曾小玲 任芮彬 鄧科

摘 要 ???：本文研究了含相關(guān)色噪聲和周期方波信號(hào)的雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振（SR）.在絕熱極限條件下，本文利用統(tǒng)一色噪聲逼近（UCNA）法將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為相關(guān)高斯白噪聲驅(qū)動(dòng)的新雙穩(wěn)系統(tǒng)，給出其Fokker-Planck方程后基于雙態(tài)理論推導(dǎo)了系統(tǒng)信噪比（SNR）的表達(dá)式.本文分析了勢(shì)參數(shù)、噪聲參數(shù)及外力參數(shù)對(duì)信噪比的影響，發(fā)現(xiàn)對(duì)所有參數(shù)隨機(jī)共振均出現(xiàn). 本研究可望為實(shí)際應(yīng)用提供理論基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞 ：隨機(jī)共振； 相關(guān)色噪聲； 周期方波信號(hào)； 雙穩(wěn)系統(tǒng)

中圖分類號(hào) ：O29 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 ：A DOI ： ?10.19907/j.0490-6756.2023.041003

Stochastic resonance in a bistable system with correlated ?colored noises and periodic square wave signal

ZENG Xiao-Ling ?1， REN Rui-Bin ?2， ?DENG Ke ?1

（1. School of Mathematics， Sichuan University， Chengdu 610064， China；

2. College of Mathematics， Southwest Jiaotong University， Chengdu 611756， China）

Stochastic resonance （SR） in a bistable system with correlated colored noises and periodic square wave signal is explored. Given the adiabatic limit condition， the original system is transformed into a new bistable system driven by correlated white Gaussian noises by using the unified colored noise approximation （UCNA） method. Then the Fokker-Planck equation is given for the new system and exact expression for the signal-to-noise ratio （SNR） is deduced by virtue of the two-state theory. Finally， dependence of SNR on the system parameters， including the potenial paramaters， the noise parameters and the external force parameters， is analized. It is shown that SR appears for all parameters. The obtained results are expected to provide a theoretical basis for practical applications.

SR; Correlated colored noises; Periodic square wave signal; Bistable system

1 引 言

作為噪聲起建設(shè)性作用的例子，經(jīng)典隨機(jī)共振（Stochastic Resonance，SR）主要研究噪聲對(duì)弱信號(hào)（亞臨界信號(hào)）的放大作用 ?［1， 2］. 隨后，SR泛指與系統(tǒng)相關(guān)的量化指標(biāo)， 如信噪比（Signal-to-Noise Ratio， SNR），輸出增益（Output Gain， OG）等對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的非單調(diào)鐘形依賴. SR在物理、生物、化學(xué)及工程等領(lǐng)域均有應(yīng)用， 相關(guān)研究已有很多 ?［3-8］.

最初，SR研究多考慮高斯白噪聲（White Gaussian Noise， WGN）驅(qū)動(dòng)的單穩(wěn)、雙穩(wěn)或多穩(wěn)系統(tǒng). 然而，鑒于高斯白噪聲在自然界中并非真實(shí)存在，近年的研究逐漸轉(zhuǎn)向高斯色 噪聲（如Ornstein-Uhlenbeck噪聲 ?［9］和Mittag-Leffler噪聲 ?［10］） 以及非高斯噪聲（如Tsallis-Borland噪聲 ?［11］和Sine-Wiener噪聲 ?［12］）驅(qū)動(dòng)的單穩(wěn)、雙穩(wěn)或多穩(wěn)系統(tǒng). 當(dāng)加性噪聲和乘性噪聲有相同或相關(guān)來(lái)源時(shí)，兩種噪聲就被稱為相關(guān)噪聲.近年來(lái)，含相關(guān)噪聲的非線性系統(tǒng)的SR漸成研究熱點(diǎn)，如Qiao等 ?［13］研究了相關(guān)色噪聲驅(qū)動(dòng)的雙穩(wěn)系統(tǒng)的SR，評(píng)估了勢(shì)阱的深度和寬度對(duì)SR的影響，Brening等 ?［14］研究了乘性外噪聲引起的耦合系統(tǒng)的躍遷現(xiàn)象，Wang等 ?［15］研究了相關(guān)高斯色噪聲和非高斯噪聲對(duì)SR的影響，發(fā)現(xiàn)噪聲相關(guān)性能促進(jìn)SR，等.

