(yōu)。為了避免交會對接過程中出現減速脈沖，在誤差條件下遠月點必須低于200 km 的目標器環(huán)月軌道高度。為了確定誤差條件下的遠月點高度范圍，GNC 系統(tǒng)考慮了的月面初始對準偏差、上升過程中的慣導累積偏差、以及發(fā)動機推力大小、比沖和安裝偏差等因素進行了打靶仿真。結果表明，上升器入軌后的遠月點高度變化范圍為±19 km。因此，遠月點高度確定為180 km。

2） 入軌時刻的確定

入軌時刻主要決定了初始非公面度和初始相位差。分析表明，僅存在唯一的圈次可以保證入軌非共面度為零，因此月面上升理論上是“零窗口”。標稱入軌時刻是根據下降和起飛共面的要求設計得到的，具體如圖2 所示。

圖2 月面上升時刻采樣點與軌道面相對關系示意圖Fig.2 Geometric relation between sample area and orbit plane

為了給上升器入軌后保留盡可能多的測控弧段用于定軌，上升器的起飛時刻被安排在起飛當天進入中國首個深空站共視弧段后5 min 實施，根據測控弧段分析結果，可以確定出起飛的絕對時刻。入軌點緯度幅角可以根據動力上升的航程和上升時刻采樣點與軌道面的相對幾何關系確定，嫦娥五號任務的計算結果為108.7°。入軌點的傾角和升交點赤經根據入軌時刻上升器與軌返組合體的軌道非共面度最小的條件進行確定。

1.2.3 初始瞄準點參數

初始瞄準點的確定包括瞄準點時刻和瞄準點參數2 部分。瞄準點時刻主要由瞄準點相對測控弧段的角位置決定；瞄準點參數包括軌返組合體和上升器2 部分內容：軌返組合體的瞄準點參數是根據近程自主控制的要求確定，主要考慮的是近程自主控制過程與測控弧段的匹配要求；而上升器的瞄準點參數設計是根據軌返組合體瞄準點參數和二者相對位置關系決定。

1） 軌返組合體瞄準點參數確定

近程導引需要對2 個探測器同時進行測控，因此需要安排在2 個深空站同時可見的弧段內。設計結果表明近程導引過程需要210 min 的時間，因此需要安排在3 個連續(xù)測控弧段內。另外，對接后完成樣品轉移需要20 min 時間，且還需要預留用于處理對接過程和樣品轉移故障的時間，這對瞄準點的設計提出了很多限制。

另一方面，瞄準點設計不但要考慮標稱情況，還要考慮誤差條件下的包絡情況滿足任務要求。這就要求瞄準點在一定范圍內滑動后，各項約束條件依然滿足。

圖3 給出了標稱近程自主控制段的飛行時序設計結果。其中，T表示首個測控弧段的開始時刻，T+83 min 表示第1 個測控弧段結束時刻，T+256 min 表示第3 個測控弧段開始時刻；Taim表示交班點時刻，Taim+192 min 表示出100 m 停泊點的時刻。為了確保100 m 停泊點在測控弧段內，需要確保：Taim+185 min ＞T+256 min，可以求得Taim＞T+64 min?？紤]到交班點必須在第1 個測控弧段內，因此Taim＜T+83 min。因此，初始瞄準點的可行范圍為

圖3 近程自主控制段飛行時序Fig.3 Profile of close range rendezvous phase

根據誤差打靶仿真結果，初始瞄準點切向有±6.4 km 的變化范圍，對應的到達初始瞄準點的時刻有±9 min 的變化范圍。將初始瞄準點確定為T+74 min，也就是出第1 個測控弧段前9 min，能夠確保初始瞄準點在±9 min 范圍內漂移的情況下的測控可見，滿足任務設計要求。

根據測控弧段分析結果可以確定出其對應的絕對時刻以及對應的緯度幅角。嫦娥五號任務的具體的計算結果為108.7°。再加上200 km的圓軌道、軌道外推后得到的升交點赤經和軌道傾角等參數，就可以完全確定瞄準點軌返組合體的目標軌道參數。

