彭子云 漆元臻 李澤宇 梁穎 向紅 韓德專

摘 要 彩虹是一種常見的大氣光學(xué)現(xiàn)象，在一定天氣條件下，在彩虹的附近還會(huì)出現(xiàn)附加的弧形彩色條紋，這就是復(fù)虹。目前關(guān)于復(fù)虹的實(shí)驗(yàn)研究還十分有限。本文從集體散射與單體散射兩方面對復(fù)虹現(xiàn)象進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。通過水霧光散射再現(xiàn)了復(fù)虹現(xiàn)象，并測量統(tǒng)計(jì)了水滴尺寸及其分布對復(fù)虹的影響。然后通過單水滴光散射實(shí)驗(yàn)，研究了不同照明波長、不同水滴尺寸下的復(fù)虹現(xiàn)象，從微觀上解釋了復(fù)虹的形成機(jī)理。我們還利用散射理論計(jì)算研究了水滴尺寸及其統(tǒng)計(jì)分布對復(fù)虹效果的影響，計(jì)算結(jié)果進(jìn)一步證實(shí)了實(shí)驗(yàn)結(jié)論的正確性。

關(guān)鍵詞 復(fù)虹;水滴尺寸分布;色散;米氏散射

彩虹是一種常見的自然現(xiàn)象，在古代人們就對其做出了各種解釋，而對于彩虹的科學(xué)研究則開始于近代。17世紀(jì)，笛卡爾提出彩虹是光在水滴內(nèi)的反射與折射的結(jié)果，并運(yùn)用幾何光學(xué)成功計(jì)算了虹與霓的角度，但未能解釋色彩的成因。

后來牛頓提出了色散理論，彩虹這一光學(xué)現(xiàn)象得到了較好的解釋[1，2]。人們還注意到在一定天氣條件下，在彩虹的附近還會(huì)出現(xiàn)附加的弧形彩色條紋，即復(fù)虹[1，3]（Supernumerary rainbows）。幾何光學(xué)理論無法解釋這一現(xiàn)象。1803 年，托馬斯·楊將復(fù)虹解釋為兩角度相同的光束干涉的結(jié)果，但該理論與實(shí)際現(xiàn)象存在差異[1，3]。1838年，艾里（Airy）提出了“彩虹積分”，更加完備的解釋了復(fù)虹現(xiàn)象[1，4，5]。1908年，Gustav Mie提出米氏散射理論，即通過求解麥克斯韋方程組來得到包括均勻球體在內(nèi)的物體對光的散射的嚴(yán)格解。這樣，彩虹以及復(fù)虹現(xiàn)象，可以被準(zhǔn)確地計(jì)算出來[1，6，7]。迄今為止，關(guān)于復(fù)虹的研究主要集中在理論分析與模擬計(jì)算上，例如利用散射理論分析復(fù)虹現(xiàn)象及影響因素[8-10]，而實(shí)驗(yàn)方面的研究則非常有限。本論文將從集體散射與單體散射兩方面對復(fù)虹現(xiàn)象進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)合理論計(jì)算對復(fù)虹現(xiàn)象及影響因素給出清晰直觀的解釋。

1 復(fù)虹現(xiàn)象簡介

彩虹是光線被水滴散射時(shí)發(fā)生的一種色散現(xiàn)象[10]。從幾何光學(xué)的角度來看，光線進(jìn)入水滴后會(huì)發(fā)生多次反射與折射。此過程中，不同位置的入射光線對應(yīng)不同的入射角，因此出射角度也不同。再由于色散，同一位置入射但波長不同的光線出射角度也不同，從而形成色彩分布。當(dāng)光線在水滴內(nèi)反射一次就折射出來時(shí)，以40～42度的視角內(nèi)光最為強(qiáng)烈，形成我們常見的一級虹。如果在光水滴內(nèi)發(fā)生兩次反射再折射出來，則以50～53度的視角內(nèi)光最為強(qiáng)烈，形成二階彩虹，即通常所說的霓。