另一方面，在SR研究中，除了正（余）弦信號(hào) ?［16-18］，周期方波信號(hào)也可以作為亞臨界信號(hào). 但令人奇怪的是，多數(shù)研究均使用正弦信號(hào)作為亞臨界信號(hào)，而很少使用周期方波信號(hào). 鑒于此，本文將研究含相關(guān)高斯色噪聲及周期方波信號(hào)的雙穩(wěn)系統(tǒng)的SR.周期方波信號(hào)不同于正弦信號(hào)之處在于其具有豐富的頻率成分，同時(shí)也是數(shù)字通信中的 常用信號(hào)之一 ?［19］. 因此，本研究具有潛在的應(yīng)用價(jià)值.

2 模 型

考慮如下含周期方波信號(hào)及相關(guān)乘性和加性色噪聲的過(guò)阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)

d x ?d t =- ?d U 0（x） ?d x +f（t）+xε（t）+η（t） ?（1）

勢(shì)函數(shù)

U 0（x）=- 1 2 aw 2x 2+ 1 4 bmx 4 ?（2）

U 0（x） 包含一個(gè)不穩(wěn)定點(diǎn) x ?un=0 和兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn) x ±= ± aw 2/bm ?.當(dāng) a=b=d 1 時(shí)，阱深為 D h= ?d 1w 4/4m ，寬度為 D w=2 w 2/m ?；當(dāng) a=1/d 2 2 ， ?b=1/d 2 ?4 時(shí)，阱深為 D h=w 4/4m ，寬度為 D w=2d 2 w 2/m ?.取定 w 2=m=1 ，用 d 1 來(lái)調(diào)整阱深， d 2 來(lái)調(diào)整阱寬，參見圖1.

此外， f（t）=c+vR（t）+uz（t） 是外力，其中周期方波信號(hào) R（t） 的周期為 T ，

R（t+T）=R（t）= 1， 0

z（t） 為雙態(tài)噪聲，以等概率取值±1，自相關(guān)率為 d ，即 〈z（t）z（s）〉= e ??-d|t-s|， ??c ， v ， u 為外力參數(shù).

在模型（1）中， ε（t） 是0均值乘性色噪聲， η（t） 是0均值加性色噪聲，滿足

〈ε（t）〉=〈η（t）〉=0，

〈ε（t）ε（s）〉= p τ ?1 ?e ??- |t-s| τ 1 ，

〈η（t）η（s）〉= q τ ?2 ?e ??- |t-s| τ 2 ，

〈ε（t）η（s）〉=2λ pq δ（t-s），

其中 p ， q 分別為噪聲 ε（t） ， η（t） 的強(qiáng)度， τ 1 ， τ 2 分別為 ε（t） ， η（t） 的自相關(guān)時(shí)間， 0<λ<1 為 ε（t） 和 η（t） 的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度.基于Jung和Hanggi建立的統(tǒng)一色噪聲近似（UCNA）方法 ?［20］， ε（t） ， η（t） 可以通過(guò)以下模型產(chǎn)生：

d ε（t） ?d t =- 1 τ 1 ε（t）+ 1 τ 1 ζ（t）， ??d η（t） ?d t =- 1 τ 2 η（t）+ 1 τ 2 θ（t） ??（4）

其中 ζ（t） 和 θ（t） 均為0均值高斯白噪聲，滿足

〈ζ（t）ζ（s）〉=2pδ（t-s），

〈θ（t）θ（s）〉=2qδ（t-s），

〈ζ（t）θ（s）〉=2λ pq δ（t-s）.

為求系統(tǒng)輸出的信噪比，令 y= ln （x） . 式（1）可以改寫為

d y ?d t =s+ 1 x η（t），

s=f 1（y）+ε（t）=

1 x ［- ?d U（x（y）） ?d x +f（t）］+ε（t），

d s ?d t =［f′ 1（y）- 1 τ 1 ］s+ f 1（y） τ 1 +

f′ 1（y） x η（t）+ ζ（t） τ 1 ???（5）

由絕熱消去理論 ?［21］，消去式（5）中的參數(shù) s 后可得

d x ?d t = 1 g（x，τ 1） ×

［- ?d U 0（x） ?d x +f（t）+xζ（t）+η（t）］ ?（6）

其中

g（x，τ 1）=1+τ 1U″ 0（x）- τ 1 x U′ 0（x）+ τ 1 x f（t）=

1+τ 1（-aw 2+3bmx 2）- τ 1 x ［-aw 2x+

bmx 3-f（t）］.