2） 上升器瞄準點參數確定

上升器瞄準點時刻與軌返組合體瞄準點時刻相同，軌道參數根據上升器與軌返組合體的相對參數導出。與以往交會任務不同，嫦娥五號上升器在交會段作為主動航天器，而在自主控制段又轉變?yōu)楸粍雍教炱?，因此，上升器的目標瞄準點不是在傳統(tǒng)方案的共面后下方，而是在與軌返組合體共面的前上方。這主要是受整個系統(tǒng)重量限制，將交會對接的主動測量、控制和對接機構放在了軌道器上，減少不必要的重量落到月面后再回到環(huán)月軌道。這也是嫦娥五號無人月球軌道交會方案的一個重要創(chuàng)新點，為整個探測器系統(tǒng)方案優(yōu)化做出了重大貢獻。

上升器與軌返組合體在瞄準點時需要共面且共圓。因此采用平面內的高度差和距離差2 個參數來描述二者的相對位置關系。高度差主要是考慮近程自主控制的相位調整能力（時間調整能力）以及瞄準點的高度控制精度。距離差主要是根據近程自主控制相對導航設備的捕獲能力決定的。經過仿真分析，最終確定的相對高度差為10 km，相對距離為50 km。

因此，上升器的目標瞄準點在與軌返組合體共面的210 km 高的圓軌道上，在軌返組合體的前上方50 km。圖4 給出了瞄準點的兩器相對位置關系。

圖4 瞄準點兩器相對位置示意圖Fig.4 Relative position of two vehicles at aim point

2 坐標系定義

2.1 月心J2000.0 坐標系（MCI）

月心J2000.0 坐標系（Moon Center Inertial，MCI）的原點在月心，坐標系的X、Y、Z三軸與地心J2000.0 平赤道平春分點坐標系平行。

2.2 月心平赤道慣性坐標系（MCE）

由于月心J2000.0 坐標系的XY平面是與地球赤道面相關的參考平面，在描述環(huán)月軌道參數時，軌道參數的物理不明確，因此參考地心J2000.0 與地球赤道面的關系，定義如下月心赤道 慣 性 坐 標 系（Moon-Centered Equatorial， MCE）：該坐標系與J2000.0 時刻IAU月心平赤道固連系XY基本平面重合，x軸指向基本面與J2000 系XY面的交線，y軸由右手定則決定。根據DE421 星 歷 表［21］，可 以 查 得J2000.0 時 刻MCI 系到MCF 系的Euler3-1-3 轉序對應的轉角為(αJ2000.0，βJ2000.0，γJ2000.0)，則MCI 系到MCE 坐標系的轉換矩陣可以寫為

不難看出，RMCEMCI是一個常值坐標轉換矩陣。由于MCE 坐標系可以表征環(huán)月軌道傾角的真實物理意義，因此在嫦娥五號月球軌道交會任務中，用于軌道計算的慣性坐標系統(tǒng)一采用MCE坐標系。

2.3 月心軌道坐標系（RTN）

根據位置和速度(r，v)，可以求得對應的月心軌道坐標系坐標系到慣性坐標系的方向余弦陣為

式中：位置方向（R 方向）的單位矢量為?=r|r|；速度方向單位矢量為?=v|v|；軌道面法線方向（N 方向）單位矢量為T 方 向為切向方向，單位矢量為

3 交會問題描述

采用脈沖模型建立多圈多脈沖的交會導引策略。設初始狀態(tài)的下標為0，終端瞄準點（交班點）狀態(tài)的下標為f，各次變軌點的下標為i（i=1，2，…，n）。記第i次變軌前后的位置速度分別為和；變軌的速度增量為，Δvi在RTN 坐標系下的分量分別記為ΔviR、ΔviT和ΔviN。各次變軌點所在的圈次為Ni（i=1，2，…，n），初始狀態(tài)所在的圈次記為N0，瞄準狀態(tài)所在的圈次記為Nf，變軌點的緯度幅角為ui。初始狀態(tài)為X0=(r0，v0)，對應的絕對時刻為T0，目標瞄準狀態(tài)為Xf*=(r*f，v*f)，對應的絕對時刻為Tf。

交會導引問題可以描述成如下非線性方程組解的問題：在給定X0、T0、Tf、Ni給定的條件下，在[ΔviR，ΔviT，ΔviN，ui]（i=1，2，…，n）中選出p個設計變量矢量Cp×1，在X*f中選出q個目標瞄準變量Dq×1，組成如式（4）所示非線性方程組：

