楊盛慶，吳敬玉，朱文山，鐘超

1．上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109

2．上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109

隨著航天科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，航天任務(wù)日趨復(fù)雜。傳統(tǒng)的大衛(wèi)星受自身軌道運(yùn)動和地球自轉(zhuǎn)運(yùn)動造成的時空約束，單個衛(wèi)星難以實(shí)現(xiàn)全球性的實(shí)時觀測或通訊功能，小衛(wèi)星星座應(yīng)運(yùn)而生。隨著小衛(wèi)星發(fā)射入軌和全球組網(wǎng)成本的降低，國外SpaceX、OneWeb、亞馬遜等商業(yè)航天公司都相繼提出了低軌星座計(jì)劃，通過低軌巨型星座提供全球覆蓋的寬帶通信服務(wù)[1］。

星座的種類繁多，根據(jù)功能不同，有通訊、導(dǎo)航、測繪等。根據(jù)所處軌道劃分，有靜止軌道[2］、傾斜中軌道、大橢圓軌道[3］、近地極軌道[4］等。星座發(fā)展的初期，研究內(nèi)容主要針對星座的軌道設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)目標(biāo)包括星座的構(gòu)型最優(yōu)[5-6］、星座的覆蓋特性最優(yōu)等[7-8］。在星座構(gòu)型確定的基礎(chǔ)上進(jìn)行星座構(gòu)型保持，首先需要解明航天器在自然受攝狀態(tài)下的相對運(yùn)動特征。文獻(xiàn)[9］研究了地球非球形引力攝動下，各航天器初值偏差引起的星座構(gòu)型演化問題。文獻(xiàn)[10］基于線性化的相對運(yùn)動方程，實(shí)現(xiàn)了J2項(xiàng)攝動作用下近距離星座的相對運(yùn)動控制。文獻(xiàn)[11］針對地球非球形引力攝動，提出了主動偏置半長軸和傾角來補(bǔ)償升交點(diǎn)赤經(jīng)和沿跡角漂移量的方法。大氣阻力是影響近地航天器運(yùn)動的一項(xiàng)重要攝動項(xiàng)，大氣阻力的積累效果會致使軌道衰減，改變航天器的軌道角速度。星座內(nèi)航天器由于面質(zhì)比的差異，所受大氣阻力的攝動影響存在差異，會導(dǎo)致軌道面內(nèi)的平均半長軸產(chǎn)生偏差，進(jìn)而使航天器之間的相位差偏離標(biāo)稱值。文獻(xiàn)[12-13］分析單個航天器軌道在大氣阻力影響下的變化特性，提出通過改變航天器迎風(fēng)面，進(jìn)行同一圓軌道上2 個航天器之間的相位調(diào)整。此外，雖然日月引力攝動屬于保守力，但對中高軌道和太陽同步軌道的影響較為明顯。日月引力攝動的長期積累，會產(chǎn)生軌道傾角的偏差。文獻(xiàn)[14］針對中高軌道上的Walker 星座所受的各項(xiàng)攝動，研究了星座構(gòu)型的攝動補(bǔ)償法，提出了星座構(gòu)型數(shù)值微分修正法。文獻(xiàn)[15］針對低軌大規(guī)模Walker 星座構(gòu)型設(shè)計(jì)了一套控制仿真系統(tǒng)。綜上所述，航天器在軌受攝運(yùn)動復(fù)雜，軌道面內(nèi)和軌道面外運(yùn)動存在耦合。

星座構(gòu)型保持是一個復(fù)雜的多體運(yùn)動控制問題，需要設(shè)計(jì)合理高效的軌道控制策略。一般來講，星座軌道面內(nèi)的相對構(gòu)型保持主要處理面質(zhì)比差異導(dǎo)致的平均半長軸差異和相位差漂移。星座軌道面外相對構(gòu)型保持主要處理地球非球型引力、大氣阻力、日月引力攝動聯(lián)合引起的軌道面長期變化。文獻(xiàn)[16］提出星座的構(gòu)型保持可以采用絕對位置保持或相對構(gòu)型保持控制策略。絕對位置保持要求單星的星下點(diǎn)軌跡按嚴(yán)格固定的網(wǎng)格運(yùn)行，單星位置保持在隨星座構(gòu)型一起運(yùn)動的控制盒內(nèi)，通過絕對位置的保持來實(shí)現(xiàn)星座構(gòu)型保持。文獻(xiàn)[17］提出使用公開的兩行軌道根數(shù)對國外星座控制策略進(jìn)行分析，重點(diǎn)分析了銥星、一網(wǎng)、星鏈星座的控制規(guī)律。文獻(xiàn)[18-19］采用網(wǎng)格分割的方法，提出了基于絕對位置保持的Walker 星座和玫瑰星座構(gòu)型保持方法。絕對位置保持具有控制方法簡單的特征，但是絕對位置保持的目標(biāo)狀態(tài)難以在星上自主確定，需要地面輔助確定絕對位置保持的目標(biāo)軌道。而且，絕對位置保持的星座構(gòu)型剛性強(qiáng)，控制需要完全補(bǔ)償大氣阻力導(dǎo)致的星座軌道衰減，相應(yīng)的控制代價(jià)更大。與之相反，相對構(gòu)型保持理論上僅需補(bǔ)償面質(zhì)比差異導(dǎo)致的衰減偏差，能夠使星座中所有航天器趨同于一致的速率衰減，從而減少控制代價(jià)。