光作為一種電磁波，其波動(dòng)性會(huì)在一定條件下表現(xiàn)出來，例如干涉與衍射現(xiàn)象。相應(yīng)的，在一定條件下，彩虹中也會(huì)出現(xiàn)干涉現(xiàn)象，例如復(fù)虹現(xiàn)象。圖1（a）展示了具有復(fù)虹結(jié)構(gòu)的彩虹。如圖所示，在彩虹的內(nèi)側(cè)存在多層弧形的彩帶，這些彩帶被稱為復(fù)虹。嚴(yán)格解釋復(fù)虹現(xiàn)象需要用米氏散射理論，但是不夠直觀。用托馬斯·楊的觀點(diǎn)來看，復(fù)虹的形成可以解釋為水滴中傳播路徑相近的光線之間的干涉現(xiàn)象。圖1（b）中，光線D代表笛卡爾光線，即偏向角最小的光線，對應(yīng)觀察到的主虹。光線1與2為鄰近的兩條光線，他們在出射時(shí)也保持平行。這兩條光線在遠(yuǎn)端（觀察者位置）發(fā)生干涉，形成了條紋，白光照射時(shí)則形成彩色條紋，即復(fù)虹。由于光程差依賴于水滴的尺寸，因此復(fù)虹現(xiàn)象與水滴的尺寸及分布都有關(guān)系。當(dāng)水霧中的水滴尺寸差異很大時(shí)，各個(gè)水滴形成的條紋的角分布不同，在非相干的疊后，條紋對比度會(huì)下降。因此只有在合適的條件下才能觀察到復(fù)虹現(xiàn)象。一般來說，水滴尺寸越小，形成的干涉條紋越寬，由條紋錯(cuò)位疊加產(chǎn)生的填補(bǔ)效應(yīng)就越不明顯。

同時(shí)，水滴尺度的分布越集中，條紋填補(bǔ)效應(yīng)則越弱，也就更容易觀察到復(fù)虹。

2 復(fù)虹再現(xiàn)與水滴分布測量

為了研究復(fù)虹現(xiàn)象，我們采用了投影儀作為白光光源，菲涅爾透鏡作為準(zhǔn)直元件來產(chǎn)生平行光，如圖2（a） 所示，此方案可以獲得橫截面積較大而且平行度較好的光束。在觀察彩虹現(xiàn)象時(shí)，利用壓力噴壺在菲涅爾透鏡后噴水霧，在光源一側(cè)即可看見虹與霓。通過改變噴壺內(nèi)壓強(qiáng)以及噴嘴的松緊，可以改變水滴的尺寸及分布。當(dāng)壓力較大且噴嘴較緊時(shí)，在主虹的內(nèi)側(cè)或霓的外側(cè)，還能看到一系列明顯的弧形彩帶，即復(fù)虹，如圖2（b）所示。當(dāng)減小噴壺壓力或擰松噴嘴時(shí)復(fù)虹逐漸消失。圖2（c）以透視畫法示意了復(fù)虹的拍攝方位及效果。投影儀發(fā)出的光經(jīng)菲涅爾透鏡準(zhǔn)直后形成矩形橫截面的平行光束。照相機(jī)位于菲涅爾透鏡的左上方，在此位置上，看到矩形的光束向遠(yuǎn)處傳播匯聚到無窮遠(yuǎn)處一點(diǎn)。光在噴霧區(qū)發(fā)生散射，形成以觀察者（照相機(jī)）為中心的彩色圓弧。由于立體透視效應(yīng)，拍攝的虹與霓具有錐狀輪廓。照片中左下和右上的三角區(qū)域因沒有光照而呈現(xiàn)出黑色。我們利用分光計(jì)測量了虹與霓的角度。實(shí)驗(yàn)中，分光計(jì)距離噴霧約1m。測量結(jié)果表明，虹處于40～42 度，霓處于50～53 度，與公認(rèn)值一致。

為 了測量統(tǒng)計(jì)水滴的尺度分布，我們利用浸入法測量了復(fù)虹現(xiàn)象顯著與復(fù)虹剛好消失這兩種情況下對應(yīng)的水滴尺度。實(shí)驗(yàn)過程如下：首先將盛有植物油的培養(yǎng)皿置于水霧處，開始用擋板遮蓋;然后噴霧，當(dāng)觀察到彩虹時(shí)快速移走擋板，讓培養(yǎng)皿接收水滴，再快速遮蓋住培養(yǎng)皿。最后將培養(yǎng)皿緩慢移至讀數(shù)顯微鏡下進(jìn)行測量。

我們對復(fù)虹最顯著和復(fù)虹剛好消失這兩種情況下的水滴進(jìn)行了隨機(jī)測量，每組樣本數(shù)量為160，并以0.02mm 的間隔進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如圖3所示。圖中橫軸表示直徑，縱軸代表水滴數(shù)量。

我們嘗試了正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布來擬合水滴尺寸的分布。對于復(fù)虹顯著的情況，對數(shù)正態(tài)分布更合適。對于復(fù)虹剛好消失的情況，水滴直徑分布更符合正態(tài)分布。由于統(tǒng)計(jì)方法不同，我們以半高全寬作為彌散程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。由圖可知，當(dāng)復(fù)虹現(xiàn)象明顯時(shí)，水滴尺寸較小且分布相對集中;而當(dāng)復(fù)虹剛好消失時(shí)，對應(yīng)水滴尺寸較大且分布相對彌散。

3 單水滴光散射實(shí)驗(yàn)

