楊文娜 熊兆華

摘 要 滿足平方反比率的庫侖相互作用在場(chǎng)論中具有獨(dú)特的意義，高斯定理描述了三維空間矢量場(chǎng)源的屬性。本文把其他類型勢(shì)函數(shù)，如湯川勢(shì)、諧振子勢(shì)等轉(zhuǎn)換為等效庫侖荷分布，由此利用三維有源場(chǎng)滿足的高斯定理來計(jì)算空間中的場(chǎng)強(qiáng)以及其他相關(guān)物理量。本文也專門設(shè)計(jì)了一個(gè)均勻分布湯川荷的硬球散射例題來展示這種方法的優(yōu)越性。雖然這種方法在具體計(jì)算工作量上沒有顯著改進(jìn)，但是得到的等效庫侖荷分布在處理有體積粒子的時(shí)候會(huì)有更加清晰的物理圖像。轉(zhuǎn)換方法以及具體例題對(duì)拓展場(chǎng)論等相關(guān)課程教學(xué)有一定借鑒意義。

關(guān)鍵詞 庫侖勢(shì);湯川勢(shì);高斯定理

場(chǎng)論是物理學(xué)中表述物理現(xiàn)象和規(guī)律的重要理論。對(duì)于三維空間矢量場(chǎng)來說，場(chǎng)論主要研究其有源無源，有旋無旋的性質(zhì)，即場(chǎng)的散度和旋度。描述電磁場(chǎng)理論的麥克斯韋方程組即可看作是關(guān)于電磁場(chǎng)的散度，旋度組成的方程組。相比于力學(xué)的瞬時(shí)性與超距作用，場(chǎng)論則體現(xiàn)了物理過程的局域性。除了物理概念上的革新外，相比于力學(xué)，場(chǎng)論方法在研究某些過程時(shí)有明顯的優(yōu)越性。在電磁學(xué)的教學(xué)中，利用描述場(chǎng)散度的高斯定理，以及描述場(chǎng)旋度的斯托克斯定理，然后依據(jù)系統(tǒng)的對(duì)稱性可以求解場(chǎng)的強(qiáng)度、勢(shì)等重要物理量。這是一種非常重要的物理方法，因?yàn)閷?shí)際物理場(chǎng)景的很多情況都可以看作是高度對(duì)稱性系統(tǒng)，如球?qū)ΨQ，柱對(duì)稱，平面對(duì)稱系統(tǒng)等。比如一個(gè)不規(guī)則形狀的帶電導(dǎo)體，如果距離這個(gè)導(dǎo)體足夠遠(yuǎn)，就可以近似將其產(chǎn)生的電場(chǎng)看做是均勻帶電球產(chǎn)生的電場(chǎng)：而靠近導(dǎo)體表面的電場(chǎng)，又可以近似看做是無限大均勻帶電平面附近的電場(chǎng)。如果類似于力學(xué)的方法，采用庫侖定律處理靜電場(chǎng)會(huì)顯得很麻煩。在物理學(xué)史中，一個(gè)著名的例子就是在《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》[1]一書中，牛頓花費(fèi)了很大的力氣才證明均勻球殼對(duì)球殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的引力為零，對(duì)殼外質(zhì)點(diǎn)的引力可以看作是把球殼的質(zhì)量都集中在球心位置處所產(chǎn)生的引力。如果采用場(chǎng)論的方法。依據(jù)球?qū)ΨQ性和高斯定理，可以非?？旖莸氐玫较嗤Y(jié)論。

作為描述有源場(chǎng)的高斯定理對(duì)我們理解場(chǎng)論有著重要的意義。場(chǎng)的有源或者無源性質(zhì)實(shí)際上是利用滿足真空平方反比率的庫侖電荷來討論的。靜電平衡的導(dǎo)體電學(xué)特征就是建立在有源場(chǎng)高斯定理的基礎(chǔ)之上，點(diǎn)源的球?qū)ΨQ性加上高斯定理就可以得到庫侖平方反比率。通過測(cè)量靜電平衡導(dǎo)體內(nèi)部電荷是否為零就可以檢驗(yàn)平方反比率，進(jìn)而檢驗(yàn)高斯定理。這樣的檢驗(yàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)比最初的庫侖扭秤實(shí)驗(yàn)要精確。歷史上，卡文迪許在庫侖之前就利用測(cè)量靜電平衡導(dǎo)體內(nèi)部電荷是否為零確定靜電力偏離平方反比率的指數(shù)偏差δ 的上限在2×10-2 左右[2]。后來麥克斯韋重新做了卡文迪許的實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步提高了精度，把偏差δ 上限降低到5×10-5 的數(shù)量級(jí)。后面不斷有物理學(xué)家重復(fù)測(cè)量靜電平衡導(dǎo)體內(nèi)部電荷來探究靜電場(chǎng)的平方反比率的適用性。1971 年威廉姆斯（Williams）將偏差δ 上限縮小到（2.7±3.1）×10-16的數(shù)量級(jí)。可以說靜電場(chǎng)的平方反比率得到了嚴(yán)苛的檢驗(yàn)。相應(yīng)的庫侖勢(shì)，也就是與半徑成反比的勢(shì)函數(shù)，是描述靜電場(chǎng)的準(zhǔn)確函數(shù)。從理論的角度看，高斯定理、場(chǎng)強(qiáng)的平方反比率以及庫侖勢(shì)是三維空間有源場(chǎng)的基本性質(zhì)，如果空間是兩維或者四維的，則點(diǎn)源的平方反比率以及庫侖勢(shì)都將發(fā)生改變。因此高斯定理以及庫侖勢(shì)在三維空間場(chǎng)論中有其獨(dú)特意義。

拋開電磁理論，實(shí)際物理研究中，特別是在量子物理研究中，除庫侖勢(shì)之外還存在湯川勢(shì)，諧振子勢(shì)等其他類型勢(shì)函數(shù)。研究這些非庫侖勢(shì)的性質(zhì)時(shí)，如果直接利用勢(shì)函數(shù)求解相關(guān)問題，某些情況會(huì)特別麻煩。這是因?yàn)榉菐靵鰟?shì)相關(guān)的場(chǎng)論不再滿足高斯定理，點(diǎn)源與空間的場(chǎng)之間的關(guān)系就復(fù)雜很多。為了解決這個(gè)問題，本文討論一種把其他類型荷分布及勢(shì)函數(shù)轉(zhuǎn)換為庫侖荷分布及庫侖勢(shì)的方法：即依據(jù)場(chǎng)論知識(shí)，我們可以對(duì)非庫侖勢(shì)求梯度得到場(chǎng)分布。再對(duì)場(chǎng)求散度得到荷分布。用這種方法求得的荷分布是一種等效的庫侖荷分布，利用等效庫侖荷分布以及高斯定理求解問題會(huì)使相關(guān)問題得到意想不到的化簡(jiǎn)。我們將在論文第二部分以湯川勢(shì)為例來說明如何使用該方法，在第三部分給出使用該方法解決問題的一個(gè)具體例子均勻帶湯川荷球的散射問題，最后給出本文的結(jié)論。