星座相對構(gòu)型保持的核心問題，是要構(gòu)造一類基于局部測量信息的控制方法?；诰植挎溌返木扌托亲鶚?gòu)型保持屬于分布式控制方法，相較于星座的整體優(yōu)化方法（集中式控制，優(yōu)化變量多、計(jì)算代價(jià)大），分布式控制更有利于在軌自主保持的實(shí)現(xiàn)。一致性控制方法能夠根據(jù)需求，兼容集中式或分布式控制，較好地實(shí)現(xiàn)多個體系統(tǒng)的協(xié)同控制，已應(yīng)用到多個航天器的編隊(duì)協(xié)同[20］和姿態(tài)協(xié)同控制[21］。文獻(xiàn)[22］基于星座內(nèi)航天器相對運(yùn)動，介紹了十字型、星型鏈路的星座構(gòu)型特征。利用圖論刻畫多個體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)并應(yīng)用一致性控制方法，是實(shí)現(xiàn)星座相對構(gòu)型保持控制的一種有效手段。文獻(xiàn)[23-24］分別結(jié)合航天器和導(dǎo)彈力學(xué)系統(tǒng)，利用拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了多體系統(tǒng)的分布式協(xié)同控制方法。不同于局部的平面拓?fù)洌亲鶚?gòu)成一個閉環(huán)的網(wǎng)絡(luò)，閉環(huán)星座的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及其一致性控制有效性仍有待進(jìn)一步研究。星座的軌道多要素聯(lián)合保持控制，屬于多參數(shù)耦合的非線性動力學(xué)系統(tǒng)，還要考慮動力學(xué)系統(tǒng)的高階形式[25］。為了提升高階一致性的控制效率，文獻(xiàn)[26］介紹了一種基于PID 控制參數(shù)設(shè)計(jì)的一致性控制方法。本文針對自然攝動下軌道運(yùn)動特性，提出了星座相對構(gòu)型保持的一致性控制方法?？紤]到攝動導(dǎo)致的相對運(yùn)動變化率較小，為了便于工程應(yīng)用，可以考慮采用定周期控制，將相對構(gòu)型保持控制轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€離散一致性控制問題[27-28］。

本文針對低軌巨型星座，分析了星座多個體系統(tǒng)不同的星間鏈路連接方式及其閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)特征，提出了不同幾何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及其相應(yīng)的圖論構(gòu)造方法。針對航天器的受攝運(yùn)動特征，分析了巨型星座軌道面內(nèi)平均半長軸和相位差的漂移情況。針對星座內(nèi)航天器平均半長軸和相位差變化的特征，構(gòu)造了相應(yīng)的離散二階一致性控制算法。

1 星座的幾何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與鏈路圖

1.1 星間鏈路的幾何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

星座的相對構(gòu)型保持可視為多星系統(tǒng)的一致性控制，考慮到建立星間鏈路的空間約束和效費(fèi)比，假設(shè)只在軌道面內(nèi)的相鄰衛(wèi)星和相鄰軌道面之間的“鄰位”衛(wèi)星之間建立星間鏈路，每顆衛(wèi)星獲取的群體信息是局部的。對于確定構(gòu)型的星座，相鄰衛(wèi)星和“鄰位”衛(wèi)星之間的相位控制目標(biāo)是明確的。