為了研究復(fù)虹產(chǎn)生的微觀機(jī)理，我們測量了單個(gè)水滴對光的散射，考查同一水滴對不同波長的光的散射以及在單色光照明下不同尺寸的水滴的響應(yīng)。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖3所示。該裝置的核心是分光計(jì)，其中平行光管的縫光闌被改裝為小孔光闌。激光（本實(shí)驗(yàn)采用紅、綠、藍(lán)激光筆）經(jīng)過衰減片后照射到透鏡上，再聚焦到平行光管的光闌處，然后經(jīng)平行光管的準(zhǔn)直透鏡后準(zhǔn)直為寬截面的平行光出射。單個(gè)水滴由注射器產(chǎn)生，水滴的直徑由讀數(shù)顯微鏡來測量。激光束照射到水滴后反生散射，用白屏接收，可以看到環(huán)形的條紋，這即是單個(gè)水滴的光散射現(xiàn)象。圖4展示了局部的散射條紋。轉(zhuǎn)動(dòng)望遠(yuǎn)鏡對準(zhǔn)這些條紋，可以準(zhǔn)確測量對應(yīng)的角度。然后將望遠(yuǎn)鏡轉(zhuǎn)開，將線陣CCD置于剛才望遠(yuǎn)鏡的位置，則將這些條紋的光強(qiáng)分布記錄下來。

圖4展示了同一水滴（直徑為2.012mm）在藍(lán)光（450nm）、綠光（533nm）與紅光（654nm）照明下的散射光強(qiáng)隨觀察角度的變化。圖中的曲線是CCD探測到的光強(qiáng)信號，其角度信息由分光計(jì)測得。這里散射光強(qiáng)做了歸一化處理。曲線的上方是對應(yīng)的散射條紋的局部照片。這些曲線的左側(cè)主峰對應(yīng)常規(guī)觀測到的虹，右側(cè)的主峰則對應(yīng)霓，即二級虹。這里是單色光的散射，不是通常意義上的虹與霓，但是為了方便描述，下面仍以“虹”和“霓”來稱呼?！昂纭迸c“霓”之間有一個(gè)暗區(qū)，這就是所謂的亞歷山大暗帶。顯然，隨著波長的增大，“虹”與“霓”都向中間移動(dòng)，亞歷山大暗帶變窄。

而在“虹”的左側(cè)與“霓”的右側(cè)，還有一系列條紋，這就是單色光的“復(fù)虹”?？梢钥闯?，波長越小，條紋越密集。

圖5 展示了不同尺寸的水滴在紅光（波長654nm）照明下的散射光強(qiáng)隨觀察角度的變化。

由于散射光強(qiáng)會(huì)隨著水滴尺寸的減小而迅速減弱，再加上“霓”的散射光強(qiáng)比“虹”的散射光強(qiáng)更弱，因此對小尺寸單水滴“霓”部分的探測變得困難，我們這里只給出“虹”對應(yīng)的散射光強(qiáng)。由圖可知，隨著水滴尺寸減小，“虹”的主峰會(huì)向角度減小的方向偏移，同時(shí)干涉條紋也展寬，這與其他文獻(xiàn)報(bào)道的研究結(jié)果一致[13]。散射效果對水滴尺寸的依賴進(jìn)一步體現(xiàn)了光的波動(dòng)性對彩虹現(xiàn)象的影響。因?yàn)榘凑諑缀喂鈱W(xué)理論，虹的主峰的角位置與水滴尺寸無關(guān)。當(dāng)然，要進(jìn)一步搞清楚干涉條紋如此分布的原因，需要定量研究入射光經(jīng)過水滴之后的波前變化。這可以通過干涉實(shí)驗(yàn)來實(shí)現(xiàn)，例如讓經(jīng)水滴出射的光與一束平面波進(jìn)行干涉，根據(jù)干涉圖樣來獲取相關(guān)波前的變化。

從上面的實(shí)驗(yàn)可以看出，單個(gè)水滴的光散射既依賴于照明波長，也依賴于水滴的尺寸。對波長的依賴，即色散效應(yīng)，使得水霧的光散射形成彩色的虹與霓。而對水滴尺寸的依賴，則對復(fù)虹的觀察效果產(chǎn)生很大影響。不同尺寸的水滴形成的散射條紋的角位置與角寬度都不同，這些條紋的非相干疊加會(huì)使得條紋對比度下降。在前面的圖2 所示的實(shí)驗(yàn)中，水滴尺寸小且分布集中時(shí)，復(fù)虹現(xiàn)象明顯，而水滴尺寸增大且分布彌散時(shí)，復(fù)虹減弱至消失。這是因?yàn)?，水滴尺寸越小，條紋寬度越大，越有利與觀察。另一方面，尺度分布越集中，條紋間的錯(cuò)位越小，對比度越高。同時(shí)，由于小水滴的干涉條紋寬，對于尺度彌散導(dǎo)致的條紋錯(cuò)位容忍度更高。因此，水滴尺度小且分布集中的水霧容易觀察到復(fù)虹。