對(duì)式（6）再次應(yīng)用絕熱消去理論，可得如下含相關(guān)高斯白噪聲的方程：

d x ?d t = 1 g（x，τ 1，τ 2） ×

［- ?d U 0（x） ?d x +f（t）+xζ（t）+θ（t）］ ?（7）

其中

g（x，τ 1，τ 2）=1+（τ 1+τ 2）U″ 0（x）-

τ 1 x U′ 0（x）+ τ 1 x f（t）=1+（τ 1+τ 2）（-aw 2+

3bmx 2）- τ 1 x ［-aw 2x+bmx 3-f（t）］.

接著，由隨機(jī)等價(jià)規(guī)則 ?［22-25］將可將方程（7）改寫為

x′（t）=α（x）+β（x） Γ （t） ?（8）

其中

α（x）= -U′ 0（x）+f（t） g（x，τ 1，τ 2） ，

β（x）= ?px 2+2λ pq x+q ?g（x，τ 1，τ 2） ，

Γ （t） 是0均值高斯白噪聲， 〈 Γ （t） Γ （s）〉=2δ（t-s） . 方程（7）對(duì)應(yīng)的Fokker-Plank方程為

ρ（x，t） ?t =- ???x F（x）ρ（x，t）+ ??2 ?x 2 Q（x）ρ（x，t） ?（9）

其中

F（x）=α（x）+β（x） ?d （β（x）） ?d x = 1 g（x，τ 1，τ 2） ×

［aw 2x-bmx 3+f（t）］+ 1 2 Q′（x），

Q（x）=［β（x）］ 2= px 2+2λ pq x+q ?［g（x，τ 1，τ 2）］ 2 .

假定系統(tǒng)滿足絕熱近似條件 ?［26］，且周期方波信號(hào)的幅值足夠小 （v1） ，頻率足夠低（Ω =2π/T1） ，使得系統(tǒng)有足夠時(shí)間在一個(gè)方波周期內(nèi)松弛到局部平衡點(diǎn)，則系統(tǒng)的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)分布函數(shù)為

ρ ?st（x）= N ?Q（x） ??exp ［- U（x，t） p ］ ?（10）

其中 N 為歸一化常數(shù)， U（x，t） 為修正的勢(shì)函數(shù)，即

U（x，t）=-p∫ aw 2x-bmx 3+f（t） Q（x） ?1 g（x，τ 1，τ 2） ?d x=

∫ ［-aw 2x+bmx 3-f（t）］g（x，τ 1，τ 2） x 2+2λ r x+r ?d x，

r=q/p 是噪聲強(qiáng)度的比值.將 U（x，t） 進(jìn)行參數(shù)展開，得

U（x，t）=h 1（x）-h 2（x）f（t） ?（11）

其中

h 1（x）=∫ （-aw 2+k 0a 2w 4-τ 1a 2w 4）x+（3k 0b 2m 2-τ 1b 2m 2）x 5 x 2+2λ r x+r ?d x+

∫ （-3k 0aw 2bm+2aw 2bmτ 1+bm-bmaw 2k 0）x 3 x 2+2λ r x+r ?d x=

∫ ［-aw 2+（k 0-τ 1）a 2w 4］x+［bmaw 2（-4k 0+2τ 1）+bm］x 3+b 2m 2（3k 0-τ 1）x 5 x 2+2λ r x+r ?d x，

h 2（x）=∫ 1+k 0（-aw 2+3bmx 2）+2aw 2τ 1-2bmτ 1x 2 x 2+2λ r x+r ?d x，

k 0=τ 1+τ 2 .當(dāng)系統(tǒng)滿足絕熱近似條件且時(shí)間尺度 Tw ?-1 0 時(shí)（ w 0 代表系統(tǒng)（1）在無(wú)信號(hào)輸入狀態(tài)下的特征轉(zhuǎn)換率），粒子由 x + 所在的阱躍遷到 x - 所在的阱的躍遷概率及相應(yīng)的逆躍遷概率為