星間鏈路的有效距離，以過地心大圓的相位差形式表述

式中：Re表示地球半徑；a表示衛(wèi)星軌道的半長軸；ΔM表示星間的平近點(diǎn)角之差。以軌道高度540 km 的軌道為例，能夠建立星間鏈路的最大相位差為45°。使用下標(biāo)表示衛(wèi)星編號，相鄰衛(wèi)星間的相對升交點(diǎn)赤經(jīng)ΔΩij和相對緯度幅角Δuij取值ΔΩij≈Δuij≈40o，形成如圖1 所示的十字型鏈路星座。星座共計(jì)81 個航天器，包含9 個軌道面，每個軌道面內(nèi)9 個航天器，相鄰航天器的相位差40°，相鄰軌道面之間“鄰位”航天器的相位差為40°。圖中對航天器進(jìn)行了編號，整個星座形成閉環(huán)的網(wǎng)絡(luò)。通過標(biāo)識圖形形狀、標(biāo)色和編號聯(lián)合，來區(qū)分圖中形成閉合圖的邊界和頂點(diǎn)的情況。藍(lán)色正方形表示軌道面內(nèi)形成閉環(huán)的邊界航天器、綠色菱形表示不同軌道面形成閉環(huán)的邊界航天器、六邊形為2 個邊界的交點(diǎn)航天器。

圖1 星座的十字型鏈路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Constellation topology with cruciform structure links

取ΔΩij≈20o，航 天 器i和 航 天 器j位 于 相 鄰軌道面時Δuij≈20o，航天器i和航天器j位于同一軌道面時Δuij≈40o。星座共計(jì)162 個航天器，包含18 個軌道面，每個軌道面內(nèi)9 個航天器，相鄰航天器的相位差40°，相鄰軌道面之間“鄰位”航天器的相位差為20°。根據(jù)星間鏈路的不同建立方式，可以定義叉字型鏈路（如圖2 所示）和星型鏈路的星座（如圖3 所示），航天器標(biāo)示的圖形形狀、標(biāo)色和編號原則同上文。

圖2 星座的叉字型鏈路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.2 Constellation topology of cross structure links

圖3 星座的星字型鏈路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.3 Constellation topology with star structure links

1.2 基于幾何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的局部鏈路圖

使用局部鏈路圖描述星座的幾何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，且默認(rèn)建立星間鏈路的航天器的信息鏈路雙向傳遞。如圖4 所示，建立星座的局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。其中，星型鏈路根據(jù)局部的相對位置關(guān)系可以定義左側(cè)軌道面上方/下方、相同軌道面上方/下方、右側(cè)軌道面上方/下方。

圖4 星座的局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.4 Local topology of constellation

假設(shè)星座共計(jì)N個軌道面，每個軌道面內(nèi)M個航天器。為了建立拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對應(yīng)的Laplacian矩陣，需要對星座內(nèi)航天器進(jìn)行編號。定義軌道面序號和軌道面內(nèi)序號組合(n，m)到一維計(jì)數(shù)的映射f：(n，m)→k，滿足k=(n-1)M+m。

同理，定義g：k→(n，m)，滿足

具有星間鏈路的航天器之間

觀察到星座的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中，形成閉環(huán)結(jié)構(gòu)的共用點(diǎn)特征，需要對邊界進(jìn)行特殊處理。

對于軌道面序號

利用上述局部拓?fù)錁?gòu)造方法和航天器編號規(guī)則分析圖3 所示的星型鏈路星座，圖5 為該星座內(nèi)部的鏈路狀態(tài)，是Laplacian 矩陣的圖形化表述，展示了巨型星座中局部鏈路的稀疏性。圖中鏈路狀態(tài)為1 表示具備星間鏈路，0 表示不具備星間鏈路。表1 為該星座中局部鏈路的示例。

圖5 星字型星座的鏈路狀態(tài)Fig.5 Inter-satellite connections in star structure constellation

表1 星字型星座內(nèi)鏈路示例Table 1 Examples of inter-satellite connections in star structure constellation

根據(jù)上述編號規(guī)則，生成Laplacian 矩陣，并計(jì)算相應(yīng)的矩陣特征值。如圖6 所示，不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的Laplacian 矩陣，隨著星間鏈路數(shù)量的增加，特征值負(fù)數(shù)根在絕對值大的區(qū)域分布更加密集，多個體系統(tǒng)的一致收斂性更好。

圖6 不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的Laplacian 矩陣特征值Fig.6 Eigenvalues of Laplacian matrix for different topology structures

2 星座的相對構(gòu)型保持

2.1 軌道的動力學(xué)方程

低軌衛(wèi)星在軌運(yùn)動主要受到地球引力場、日月引力、大氣阻力等攝動影響。由J2項(xiàng)攝動、大氣阻力引起的平均軌道根數(shù)的長期變化率為