4 米氏散射計(jì)算

對于自然界中形成的虹與霓以及復(fù)虹現(xiàn)象，波長和水滴尺寸都是連續(xù)分布的。我們目前的實(shí)驗(yàn)條件還無法進(jìn)行相關(guān)研究。這里，我們利用米氏散射理論來計(jì)算分析波長分布和水滴尺寸分布對復(fù)虹現(xiàn)象的影響。米氏散射理論利用多極輻射理論來求解散射問題，是嚴(yán)格可靠的計(jì)算方法并廣泛應(yīng)用于散射問題。這里我們采用一個(gè)基于米氏散射理論的開源程序[6]來進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。下面我們考慮尺寸滿足正態(tài)分布的水滴的集體散射行為，我們只給出“虹”一側(cè)的結(jié)果。

首先我們考慮在單色光照明（波長為650nm）下，分布參數(shù)對散射結(jié)果的影響。在圖6（a）中，水滴尺寸分布的標(biāo)準(zhǔn)差SD 都為10%，但平均尺度不同?？梢钥闯?，隨著尺寸的增大，這些散射峰的角度分布更加集中。例如，當(dāng)水滴平均直徑由0.12mm 增大到0.24mm及0.96mm時(shí)，40度附近的主峰與最鄰近次峰的角距離則由3.1度減小到1.9度及0.76度。圖6（b）是平均直徑相同（d =0.12mm）但分布不同的水滴散射情況。由圖可以看出，當(dāng)水滴分布較集中時(shí)，可以看到明顯的復(fù)虹;而水滴分布彌散時(shí)，復(fù)虹的對比度減弱以至于消失。

我們?nèi)缓笥?jì)算了復(fù)色光照明時(shí)的波長疊加效果。圖7（a）展示了尺度正態(tài)分布的水霧（平均直徑為0.6 mm、標(biāo)準(zhǔn)差SD=10%）在不同數(shù)量的波長照射下的散射強(qiáng)度以及彩虹效果。我們在380～700nm 范圍內(nèi)等間隔取N 個(gè)波長，并基于CIE1931XYZ色彩空間標(biāo)準(zhǔn)[14]合成了顏色。圖中曲線代表散射光強(qiáng)及合成顏色，上方的條形彩圖給出了視覺效果?？梢钥闯霎?dāng)波長數(shù)目N =3時(shí)，疊加出來的虹的內(nèi)側(cè)有彩色條紋。波長數(shù)目增加至10時(shí)，虹內(nèi)側(cè)的條紋光強(qiáng)對比度明顯下降，從視覺效果上看，“復(fù)虹”就不太明顯了。當(dāng)波長數(shù)量增加到100后，其效果與N=10的情況差異不大。

作為對比，圖7（b）展示了在白光 （380～700nm，100個(gè)波長） 照射下，散射效果隨平均直徑的變化。這里水滴尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差SD 都為10%。可以看出，水滴尺寸越小，條紋對比度越高，復(fù)虹效果越明顯。

這里的計(jì)算結(jié)果表明：（1）單色光照明時(shí)，無論大小水滴都會(huì)產(chǎn)生對應(yīng)于復(fù)虹的散射條紋，但尺寸越大，條紋越密集;（2）水滴尺寸分布越彌散，對應(yīng)于復(fù)虹的散射條紋越不明顯;（3）白光照明時(shí)，多波長的疊加效果是：尺度越小條紋越明顯，分布越集中條紋越明顯。這與之前的實(shí)驗(yàn)是一致的。

5 結(jié)語

本文對復(fù)虹現(xiàn)象的形成原因以及影響因素展開了系統(tǒng)的研究。我們在宏觀上實(shí)驗(yàn)觀測了復(fù)虹現(xiàn)象并統(tǒng)計(jì)了對應(yīng)的水滴尺寸分布，發(fā)現(xiàn)水滴尺寸小且分布集中時(shí)復(fù)虹現(xiàn)象更明顯，而尺寸較大且分布彌散時(shí)復(fù)虹現(xiàn)象減弱以至于消失。為了研究復(fù)虹現(xiàn)象的形成機(jī)理及影響因素，我們實(shí)驗(yàn)測量了單個(gè)水滴在單色光照射下的散射行為，獲得了散射光的角度分布及強(qiáng)度信息，得到照明波長、水滴尺寸等對虹與霓及其復(fù)虹的影響。同時(shí)我們還利用米氏散射理論進(jìn)行了定量計(jì)算，進(jìn)一步說明了水滴大小，尺寸分布以及多波長疊加對復(fù)虹的視覺效果的影響，理論分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，合理解釋了復(fù)虹的形成機(jī)理及影響因素。

參 考 文 獻(xiàn)

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