W ±（t）= ??U″ 0（x ±）U″ 0（x ?un） ??2π · ??exp ［ U（x ±，t）-U（x ?un，t） p ］ ?（12）

由雙態(tài)理論 ?［26］，設(shè) n ±（t） 分別表示處于穩(wěn)態(tài) x + 及 x - 的概率，則 n ±（t） 滿足方程

d n +（t） ?d t =- ?d n -（t） ?d t = ?W -（t）n -（t）-W +（t）n +（t） ?（13）

在絕熱近似條件下，由于雙態(tài)模型的局部平衡的確立要比躍遷概率間的交換快得多，則方程（13）的初始分布為

n +（t）= W -（t） W +（t）+W -（t） ， ?n -（t）= W +（t） W +（t）+W -（t） ??（14）

假設(shè)粒子在 t 1 時(shí)刻處于 x - ，而 t 時(shí)刻躍遷到 x + ，則其發(fā)生的概率密度函數(shù)為

n（x +，t|x -，t 1）=n +（t）+

W -（t）W +（t） ?［W +（t）+W -（t）］ 2n _（t） × exp ［-（W +（t）+

W -（t））（t-t 1）］ ?（15）

由馬爾科夫過(guò)程的一般理論 ?［27］，其概率密度函數(shù)為

n 1（x +，t|x -，t 1）=n +（t）n _（t 1）+

W -（t）W +（t） ?［W +（t）+W -（t）］ 2n _（t） n _（t 1）×

exp ［-（W +（t）+W -（t））（t-t 1）］ ?（16）

在絕熱近似的條件下，將式（16）中的指數(shù)函數(shù)變?yōu)?δ 函數(shù)可得

n 1（x +，t|x _，t 1）=n +（t）n -（t 1）+

2W -（t）W +（t） ?［W +（t）+W -（t）］ 3 ×δ（t-t 1） ?（17）

設(shè)系統(tǒng)的輸出為 h（t） ，則其自相關(guān)函數(shù)可以寫成

〈h（t）h（t 1）〉= W +（t）-W -（t） W +（t）+W -（t）

W +（t 1）-W -（t 1） W +（t 1）+W -（t 1） + 8W +（t）W -（t） ?［W +（t）+W -（t）］ 3

δ（t-t 1） ?（18）

對(duì)隨機(jī)過(guò)程 z（t） 和周期力 R（t） 進(jìn)行相位平均，由式（18）可得

K（t-t 1）=〈 W +（t）-W -（t） W +（t）+W -（t） ?W +（t 1）-W -（t 1） W +（t 1）+W -（t 1） 〉 ?z，R-〈 W +（t）-W -（t） W +（t）+W -（t） 〉 ?z，R〈 W +（t 1）-W -（t 1） ?W +（t 1）+W -（t 1） 〉 ?z，R+ ?〈 8W +（t）W -（t） ［ W +（t）+W -（t）］ 3 〉 ?z，Rδ（t-t 1） ?（19）

