孫倩倩,沈榮鑫

(泰州學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,江蘇泰州 225300)

§1 引言

Pawlak[1]在1982年首次引入了粗糙集理論,該理論作為解決和處理不完備信息的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)工具,已經(jīng)廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)診斷,生物化學(xué),環(huán)境科學(xué),心理學(xué)等眾多領(lǐng)域.1994年,Biswas和Nanda[2]將粗糙集理論和群論的研究相結(jié)合,首次提出了粗糙群和粗糙子群的概念,并研究了一些相關(guān)性質(zhì).然而,粗糙群定義的不嚴(yán)謹(jǐn)導(dǎo)致了一些文獻(xiàn)證明的缺陷.而后許多學(xué)者對(duì)粗糙群和粗糙子群的概念作了改進(jìn),并推廣了粗糙群和粗糙子群的概念(例如粗糙理想,粗糙半群等[3-11]).2011年,吳國兵和黃兵[12]對(duì)粗糙群的概念進(jìn)行了詳細(xì)的修正和優(yōu)化.此后對(duì)于粗糙群的研究工作均使用他們修正后的概念.

2016年,Bagirmaz[13]等結(jié)合了拓?fù)淇臻g和粗糙群的概念,引入了在近似空間上的拓?fù)浯植谌?同時(shí)給出了兩個(gè)例子說明了拓?fù)浯植谌旱拇嬖谛?此外他們研究了拓?fù)浯植谌褐械淖笥易儞Q以及逆變換,證明了左右變換是連續(xù)的單射以及逆變換是同胚映射.2019年,Alharbi等[3]在前者的基礎(chǔ)上構(gòu)造了拓?fù)浯植谌旱某朔e并證明了兩個(gè)粗糙群的笛卡爾積還是粗糙群,此外他們還研究了拓?fù)浯植谌和瑧B(tài)和拓?fù)浯植谌和卟⑶乙肓舜植趉ernel算子與粗糙齊次空間.2020年,林福財(cái)?shù)萚14]研究了拓?fù)浯植谌旱囊恍┩負(fù)湫再|(zhì),尤其對(duì)T1分離公理、Hausdorff分離公理等進(jìn)行詳細(xì)研究,得到了如下結(jié)論:如果G是拓?fù)浯植谌呵沂荰0空間,則G是T1空間;如果G是拓?fù)浯植谌呵褿是T1空間,則G是Hausdorff空間以及T0強(qiáng)拓?fù)浯植谌菏荋ausdorff空間等結(jié)果.此外林福財(cái)?shù)萚14]提出了如下的公開問題:

問題1是否存在非正則的Hausdorff拓?fù)浯植谌?

本文構(gòu)造了一個(gè)非正則的Hausdorff拓?fù)浯植谌?對(duì)上述問題給出了正面的回答.

§2 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)首先介紹一些符號(hào)和術(shù)語.對(duì)于沒有定義的符號(hào)和術(shù)語,讀者可以參照[15-16].

定義2.1[12]令(U,R)是近似空間使得U是任意非空集合且R是U上的等價(jià)關(guān)系.用符號(hào)[x]R表示x的等價(jià)類.對(duì)子集X ?U,

分別稱為在(U,R)中X的上近似和下近似.

定義2.2[12]設(shè)(U,R)是近似空間,符號(hào)?表示定義在U上的一個(gè)二元運(yùn)算.全集U上的非空子集G稱為一個(gè)粗糙群,如果滿足下列條件:

注為了方便敘述,在不引起混淆的前提下,用xy表示x ?y.

定義2.3[13]拓?fù)浯植谌菏且粋€(gè)粗糙群(G,?)賦予其上近似拓?fù)洇邮沟脻M足下面的條件:

(1) 映射f:G×G-→定義為f(x,y)=x ?y是連續(xù)映射,其中G×G賦予乘積拓?fù)?G上賦予由τ誘導(dǎo)的拓?fù)洇覩;

(2) 逆映射g:G-→G定義為g(x)=x-1是連續(xù)映射,其中G上賦予由τ誘導(dǎo)的拓?fù)洇覩.

設(shè)Y是拓?fù)淇臻g(X,τ)的子集,集族τ|Y={Y∩V:V ∈τ}稱Y為X上(關(guān)于τ)的相對(duì)拓?fù)浠蛘咦涌臻g拓?fù)?