求解方程組的根Pp×1稱為交會導引策略求解。

交會問題的瞄準變量Dq×1一般為交班點時刻的6 個軌道要素。為了避免偏心率為0 的情況下，定義近圓軌道要素E為

式中：a為半長軸；i為軌道傾角；Ω為升交點赤經；ω為近月點幅角；θ為真近點角；u為緯度幅角u=ω+θ；ex和ey為偏心率矢量e在軌道平面內的分量，分別可以表達為ex= ||ecosω，ey= ||esinω。

近圓軌道要素E與狀態(tài)矢量X有唯一的相互轉換關系，X0和Xf可以分別轉換為初始和終端軌道要素E0和Ef。

4 交會方案設計

目前國際上已有的交會任務方案分為兩大類：一是多圈多脈沖交會；二是快速交會。由于月球軌道上沒有地球軌道上的導航星座進行自主定軌，受重量功耗限制上升器上無法配置作用距離上千千米的相對導航雷達，因此嫦娥五號任務選擇了2 d 的多圈多脈沖方案實施月球軌道交會任務，從而增加個測控時長并保留相對大的誤差修正和相位調整能力，這對于首次實施月球軌道交會的嫦娥五號是相對最優(yōu)的方案。參考我國神舟飛船的五脈沖交會導引策略，考慮測控弧段數量緊張，將第5 個綜合修正脈沖去掉后，從而構成了一種最常采用的四脈沖交會導引策略。如表2 所示。

表2 傳統(tǒng)四脈沖交會導引策略Table 2 Classical 4-impulse rendezvous guidance law

該方案雖然已經約束了第1 次和第3 次的變軌點緯度幅角位置，但由于該方案第4 個脈沖的緯度幅角u4為設計變量，變軌點的測控條件無法保證，這不能滿足嫦娥五號任務的要求。因此，需要約束各次變軌點位置以保證變軌全過程的測控條件。針對這一要求，本文提出一種新的四脈沖交會策略，將第4 次變軌點緯度幅角固定，并引入徑向變軌控制量，通過約束各次變軌點的緯度幅角達到滿足測控條件的要求，具體的策略如表3 所示。

表3 變軌點緯度幅角指定的新四脈沖交會導引策略Table 3 New 4-impulse rendezvous guidance law with angular position constraint of maneuvers

與表2 方案相比，第4 次的變軌設計變量由緯度幅角u4變?yōu)閺较蚍至喀4R，從而將第1、3 和4 次變軌的緯度幅角均固定下來，進而通過對變軌點緯度幅角位置的設計，滿足變軌過程的測控條件。對于第2 次平面外修正，由于修正點可在2 個平面交線處且相位相差180°的2 個位置中任選其一，考慮到測控弧段覆蓋范圍約占單圈時長的2/3 左右，因此總能通過選擇其中一端作為變軌位置保證變軌過程測控條件。具體計算時根據計算得到的緯度幅角對應的測控條件進行判斷，進而可以確保所有的變軌點均在測控弧段覆蓋范圍內。

根據表3 可知，上升器四脈沖交會方案的目標瞄準變量為交班點時刻的6 個軌道根數E*f。設計變量C6×1為

因此，上升器遠程導引策略求解問題，轉化為求非線性方程式（7）根的問題：

即：求 解C*，滿 足E*f=G(C*)。第5 節(jié) 將 給 出式（7）的具體求解方法。

5 交會策略求解

多圈多脈沖交會策略的求解本質上是求解式（7）描述的非線性方程根的問題。由于問題的非線性，一般采用基于微分修正算法的迭代求解策略。對于一般的非線性方程求根問題，需要建立設計變量C與終端狀態(tài)E*f偏差傳遞關系然后在給定的初值CIG后，采用如下牛頓迭代格式求解：

當|ΔCk|＜ε后，迭代在第n步停止，最終獲得方程的解：C*=Ck+1。其中，ε為預設的收斂精度閾值，矩陣Φ+為矩陣Φ的偽逆，可以采用奇異值分解的方法進行求解。首先根據近圓軌道偏差方程求得初始估計，然后采用微分修正獲得精確數值解。

5.1 近圓偏差方程

根據初始軌道參數E0和目標瞄準軌道參數，可以構造一個參考圓軌道，具體軌道參數為：半長軸ar=(a0+a*f)/2，根據ar進而可以求得參考圓軌道的速度Vr；軌道傾角ir=(i0+i*f)/2；升交點赤經