由于雙態(tài)噪聲和方波的取值都只有兩個(gè)值，則對(duì)任意的函數(shù) F 有

F［f（t）］= 1+z（t） 2 ?1+R（t） 2 F（c+v+u）+ ??1-z（t） 2 ?1-R（t） 2 F（c-v-u）+

1+z（t） 2 ?1-R（t） 2 F（c-v+u）+ 1-z（t） 2

1+R（t） 2 F（c+v-u）=F 0（c，v，u）+

F 1（c，v，u）R（t）+F 2（c，v，u）z（t）+

F 3（c，v，u）z（t）R（t） ?（20）

其中

F 0［c，v，u］= 1 4 ［F（c+v+u）+F（c-v-u）+

F（c-v+u）+F（c+v-u）］ ?（21）

F 1［c，v，u］= 1 4 ［F（c+v+u）-F（c-v-u）-

F（c-v+u）+F（c+v-u）］ ?（22）

F 2［c，v，u］= 1 4 ［F（c+v+u）-F（c-v-u）+

F（c-v+u）-F（c+v-u）］ ??（23）

F 3［c，v，u］= 1 4 ［F（c+v+u）+F（c-v-u）-

F（c-v+u）-F（c+v-u）］ ??（24）

這些系數(shù)具有如下的對(duì)稱性：

F 1（c，v，0）=F 2（c，0，u）=F 3（c，u，0）=

F 3（c，0，v）=0 ?（25）

對(duì)于關(guān)于 f（t） 的任意函數(shù) F ?（1） ， F ?（2） ，有

〈F ?（1）［f（t）］F ?（2）［f（0）］〉 ?z，R-

〈F ?（1）［f（t）］〉 ?z，R〈F ?（2）［f（0）］〉 ?z，R=

F 1 ?（1）（c，v，u）F 1 ?（2）（c，v，u） e ??-d t +

F 2 ?（1）（c，v，u）F 2 ?（2）（c，v，u）φ 0（t）+

F 3 ?（1）（c，v，u）F 3 ?（2）（c，v，u） e ??-d t

φ 0（t） ?（26）

其中

φ 0（t）= 〈R（0）R（t〉 ?R= 4 π 2 ∑ ∞ ?k=0 ?（2k+1） ?-2×

exp ［- j （2k+1） Ω t］， Ω = 2π T ??（27）

計(jì)算可得系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)為

K（t）=［B 1（c，v，u）+B 2（c，v，u）］ e ??-d t +

B 3（c，v，u）φ 0（t）+C（c，v，u）δ（t） ?（28）

其中

B 1（c，v，u）= 1 16 ［y（c+v+u）-y（c-v-u）+

y（c-v+u）-y（c+v-u）］ 2 ?（29）

B 2（c，v，u）= 1 16 ［y（c+v+u）+y（c-v-u）-

y（c-v+u）-y（c+v-u）］ 2 ?（30）

B 3（c，v，u）= 1 16 ［y（c+v+u）-y（c-v-u）-

y（c-v+u）+y（c+v-u）］ 2 ?（31）

C（c，v，u）= 1 4 ［c 1（c+v+u）+c 1（c-v-u）+

c 1（c-v+u）+c 1（c+v-u）］ ?（32）

y（t）= ?aw 2 bm ??W -（t）-W +（t） W +（t）+W -（t） ，c 1（t）=

8W +（t）W -（t） ?［W +（t）+W -（t）］ 3 ??（33）

對(duì)式（28）進(jìn)行傅里葉變換可得

S（w）=S（0）+B 3（c，v，u）φ 0（w） ?（34）

其中

S（0）= 2 d ［B 1（c，v，u）+B 2（c，v，u）］+

C（c，v，u） ?（35）

φ 0（w）= 8 π ∑ ∞ ?k=0 ?（2k+1） ?-2×δ［w-（2k+1） Ω ］ ?（36）

這里 S（0） 為噪聲的功率譜， B 3（c，v，u）φ 0（w） 為輸出信號(hào)的功率譜. 最終，SNR定義為信號(hào)頻率處信號(hào)功率與噪聲功率比值，即

SNR= 8 π ?B 3（c，v，u） C（c，v，u）+2［B 1（c，v，u）+B 2（c，v，u）］/d ??（37）

3 結(jié)果與分析

由式（37）可知，SNR與勢(shì)參數(shù) d 1 、 d 2 ，系統(tǒng)偏置 c ，方波信號(hào)振幅 v ，噪聲強(qiáng)度 p 和 q ，噪聲自相關(guān)時(shí)間 τ 1 和 τ 2 ，以及噪聲相關(guān)強(qiáng)度 λ 都有關(guān).本節(jié)將研究SNR對(duì)這些參數(shù)的依賴及SR是否存在.圖2～圖5示出了SNR對(duì) p 和 q 的非單調(diào)依賴，表明存在廣義SR.

3.1 SNR對(duì)勢(shì)參數(shù)的依賴

圖2a示出了不同勢(shì)參數(shù) d 1 與噪聲強(qiáng)度 p 下SNR的變化曲線，當(dāng) d 1 不變， p 增大時(shí)，SNR的值先增大后減小，出現(xiàn)SR.在圖2b中，SNR的峰值隨 d 1 的增大而減小，位置右移.圖2c示出了不同勢(shì)參數(shù) d 1 和噪聲強(qiáng)度 q 下SNR的變化曲線， 當(dāng) q 不變， d 1 增大時(shí)，SNR的值先增大后減小，SR出現(xiàn).在圖2d中，SNR的峰值隨 d 1 的增大而減小，位置右移.可見增大阱深會(huì)降低系統(tǒng)的SNR，且SR依賴于乘性和加性噪聲強(qiáng)度.