式中：e為偏心率；i為軌道傾角；Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng)；ω為近地點(diǎn)幅角；M為平近點(diǎn)角；n為軌道角速度；J2為引力場J2項(xiàng)參數(shù)；CD為大氣阻力參數(shù)；A為航天器迎風(fēng)面積；m為航天器質(zhì)量；ρ為大氣密度。軌道面內(nèi)的星座構(gòu)型保持主要針對軌道根數(shù)的平均半長軸和平近點(diǎn)角，針對星座內(nèi)航天器面內(nèi)構(gòu)型產(chǎn)生的長期漂移的根源，即大氣阻力和面質(zhì)比差異導(dǎo)致的軌道衰減速率、軌道角速度不一致，控制平均軌道半長軸可以實(shí)現(xiàn)星座軌道面內(nèi)的構(gòu)型保持。

2.2 星座相對構(gòu)型保持的一致性控制

多個體系統(tǒng)的二階一致性控制，其一般形式可以描述為[25］

式中：ξi表示個體i運(yùn)動的狀態(tài)量；ζi表示個體i運(yùn)動的一階狀態(tài)量；gij為多個體系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián)參數(shù)；kij為一致性控制算法中不同鏈路對應(yīng)的控制調(diào)節(jié)參數(shù)。

軌道面內(nèi)的星座的構(gòu)型保持控制以平均半長軸和平近點(diǎn)角作為控制的狀態(tài)量，要求控制目標(biāo)實(shí)現(xiàn)平均半長軸的一致、實(shí)現(xiàn)平近點(diǎn)角的目標(biāo)狀態(tài)一致。

式中：ΔM*ij根據(jù)星座拓?fù)淝闆r定義。以星型鏈路星座為例，ΔM*ij取值為±20o和±40o?？紤]到拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的幾何對稱性，假設(shè)控制參數(shù)取常值kij=k時，

軌道面內(nèi)的星座構(gòu)型保持，可以轉(zhuǎn)化為二階一致性控制

式中，參數(shù)γ的合理確定是實(shí)現(xiàn)二階一致性控制的關(guān)鍵。式（9）可轉(zhuǎn)化為

利用泰勒展開

工程實(shí)踐中，控制往往采用定周期控制形式。構(gòu)造二階一致性控制的離散形式[27］

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

3.1 星座構(gòu)型的受攝運(yùn)動

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)采用軌道高度為540 km 的太陽同步軌道，星座采用162 個航天器組成的星字型鏈路構(gòu)型。采用上文所述編號方式，軌道面1 的降交點(diǎn)地方時取0 時，后續(xù)軌道面均勻分布。每個軌道面內(nèi)第1 個航天器的緯度幅角根據(jù)幾何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)定義，取值為

使用MATLAB 驅(qū)動軌道積分器進(jìn)行巨型星座的軌道積分，如圖7 所示。積分器采用式（5）所述的軌道動力學(xué)和四階龍格庫塔積分算法，軌道積分器的接口函數(shù)中軌道位置相關(guān)輸入項(xiàng)為平近點(diǎn)角，需要由緯度幅角轉(zhuǎn)換為平近點(diǎn)角。

圖7 星座的三維視圖Fig.7 Three dimensional vision of constellation

模擬星座實(shí)際在軌存在的面質(zhì)比差異，以0.005 m2/kg 為基準(zhǔn)面質(zhì)比。如表2 所示，針對軌道面序號和軌道面內(nèi)序號組合(n，m)生成隨機(jī)數(shù)，使得每個航天的面質(zhì)比在基準(zhǔn)面質(zhì)比的基礎(chǔ)之上，進(jìn)行±20%的浮動變化。大氣密度隨著太陽活動的低年、中年或高年特征而變化。

表2 基準(zhǔn)面質(zhì)比基礎(chǔ)之上的星間差異Table 2 Difference between satellites based on typical mass-area ratio

根據(jù)文獻(xiàn)[29］所述大氣密度表，采用太陽活動中年的大氣密度為基準(zhǔn)，對軌道高度進(jìn)行擬合插值得到540 km 軌道高度的平均大氣密度，約為ρ=7.2×10-13kg/m3。取CD=2.2，根據(jù)式（5）中半長軸的變化率公式，該軌道上航天器的平均半長軸日衰減約36 m。軌道受攝運(yùn)動90 天，星間半長軸偏差累積量最大值達(dá)到1 000 m，平近點(diǎn)角偏差累積量最大值達(dá)到60°，如圖8和圖9所示。

圖8 大氣阻力下自由漂移90 天的平近點(diǎn)角偏差Fig.8 Relative mean anomaly axis excursion in 90 days with air drag