將交會過程的軌道參數相對參考圓軌道進行線性化，可以得到相對參考圓軌道要素a，ex，ey，i，Ω的偏差與RTN 坐標系下速度增量分量間關系的近圓軌道偏差方程

1）平面內方程

2）平面外方程

3）相位方程

式中：Δa=a-ar，為半長軸偏差；Δex和Δey為偏心 率 矢 量 分 量 的 偏 差，Δex=ex，Δey=ey；Δi=i-ir，為軌道傾角偏差；ΔΩ=Ω-Ωr為升交點赤經偏差；Δφi為各次變軌到終端時刻的相位差：

Δθ為初始狀態(tài)不變軌預報到終端時刻的總相位差：

5.2 初值猜測算法

根據近圓軌道偏差方程的相位方程式（11），第1 個脈沖對調相起到最主要的作用。忽略其他脈沖對相位的影響，可以計算出第1 個切向脈沖Δv1T的初始估計ΔvIG1T為

根據初始軌道參數E0，采用二體軌道外推到首脈沖的緯度幅角u1，加上變軌速度增量Δv1T后，就可以計算得到Δv1T后的軌道參數E+1為

進而可計算出第1 次變軌后的平面內軌道參數偏差為

根據平面內近圓軌道偏差方程式（9），可以得出平面內的線性方程為

令狀態(tài)矩陣Φ為

因此，平面內變軌參數的初始估計為

式中：

根據平面外的近圓軌道偏差方程式（10），可以求得第2 次法向變軌參數的初始估計為

根據式（21）計算得到2 組不同的ΔvIG2N和uIG2結果，選擇滿足測控可見性緯度幅角范圍內的uIG2，以及對應的ΔvIG2N作為第2 次法向變軌參數的初始估計。

至此，已經獲得了所有設計變量的初始估計：

將式（22）代入二體軌道預報模型，可以計算出第k次迭代的脫靶量具體可以寫為

根據式（14），可以構建Δukf與首脈沖速度增量的更新值Δvk1T+1為

根據ΔEkf再按照式（14）～式（21）進行計算，直至脫靶量Δukf滿足要求。

5.3 微分修正迭代

為了獲得問題的精確解，需要在給定初值CIG后，構造式（8）給出的狀態(tài)轉移矩陣Φ的表達式。下面給出推導過程。

在初始狀態(tài)X0，終端狀態(tài)Xf和各次變軌點間的自由飛行過程的軌道預報同時，可以同時獲得各段的狀態(tài)轉移矩陣Φi+1，i(i=0，1，2，…，n-1)和Φf，n，由此可以獲得各次變軌點到目標狀態(tài)的

狀態(tài)轉移Φf，i(i=1，2，…，n-1)，表達為

根據狀態(tài)轉移矩陣的定義，各次變軌點位置和速度偏差ΔXi=(Δri，Δvi)與終端狀態(tài)的偏差ΔXf=( Δrf，Δvf)的關系可以表示為

根據實際工程任務需要，將各次變軌點的設計變量約定為軌道RTN 坐標系的3 個方向速度增量分量(ΔviR，ΔviT，ΔviN)以及變軌點的緯度幅角ui共4 個設計變量，可以滿足實際工程任務的要求。下面將推導給出這4 個變量與ΔXi之間的狀態(tài)轉移關系。