圖3a示出了SNR對(duì)勢(shì)參數(shù) d 2 與乘性噪聲強(qiáng)度 p 的依賴，當(dāng) d 2 不變， p 增大時(shí)，SNR的值先減小后增大再減小，出現(xiàn)反SR和SR.在圖3b中，隨 d 2 的增大，SNR的峰值逐漸增大，位置幾乎不變.圖3c示出了SNR對(duì)勢(shì)參數(shù) d 2 和加性噪聲強(qiáng)度 q 的依賴，當(dāng) q 不變時(shí)，SNR隨 d 2 的增大先增大后減小，SR出現(xiàn).在圖3d中，隨 d 2 增大，SNR的峰值逐漸增大，位置幾乎不變.可見增大阱寬度能提高SNR.

3.2 SNR對(duì)噪聲參數(shù)的依賴

圖4a，4b分別示出了不同噪聲自相關(guān)時(shí)間 τ 1 和 τ 2 下SNR對(duì)噪聲強(qiáng)度 p 及加性噪聲強(qiáng)度 q 的依賴，隨 τ 1 的增大，SNR的峰值增大，位置幾乎不變；隨著 τ 2 的增大，SNR的峰值及其位置均未發(fā)生明顯變化.圖4c，4d分別示出了不同噪聲關(guān)聯(lián)強(qiáng)度 λ 下SNR對(duì) p ， q 的依賴，隨 λ 的增大，SNR的峰值先逐漸減小后趨于穩(wěn)定，位置逐漸向左移動(dòng).可見 τ 1 可以提升SNR， λ 則降低SNR，而 τ 2 對(duì)SNR的影響不大.

3.3 SNR對(duì)外力參數(shù)的依賴

圖5a，5b分別示出了不同力參數(shù) c ， v 下SNR對(duì)乘性噪聲強(qiáng)度 p 及加性噪聲強(qiáng)度 q 的依賴，隨著 c 的增大，SNR的峰值逐漸增大，位置向左移動(dòng)，隨著 v 的增大，SNR的峰值逐漸增大，位置幾乎不變.可見增大周期外力可以提升SNR，與物理直觀相符.

4 結(jié) 論

本文研究了相關(guān)色噪聲和周期方波信號(hào)共同作用的雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振.研究表明，信噪比會(huì)隨著加性及乘性噪聲的強(qiáng)度的增大而先增后減，隨機(jī)共振出現(xiàn).在一定參數(shù)條件下，我們發(fā)現(xiàn)：增大阱寬度、周期力的振幅和乘性噪聲的自相關(guān)時(shí)間都能夠提升SNR；增大阱深度、噪聲關(guān)聯(lián)強(qiáng)度則會(huì)降低SNR；而加性噪聲的自相關(guān)時(shí)間對(duì)SNR的影響不大.

鑒于雙穩(wěn)系統(tǒng)、方波信號(hào)在工程等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，相信本研究對(duì)非線性動(dòng)力系統(tǒng)分析有重要參考價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

［1］ ??Lanzara E， Mantegna R N， Spagnolo B， ?et al . Experimental study of a nonlinear system in the presence of noise： the stochastic resonance ［J］. Am J Phys， 1997， 65： 341.

［2］ ?Wio H S， Lindenberg K. Noise induced phenomena： a sampler ［J］. Amer Inst Phys， 2003， 658： 1.

［3］ ?Das M， Kantz H. Stochastic resonance and hysteresis in climate with state-dependent fluctuations ［J］. Phys Rev E， 2020， 101： 62.

［4］ ?Ren R B， Deng K. Noise and periodic signal induced stochastic resonance in a Langevin equation with random mass and frequency ［J］. Physica A， 2019， 523： 145.

［5］ ?Rusconi M， Zaikin A， Marwan N， ?et al . Erratum： effect of stochastic resonance on bone loss in osteopenic conditions ［J］. Phys Rev Lett， 2008， 100： 128101.

［6］ ?Benzi R. Stochastic resonance： from climate to biology ［J］. Nonlinear Proc Geoph， 2010， 17： 431.