引理2.4[13]設(shè)G是一個(gè)拓?fù)浯植谌呵胰我馊《℅中的一個(gè)元a,則

(1) 映射La:G-→,La(x)=ax(x ∈G)是單射且連續(xù);

(2) 映射Ra:G-→,Ra(x)=xa(x ∈G)是單射且連續(xù);

(3) 映射f:G-→G,f(x)=x-1(x ∈G)是同胚映射.

本文用N+表示正整數(shù)集.

§3 主要結(jié)果

下面這個(gè)例子是本文的主要結(jié)果,對(duì)文[14]中問題1給出了回答.

例3.1存在一個(gè)Hausdorff拓?fù)浯植谌篏不是正則空間.

證設(shè)U是實(shí)數(shù)加群,賦予U上由{E1,E2}劃分誘導(dǎo)的等價(jià)關(guān)系,這里

斷言1對(duì)G中任意的a,b,|a+b|1.分以下四種情況.

(1) 若a ∈GL,b ∈GR,則存在n1∈N+,n2∈N+使得

不難發(fā)現(xiàn)對(duì)任意的n1,n2∈N+,|a+b|1.

(2) 若a ∈GR,b ∈GL,此情況和(1)類似.

(3) 若a,b ∈GL,則a+b ≤-2,故|a+b|1.

(4) 若a,b ∈GR,則a+b ≥2,故|a+b|1.

則由τ的定義知Oa是a在G中的鄰域,Ob是b在G中的鄰域,顯然對(duì)任意a′∈Oa,b′∈Ob,都有

故加法運(yùn)算f是連續(xù)映射.

由斷言2,斷言3可知G是拓?fù)浯植谌?

斷言4在拓?fù)洇酉?G不是正則空間.

取x=1,由τ的定義知,L1是G中不包含x的閉集.設(shè)G中開集V,W滿足1∈V,L1?W,則存在ε ∈(0,)使得

于是存在n ∈N+使得

綜上所述G是一個(gè)非正則的Hausdorff拓?fù)浯植谌?

下面考慮在什么條件下,Hausdorff拓?fù)浯植谌嚎删哂姓齽t性.

令V=G-Wc,則V是G中的開集且F=G-W1?G-Wc=V.又因?yàn)閃 ?Wc,所以V∩W=?.

根據(jù)上述命題,有下面的推論.

推論3.3設(shè)G是T1拓?fù)浯植谌菏沟肎開于且e ∈G,若G是齊性空間,則G是正則的.

下面的例說明存在一個(gè)拓?fù)浯植谌簼M足推論3.3的條件,但不是拓?fù)淙?

例3.4設(shè)U是賦予通常加法和離散拓?fù)涞恼麛?shù)集.賦予U上由劃分{E1,E2}誘導(dǎo)的等價(jià)關(guān)系,這里E1=(-∞,0),E2=[0,+∞).

令G={-3,-2,-1,0,1,2,3},則G是一個(gè)粗糙群且=U.容易驗(yàn)證G是關(guān)于τ的一個(gè)離散拓?fù)浯植谌?G開于且G是齊性空間,但G不是拓?fù)淙?

§4 一些尚未解決的問題

§3證明了Hausdorff拓?fù)浯植谌何幢厥钦齽t的,同時(shí)在增加一定的條件后可得到Hausdorff拓?fù)浯植谌旱恼齽t性.但所增加的這些條件是否一定都是必要的,尚未可知.于是還有以下有待解決的問題.

問題1設(shè)G是T1拓?fù)浯植谌菏沟肎開于且e ∈G,則G是否正則?

問題2設(shè)G是T1拓?fù)浯植谌菏沟肎開于,且G是齊性空間,則G是否正則?

問題3設(shè)G是拓?fù)浯植谌菏沟胑 ∈G,且G是齊性空間,則G是否正則?

在文[14]中,林福財(cái)?shù)热诉€引入并研究了強(qiáng)拓?fù)浯植谌?關(guān)于Hausdorff強(qiáng)拓?fù)浯植谌菏欠裾齽t也未知.

問題4若G是Hausdorff強(qiáng)拓?fù)浯植谌?則G是否正則?