1）3 個方向速度增量分量[ ΔviR，ΔviT，ΔviN]與ΔXi的關系

第i次變軌的狀態(tài)變量ΔXi對RTN3 方向速度增量的偏導數為

式中：i RMCERTN表示第i次變軌點RTN 坐標系到MCE 坐標系轉換矩陣。

2）變軌點的緯度幅角ui與ΔXi的關系

根據第i次變軌前的位置和速度，可以求得角動量矢量

計算瞬時角速度矢量為

定義第i次變軌的速度增量Δvi為

計算第i次變軌產生的加速度變化Δai為

第i次變軌的狀態(tài)變量ΔXi對變軌時刻ti的偏導數為

因此，第i次變軌的狀態(tài)變量ΔXi對變軌點緯度幅角ui的偏導數為

3）控制變量Ci與ΔXi的關系

定義第i次變軌的控制變量Ci為

各次變軌控制變量Ci與狀態(tài)變量Xi之間的偏差傳遞關系ΦiX，C為

4）控制變量Ci與ΔEf的關系

第i次變軌的控制變量Ci與終端狀態(tài)的Xf之間的偏導數傳遞關系為

各列可以分別由4 個6x1 的列向量組成，具體表示為

所以，各次變軌點控制變量偏差ΔCi與終端狀態(tài)的偏差ΔXf關系進一步可以表示為

將式（37）轉換為近圓軌道要素描述的終端微分修正方程：

式中：ΦEX是近圓軌道要素對位置速度的偏導數。

式（38）中一共有4N個控制變量（N為變軌次數），6 個目標變量。在實際應用中，需要根據任務需要，從4N個控制變量Ci中選擇若干個控制變量，從6 個終端狀態(tài)差ΔEf中選擇若干目標變量組成問題相關問題求解。

5）上升器四脈沖方案狀態(tài)轉移矩陣

根據式（6）給出的上升器四脈沖交會方案的6 個設計變量，可以得到該方案對應的狀態(tài)轉移矩陣Φf，C將由如下部分組成：

因此，終端狀態(tài)Ef和設計變量C的偏差傳遞關系可以寫為

定義狀態(tài)轉移矩陣Φ為

因此式（40）可以改寫為

在給定初值CIG后，采用迭代格式式（8），可以獲得控制變量C的精確數值解。

5.4 緯度幅角優(yōu)化

用于求解交會問題的邊界條件和參數大多數已經在1.2 節(jié)根據工程任務約束和要求進行了確定，只剩下各次變軌點的緯度幅角需要確定。由于變軌點緯度幅角設計需要考慮變軌過程的測控弧段支持情況并兼顧整個任務速度增量最小，因此需要在交會策略求解后與整個交會策略進行聯合優(yōu)化設計，是一個典型的約束優(yōu)化問題。5.4.1～5.4.3 節(jié)將對這一問題進行詳細討論。

5.4.1 變軌過程測控約束建模

變軌過程測控約束建模的目的是建立變軌點緯度幅角與測控約束條件的定量化關系。根據嫦娥五號上升器確定的變軌策略：在遠程導引階段采用4 臺120 N 發(fā)動機實施軌道控制，并預留0.3 m/s 速度增量采用2 臺10 N 發(fā)動機進行精確軌道控制?？刂七^程采用慣性定向模式。軌控前將探測器從對日定向姿態(tài)轉為軌控定向姿態(tài)，姿態(tài)機動時長不超過15 min。變軌全過程的飛行時序如圖5 所示。

圖5 變軌過程時序Fig.5 Illustration of finite maneuver profile

為了確保變軌前調姿和發(fā)動機工作全過程在測控站監(jiān)視下實施，從而保留最大限度的應急處置能力，因此，120 N 發(fā)動機開始時刻應大于進站時刻15 min 以上，10 N 發(fā)動機的關機時刻應小于出站時刻；進一步考慮進站時測站捕獲時間，和出站前發(fā)動緊急關機應急指令的時間，進出站各留1 min 的時間。

因此，變軌過程需要滿足調姿開始時刻大于進站時刻1 min 以上；發(fā)動機關機時刻小于出站時刻1 min 以上，從而確保變軌前姿態(tài)調整和變軌全過程在測控站監(jiān)視下實施。據此，考慮到發(fā)動機實際的執(zhí)行過程，可以折算出對變軌點緯度幅角范圍的約束，具體如表4 所示。表4 的結果將作為后續(xù)變軌過程測控約束優(yōu)化問題求解的重要輸入條件。

表4 交會對接變軌測控條件緯度幅角約束Table 4 Angular position constraint of rendezvous maneuvers

5.4.2 約束優(yōu)化問題

變軌過程測控可見的最優(yōu)導引策略設計問題可以描述成如式（43）所示的約束優(yōu)化問題：

式中：ΔVtotal為變軌總速度增量；uLB1、uLB3和uLB4分別代表第1、3、4 次變軌緯度幅角的范圍下限；uUB1、uUB3和uUB4分別代表第1、3、4 次變軌緯度幅角的范圍上限。

可以看出，由于采用了緯度幅角作為設計變量，問題轉化為簡單的邊界約束優(yōu)化問題。而傳統(tǒng)方法中，采用變軌點時刻作為設計變量，在處理測控約束時，問題將轉化為非線性約束優(yōu)化問題，問題的求解會困難得多。