［7］ ?Tessone C J， Mirasso C R， Toral R， ?et al . Diversity-induced resonance ［J］. Phys Rev Lett， 2006， 97： 194101.

［8］ ?張廣麗， 呂希路， 康艷梅. α-穩(wěn)定噪聲環(huán)境下過(guò)阻尼系統(tǒng)中的參數(shù)誘導(dǎo)隨機(jī)共振現(xiàn)象［J］. 物理學(xué)報(bào)， 2012， 61： 8.

［9］ ?Gitterman M. Classical harmonic oscillator with multiplicative noise ［J］.Physica A， 2005， 352： ?309.

［10］ ?Yu T， Zhang L， Luo M K. Stochastic resonance in the fractional Langevin equation driven by multiplicative noise and periodically modulated noise ［J］. Phys Scripta， 2013， 88： 045008.

［11］ Wang Z X， Qiao Z J， Zhou L G， ?et al . Array-enhanced logical stochastic resonance subject to colored noise ［J］. Chinese J Phys， 2017， 55： 252.

［12］ Tian M Y， Wang C J， Yang K L， ?et al . Estimating the nonlinear effects of an ecological system driven by Ornstein-Uhlenbeck noise ［J］. Chaos Soliton Fract， 2020， 136： 109788.

［13］ Qiao Z J， Liu J， Ma X， ?et al . Double stochastic resonance induced by varying potential-well depth and width ［J］. J Franklin I， 2021， 358： 2194.

［14］ Brenig L， Banai N. Nonlinear dynamics of systems coupled with external noise： some exact results ［J］. Physica D， 1982， 5： 208.

［15］ Wang K K， Ju L， Wang Y J， ?et al . Impact of colored cross-correlated non-Gaussian and Gaussian noises on stochastic resonance and stochastic stability for a metapopulation system driven by a multiplicative signal ［J］. Chaos Soliton Fract， 2018， 108： 166.

［16］ Lin L F， Yan T， Ma H. Stochastic resonance in an over-damped linear oscillator ［J］. Chinese Phys B， 2014， 23： 080503.

［17］ Yu T， Zhang L， Ji Y D， ?et al . Stochastic resonance of two coupled fractional harmonic oscillators with fluctuating mass ［J］. Commun Nonlinear Sci， 2019， 72： 26.

［18］ Guo F， Wang X Y， Qin M W， ?et al . Resonance phenomenon for a nonlinear system with fractional derivative subject to multiplicative and additive noise ［J］. Physica A， 2021， 562： 125243.

［19］ Jin Y F. Stochastic resonance in an under-damped bistable system driven by harmonic mixing signal ［J］. Chinese Phys B， 2018， 27： 050501.

［20］ Jung P， Hnggi P. Dynamical systems： a unified colored-noise approximation ［J］. Phys Rev A， 1987， 35： 4464.

［21］ Tian M Y， Wang C J， Yang K L， ?et al . Estimating the nonlinear effects of an ecological system driven by Ornstein-Uhlenbeck noise ［J］. Chaos Soliton Fract， 2020， 136： 109788.

［22］ Wu D J， Cao L， Ke S Z. Bistable kinetic model driven by correlated noises： steady-state analysis ［J］. Phys Rev E， 1994， 50： 2496.

［23］ Cao L， Wu D J， Ke S Z. Bistable kinetic model driven by correlated noises： unified colored-noise approximation ［J］. Phys Rev E， 1995， 52： 3228.

［24］ Jia Y， Zheng X P， Hu X M， ?et al . Effects of colored noise on stochastic resonance in a bistable system subject to multiplicative and additive noise ［J］. Phys Rev E， 2001， 63： 31107.

［25］ Wang J， Cao L， Wu D J. Effect on the mean first passage time in symmetrical bistable systems by cross-correlation between noises ［J］. Phys Lett A， 2003， 308： 23.

［26］ Mcnamara B， Wiesenfeld K. Theory of stochastic resonance ［J］. Phys Rev A， 1989， 39： 4854.

［27］ Ginzburg S L， Pustovoit M A. Stochastic resonance in two-state model of membrane channel with comparable opening and closing rates ［J］. Phys Rev E， 2002， 66： 021107.