■湖南省株洲市第二中學(xué) 朱興中

題目：如圖1所示,長(zhǎng)度為L(zhǎng)cm,粗細(xì)均勻的玻璃管開口向上,豎直放置,管內(nèi)用長(zhǎng)度為hcm的水銀柱封閉一定質(zhì)量的理想氣體,氣體的初始長(zhǎng)度為L(zhǎng)0cm,溫度為T0K。設(shè)大氣壓強(qiáng)為p0cmHg,若使水銀柱全部溢出,則應(yīng)對(duì)氣體加熱到多高的溫度？

圖1

分析：在水銀柱的上端面到達(dá)管口之前,氣體發(fā)生的是等壓變化,根據(jù)蓋-呂薩克定律(C為常數(shù))可知,隨著氣體體積的增大,其溫度也一定升高。從水銀柱上端面到達(dá)管口位置開始考慮,當(dāng)水銀柱的溢出長(zhǎng)度為xcm 時(shí),因其溫度,即T∝pV,故接下來只需要考慮pV的變化即可。因?yàn)閜V=(p0cmHg+hcmHg-xcmHg)(Lcmhcm+xcm),其中0≤x≤h,所以pV-x圖像為開口向下的拋物線,零點(diǎn)x1=h-L＜0,x2=p0+h＞h,對(duì)稱軸,它的三種可能性如圖2甲、乙、丙所示。

圖2

在圖2 甲中,x0≤0,即L≥p0+2h,在0≤x≤h的范圍內(nèi)圖像遞減,故從x=0狀態(tài)氣體開始降溫,水銀自動(dòng)溢出,須加熱到的最高溫度;在圖2 乙中,0＜x0＜h,即p0＜L＜p0+2h,在0≤x≤h的范圍內(nèi)圖像先遞增再遞減,故從x=x0狀態(tài)氣體開始降溫,水銀自動(dòng)溢出,須加熱到的最高溫度;在圖2 丙中,x0≥h,即L≤p0,在0≤x≤h的范圍內(nèi)圖像遞增,故須一直加熱到水銀柱的下端面到達(dá)管口位置為止,此時(shí)的溫度。

例1如圖3所示,將長(zhǎng)度為L(zhǎng),粗細(xì)均勻的玻璃管開口向上,豎直放置,管內(nèi)用長(zhǎng)度h=5 cm 的水銀柱封閉一定質(zhì)量的理想氣體,氣體的初始長(zhǎng)度L0=50 cm,溫度T0=300 K。設(shè)大氣壓強(qiáng)p0=75 cmHg,試求下列三種情景下使水銀全部溢出所需加熱到的最高溫度Tmax。

圖3

①L=90 cm;②L=80 cm;③L=70 cm。

解析：①當(dāng)L=90 cm 時(shí),對(duì)應(yīng)L＞p0+2h的情景,此時(shí)x0=-2.5 cm＜0,即只需加熱到水銀柱的上端面到達(dá)管口即可,此后氣體降溫,水銀自動(dòng)溢出,故須加熱到的最高溫度。

②當(dāng)L=80 cm 時(shí),對(duì)應(yīng)p0＜L＜p0+2h的情景,此時(shí)x0=2.5 cm,即水銀柱溢出2.5 cm 時(shí)達(dá)到最高溫度,此后氣體降溫,水銀自動(dòng)溢出,故須加熱到的最高溫度Tmax=。

③當(dāng)L=70 cm 時(shí),對(duì)應(yīng)L＜p0的情景,此時(shí)x0=7.5 cm＞5 cm,即需要一直加熱到水銀柱的下端面到達(dá)管口為止,故須加熱到的最高溫度。

例2如圖4所示,粗細(xì)均勻的U 型玻璃管豎直放置(底端水平),左端封閉,右端用一段水銀柱封閉一定質(zhì)量的理想氣體,溫度T0=300 K。玻璃管左右兩端高度相同,圖中L0=20 cm,L1=30 cm,L2=10 cm,h=10 cm。若大氣壓強(qiáng)p0=75 cmHg,現(xiàn)在均勻加熱管內(nèi)封閉氣體,試求使水銀全部溢出所需加熱到的最高溫度Tmax。

圖4

解析：設(shè)溢出水銀柱長(zhǎng)度為x時(shí),玻璃管內(nèi)封閉氣體的溫度為T,玻璃管的橫截面積為S,根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程得數(shù)學(xué)表達(dá)式代入數(shù)據(jù)解得因此當(dāng)x=7.5 cm 時(shí),Tmax=450.3 K,此后水銀自動(dòng)溢出,氣體溫度開始降低。

例3如圖5所示,長(zhǎng)度為L(zhǎng),粗細(xì)均勻的玻璃管開口向下,豎直放置,管內(nèi)用長(zhǎng)度為h的水銀柱封閉一段長(zhǎng)為L(zhǎng)0、溫度為T0的空氣柱。設(shè)大氣壓強(qiáng)為p0,均勻加熱管內(nèi)封閉氣體,試求使水銀柱全部溢出所需加熱到的最高溫度Tmax。

圖5

解析：設(shè)溢出水銀柱長(zhǎng)度為x時(shí),玻璃管內(nèi)封閉氣體的溫度為T,玻璃管的橫截面積為S,根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程得 數(shù) 學(xué) 表 達(dá) 式解得T=,表明隨著x(x＞0)的增加,T也增大。因此當(dāng)x=h時(shí),氣體的溫度最高,且。

小結(jié):求解水銀外溢問題的基本思路是從最根本的理想氣體狀態(tài)方程入手,準(zhǔn)確描述各種情景下壓強(qiáng)p和體積V的特征,通過合乎物理?xiàng)l件的數(shù)學(xué)分析,求得正確答案。

拓展：若將玻璃管內(nèi)長(zhǎng)度為h的水銀(密度為ρ)換成另一種密度為ρ'的液體,則描述其產(chǎn)生壓強(qiáng)對(duì)應(yīng)的高度應(yīng)換算成,但描述其對(duì)體積影響的長(zhǎng)度仍為h;若玻璃管與水平面成夾角θ放置,則描述水銀柱產(chǎn)生壓強(qiáng)對(duì)應(yīng)的高度應(yīng)換算成h'=hsinθ,但描述其對(duì)體積影響的長(zhǎng)度仍為h。