5.4.3 約束優(yōu)化問題的求解

理論上，可以采用任何一種優(yōu)化算法對式（43）進行求解。但是，設計變量采用緯度幅角描述后，設計變量與優(yōu)化目標間的關系變得更加簡單、直接，通過單變量分析，可以得到物理意義清晰的結果，從而多變量優(yōu)化問題的求解可以轉化為多個單變量問題，降階求解。下面將進行詳細敘述。

1）第1 次變軌點位置調整

由于入軌后的軌道為偏心率約0.04 的小橢圓軌道，根據二體軌道動力學的規(guī)律，第1 次變軌能量最優(yōu)的位置應該在遠月點附近。因此，可以在此緯度幅角前后一定區(qū)間內遍歷u1，然后使得u3和u4在[0，2π)范圍內變化，計算對應給定u1，使得總速度增量ΔVtotal最小的解：uopt3和uopt4以及對應最小總速度增量ΔVopttotal。圖6 給出了最小總速度增量ΔVopttotal隨第1 次變軌緯度幅角u1的變化曲線。

圖6 第1 次變軌緯度幅角u1對速度增量的影響Fig.6 Relationship between and u1 of the first orbi tal maneuver

從圖6中可以看出，u1的最優(yōu)解在遠月點附近，約為uopt1=285°，最優(yōu)的速度增量約為50.5 m/s。當u1取為最優(yōu)解uopt1后，u3和u4的變化對應的總速度增量ΔVtotal變化如圖7 所示。

圖7 第1 次變軌最優(yōu)緯度幅角u3、u4對應的總速度增量Fig.7 Relationship between ΔVtotal and u3，u4 with optimal u1 of the first orbital maneuver

從圖7 中可以看出，當u1為最優(yōu)解時，u3和u4對應著若干近似的最優(yōu)解，這對應著圖中近似為一個條帶的最小速度增量區(qū)域。因此，問題存在多個近似最優(yōu)解。如果采用一般的優(yōu)化算法求解，只能得到一個最優(yōu)的結果，其多解特性很容易被錯過。

在測控約束下，針對第1 次變軌點位置，采用圖5 給出的變軌模型，為了確保全變軌過程可見，變軌緯度幅角將從285°調整為271°，從而確保關機點時刻調整到出測控站前1 min。

2）第3、4 次變軌點位置調整

當不考慮測控約束時，全局最優(yōu)解對應著若干組滿足要求的u3和u4。而當u1滿足測控約束，放在非最優(yōu)變軌位置后，u3和u4的特性發(fā)生了重大的變化。圖8 給出了當u1=271°時，隨u3和u4變化，總速度增量ΔVtotal二位等高線圖。

從圖8 中可以看出，當u1偏離最優(yōu)位置，與最優(yōu)位置相比，總速度增量明顯增加。u3和u4不再成對出現形成最優(yōu)解，而是呈現出各自單調變化的關系，但這對于分別確定u3和u4最優(yōu)變軌位置非常有好處。u3是進站前測控條件不滿足，根據測控條件分析結果，滿足測控約束的u3范圍是u3＞101.0°?？紤]到隨著u3增加，總速度增量單調增加，因此u3的最優(yōu)值確定為101.0°。類似地，u4的最優(yōu)值確定為290.0°。最終確定的上升器的交會導引方案如表5 所示。

表5 上升器交會導引方案Table 5 Rendezvous scheme of ascender

圖8 第3、4 次變軌點緯度幅角對速度增量的影響Fig.8 Relationship between ΔVtotal and u3、u4 of the third and fourth orbital maneuvers

入軌點和瞄準點標稱參數如表6 所示。軌道面參數升交點赤經和傾角由任務的發(fā)射窗口和采樣點位置共同決定。整個飛行過程的上升器遠程引導策略如圖9 所示。

圖9 上升器遠程導引策略Fig.9 Remote guidance strategy of ascender

表6 入軌點及瞄準點參數Table 6 Parameters of initial orbit and aim point

6 嫦娥五號任務飛行實踐

以嫦娥五號上升器遠程導引在軌實施的實際策略為例，驗證本文算法的有效性。

嫦娥五號任務上升器于北京時間2020-12-23 從月面起飛，根據入軌后的測定軌數據，上升器的遠程導引入軌點參數如表7 所示。

表7 上升器入軌點參數（MCE 坐標系）Table 7 Initial state of ascender （MCE coordinate system）

入軌后51 h，上升器到達交班點時刻。根據軌返組合體的定軌數據，以及圖4 給出的交班點兩器相對位置關系，計算得到的上升器交會調相瞄準點參數如表8 所示。

表8 上升器交班點目標參數（MCE 坐標系）Table 8 State of aim point （MCE coordinate system）

采用本文給出的變軌點位置約束下的燃料優(yōu)化設計方法，得到上升器遠程導引變軌控制策略如表9 所示，變軌飛行時序如表10 所示。

表9 上升器遠程導引有限推力控制策略Table 9 Finite thruster maneuvers for ascender rendezvous phasing strategy