圖9 大氣阻力下自由漂移90 天的半長軸偏差Fig.9 Relative semi-major axis excursion in 90 days with air drag

本文中二階一致性控制仿真采用沖量式控制。根據(jù)高斯攝動方程，對于半長軸的控制，連續(xù)推力的弧段積累就能基本實(shí)現(xiàn)沖量式控制的等效效果。連續(xù)推力和沖量式控制的區(qū)別在于對偏心率矢量的影響。工程應(yīng)用中，可以考慮定周期時間點(diǎn)附近的特殊點(diǎn)對稱弧段實(shí)施連續(xù)推力控制，避免或減小連續(xù)推力對偏心率矢量產(chǎn)生的弧段效應(yīng)。

3.2 星座構(gòu)型的一致性控制效果

仿真驗(yàn)證星座構(gòu)型的一致性控制效果，定周期控制的間隔設(shè)置為1 天，仿真90 天。設(shè)置控制參數(shù)設(shè)置(k，γk)=(0.2，6 000)?；谛亲鄬?gòu)型保持的一致性控制，星間半長軸偏差控制在( -5 m，5 m)范圍內(nèi)，平近點(diǎn)角偏差控制在標(biāo)稱值附近( -0.1o，0.1o)范圍內(nèi)，如圖10 和圖11 所示。相對構(gòu)型保持控制主要消除面質(zhì)比差異導(dǎo)致的衰減不一致，并非完全補(bǔ)償大氣阻力造成的軌道衰減。如圖12 所示，星座中162 顆衛(wèi)星以1 天1 次的控制頻率進(jìn)行半長軸調(diào)整，離散一致性控制過程中的控制代價(jià)以半長軸控制量形式表述。每顆星的控制量與其面質(zhì)比相關(guān)，控制趨于穩(wěn)定后，半長軸形式的控制量均＜10 m。相較于絕對位置保持補(bǔ)償平均半長軸36 m 日衰減量，相對構(gòu)型保持的控制代價(jià)更小。

圖10 相對構(gòu)型保持控制下90 天的平近點(diǎn)角偏差Fig.10 Relative mean anomaly axis in 90 days with relative-configuration maintenance

圖11 相對構(gòu)型保持控制下90 天的半長軸偏差Fig.11 Relative semi-major axis in 90 days with relative-configuration maintenance

圖12 星座相對構(gòu)型保持的控制量統(tǒng)計(jì)（半長軸控制量形式）Fig.12 Statistics on control cost of relative configuration maintenance in forms of semi-major axis

4 結(jié) 論

巨型星座中航天器受空間攝動作用，星座構(gòu)型長期演化會造成偏差累積漂移現(xiàn)象，需要進(jìn)行星座構(gòu)型保持控制。傳統(tǒng)的絕對位置保持方法，星上難以匯集星座整體信息以生成目標(biāo)軌道，必須由地面介入規(guī)劃。隨著星座規(guī)模的日趨擴(kuò)大，未來星座構(gòu)型保持的發(fā)展方向?qū)@基于局部信息的分布式相對構(gòu)型保持方法。相較于傳統(tǒng)的絕對位置保持方法補(bǔ)償軌道衰減，相對構(gòu)型保持只需補(bǔ)償面質(zhì)比差異造成的衰減差異，控制代價(jià)更小。

星座在空間中形成一個閉環(huán)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，根據(jù)星間鏈路的連接情況，本文提出了不同幾何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及其相應(yīng)的圖論構(gòu)造方法。針對星座軌道面內(nèi)航天器平均半長軸和相位差變化的特征，構(gòu)造了相應(yīng)的離散二階一致性控制算法。后續(xù)工程應(yīng)用，需要高精度軌道根數(shù)瞬平轉(zhuǎn)換算法來保障半長軸的確定精度或者使用相對相位的漂移量估計(jì)星間的半長軸偏差。此外，星座構(gòu)型保持面臨軌道面內(nèi)運(yùn)動的相對半長軸和相對相位保持、軌道面外運(yùn)動的相對升交點(diǎn)赤經(jīng)保持等問題。由于日月引力對軌道傾角的長期項(xiàng)和周期項(xiàng)影響，結(jié)合J2項(xiàng)導(dǎo)致軌道面內(nèi)運(yùn)動、軌道面外運(yùn)動的耦合特性，其力學(xué)問題的解析形式仍有待進(jìn)一步研究。其本質(zhì)是控制對象的動力學(xué)復(fù)雜度提升，本文闡述的星座拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和二階一致性控制方法仍可沿用。