表10 上升器遠程導引變軌飛行時序Table 10 Mission profile of ascender rendezvous phasing min

各次變軌過程與測控弧段的相對位置關系如圖10 所示。與表5 的測控可見約束對比可知，各次變軌過程與測控弧段保持了設計的相對關系，所有變軌全過程均在測控弧段監(jiān)視下完成，實施結果滿足設計要求。

圖10 變軌點位置示意圖Fig.10 Angular position of maneuvers and tracking arc

文獻［22］給出了嫦娥五號任務前期的交會軌道標稱設計過程及方法，其實質是本文在第4 節(jié)表2 中給出的傳統(tǒng)四脈沖交會策略。其在設計過程中也考慮了脈沖變軌點均在測控弧段內的工程約束，但是由于在設計中僅采用了脈沖模型，未考慮有限推力實施過程以及控前的調姿過程測控需求。這就造成了雖然各次脈沖變軌點都在測控弧段內，但在飛控過程中采用有限推力模型下，無法保證變軌及控前調姿過程的測控需求。此外，由于其第4 次變軌采用了傳統(tǒng)的切向分量和緯度幅角 (Δv4T，u4)的組合模式，變軌位置是設計變量，無法通過主動設計確保第四次變軌過程與測控弧段的相對位置關系。由于上述原因，該策略無法滿足實際飛控需求，如果采用這種策略將會給實際飛控實施造成很大的困難。

正是由于存在以上缺陷，文獻［22］通過實際飛行結果與其策略比較也明確認識到：實際飛控實施所采用的策略與自己所設計的策略并不相同，進行了諸多調整。

相比之下，本文給出的策略完全克服了文獻［22］策略的不足。不但考慮了圖5 給出的變軌過程完整調姿和有限推力的飛行時序，還專門對規(guī)劃策略進行了重新設計，將第4 次變軌的設計變量改為徑向分量和切向分量 (Δv4R， Δv4T)，使得變軌位置u4不再作為設計變量出現，從而可以通過指定u4來精確地保證第4 次變軌過程與測控弧段的相對位置關系。上述計算結果也表明，本文策略設計的結果與嫦娥五號實際飛控結果完全吻合，是嫦娥五號實際飛控所采用的策略。

另外需要指出的是，在月球背面遮擋條件下，確保所有變軌過程測控條件是嫦娥五號月球軌道交會策略區(qū)別于以往近地軌道交會策略的一個顯著特征。文獻［22］給出的策略與本文給出的策略從設計變量、約束條件和求解方法上均不相同，是2 種完全不同的策略，只有采用本文給出的全新的設計模型，通過嚴格數值求解才能得到與飛控實施完全吻合的結果。

本文給出的考慮變軌點測控約束的交會策略設計模型和方法為后續(xù)實施類似任務提供了重要的參考依據。

7 結 論

嫦娥五號任務于北京時間2020-12-06 完成月球軌道交會對接與樣品轉移，這是世界首次月球軌道無人交會對接任務。嫦娥五號月球軌道交會導引策略與以往任務均有很大不同，沒有完全相同的方案可以直接采用。針對在月球軌道條件下的變軌過程全程測控可見的強約束要求，建立了以緯度幅角為變量的近圓軌道偏差方程，設計了各變軌點可精確指定位置的四脈沖變軌策略。將交會策略設計問題轉化為約束優(yōu)化問題，通過遍歷各次變軌的緯度幅角進行了求解。結果表明：變軌點位置約束優(yōu)化問題能量最優(yōu)解是唯一的，僅存在于變軌點處于緯度幅角約束的邊界處。本文提出的變軌點位置測控強約束下的交會導引策略優(yōu)化求解方法及獲得的全局特性規(guī)律將對后續(xù)中國嫦娥六號任務和未來的載人登月任務提供重要的參考。