閆汶朋 汪志濤 袁曉

摘 要 ???：時(shí)間序列的相似性度量是時(shí)間序列聚類、分類以及其他相關(guān)時(shí)間序列分析的基礎(chǔ).傳統(tǒng)基于距離的相似性度量方法，忽視了時(shí)間序列可能存在的時(shí)間上的聯(lián)系，而將時(shí)間序列看作一系列孤立點(diǎn)的集合.對(duì)于序列間可能存在的前后聯(lián)系，基于分?jǐn)?shù)階微分的遺傳特性和記憶特性，提出一種新的時(shí)間序列聚類的相似性度量.根據(jù)時(shí)間序列的分?jǐn)?shù)階微分計(jì)算新序列間的點(diǎn)距離，將其作為聚類算法的輸入對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行聚類.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與基于原始序列矢量距離的聚類結(jié)果相比，新的分?jǐn)?shù)階相似性度量方法表現(xiàn)更好.

關(guān)鍵詞 ：時(shí)間序列； 聚類； 相似性度量； 分?jǐn)?shù)階微分

中圖分類號(hào) ：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 ：A DOI ： ?10.19907/j.0490-6756.2023.043004

Time series similarity measurement based on ?fractional differential and its application

YAN Wen-Peng， WANG Zhi-Tao， YUAN Xiao

（College of Electronics and Information Engineering， Sichuan University， Chengdu 610065， China）

Similarity measures of time series are the basis for time series clustering， classification and other related time series analysis. The traditional distance-based similarity measure ignores the possible temporal connections of time series and treats time series as a series of isolated point sets. For the possible backward and forward connections between sequences， a new similarity measure for time series clustering is proposed based on the genetic and memory properties of fractional order differentiation. The point distances between the new sequences are calculated based on the fractional order differentiation of the time series， and then are used as the input of the clustering algorithm to cluster the time series. The simulation experimental results show that the new fractional-order similarity measure performs better compared with the clustering results based on the original distances.

Time series； Cluster； Similarity measure； Fractional differential

1 引 言

時(shí)間序列作為一種隨時(shí)間順序變化的數(shù)據(jù)序列，通常具有數(shù)據(jù)量大、維度高、無(wú)限遞增、結(jié)構(gòu)復(fù)雜等特點(diǎn).近年來(lái)，面對(duì)日益龐大的時(shí)間序列數(shù)據(jù)集，人工標(biāo)記的成本日益增加，屬于無(wú)監(jiān)督、半監(jiān)督學(xué)習(xí)的時(shí)間序列聚類引起了越來(lái)越多研究者的興趣，并被廣泛應(yīng)用于金融學(xué) ?［1］、醫(yī)療診斷 ?［2，3］、工業(yè)生產(chǎn)控制 ?［4］和生物學(xué) ?［5］等.聚類通過(guò)將相似的數(shù)據(jù)放入相關(guān)或同質(zhì)的組中，將具有最小相似性的對(duì)象放入其他組中，已成為一種有用的數(shù)據(jù)分析方法.

對(duì)于時(shí)間序列的相似性研究，很多采用了歐幾里德距離或其演變，但基于矢量的歐式距離及其演變單純的將時(shí)間序列看做孤立點(diǎn)的集合，忽視了時(shí)間序列可能存在的時(shí)間上的聯(lián)系和關(guān)鍵點(diǎn)信息，對(duì)于序列在時(shí)間軸上的偏移也非常敏感，不具備形態(tài)識(shí)別能力.針對(duì)這些問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者們相繼提出了眾多的解決方法：廣泛應(yīng)用于語(yǔ)音識(shí)別領(lǐng)域的DTW ?［6］距離，通過(guò)把兩個(gè)時(shí)間序列進(jìn)行延伸和縮短，找到距離最短的扭曲距離；隱馬爾可夫模型，利用時(shí)間序列隱含的屬性（馬爾可夫性）提高聚類精度.近年來(lái)，王瑞等 ?［7］根據(jù)分段序列的斜率變化，劃分形態(tài)模式，把時(shí)間序列轉(zhuǎn)換成字符串序列.李海林等 ?［8］提出動(dòng)態(tài)時(shí)間彎曲與符號(hào)距離結(jié)合的時(shí)間序列距離度量方法，反映了時(shí)間序列數(shù)值分布和形態(tài)特征.Soleimani等 ?［9］定義了兩個(gè)相似性閾值并確定它們的值，提出了發(fā)展的最長(zhǎng)公共子序列（Developed Longest Common Subsequence，DLCSS），解決了LCSS很難確定正確的相似度閾值，導(dǎo)致結(jié)果較差的問(wèn)題.甄遠(yuǎn)婷等 ?［10］基于中心Couple函數(shù)捕獲時(shí)間序列的動(dòng)態(tài)相依結(jié)構(gòu)，采用Cramer-von Mises統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造了一種新的相似性度量.

本文提出一種基于分?jǐn)?shù)階微分的時(shí)間序列相似性度量，利用分?jǐn)?shù)階微分的遺傳效應(yīng)和記憶特性 ?［11］，對(duì)原始時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分計(jì)算，再根據(jù)傳統(tǒng)的點(diǎn)與點(diǎn)距離公式計(jì)算得到相似度，最后將其作為聚類算法的輸入完成時(shí)間序列的聚類.

2 分?jǐn)?shù)階微分理論基礎(chǔ)

分?jǐn)?shù)階微積分作為一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，近年來(lái)，已不斷在科學(xué)、工程等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，并被引入控制論、流體力學(xué)、信號(hào)處理及圖像處理等領(lǐng)域 ?［12-18］.對(duì)于某些特定的應(yīng)用，整數(shù)階微分并不能進(jìn)行很好的描述，需要借助分?jǐn)?shù)階微分以達(dá)到更精確的描述，如：流變本構(gòu)方程、分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)等.相對(duì)于整數(shù)階微分，分?jǐn)?shù)階微分可以提供比整數(shù)階微分更豐富的信息 ?［19］.

2.1 G-L分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義

分?jǐn)?shù)階微分有多種不同的定義形式，適合于數(shù)值計(jì)算 ?［20］的Grünwald-Letnikov（G-L）分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

GL ??a D ?α tf（t）= ?lim ??η→0 ?A ??（α） ηf（t），t∈ a，b ??（1）

A ???（α） ηf（t）=η ??-α∑ ∞ ?j=0 g ??（α） jf（t-jη） ?（2）

g α 0=1，g α j= 1- α+1 j ?g α ?j-1，j=1，2，… ?（3）

式（1）和式（2）中，D為分?jǐn)?shù)階微分算子； α （可取分?jǐn)?shù)）為運(yùn)算階數(shù)； t 表示時(shí)間序列當(dāng)前時(shí)刻； η 是采樣步長(zhǎng)； ?g ?（α） ?j 為二項(xiàng)式系數(shù)，可通過(guò)式（3）遞推求出.

可以看出，在計(jì)算分?jǐn)?shù)微分時(shí)，要用到時(shí)刻 t 之前所有的歷史數(shù)據(jù)，被加項(xiàng)數(shù)目變得非常大.對(duì)于時(shí)間序列，隨著數(shù)據(jù)量的增大，考慮所有歷史數(shù)據(jù)，分?jǐn)?shù)階微分的計(jì)算速度會(huì)隨之受到影響，因此，在實(shí)際計(jì)算中，根據(jù)分?jǐn)?shù)微分加權(quán)系數(shù)具有的較快衰減特性，使用短時(shí)記憶法則，只考慮時(shí)間序列當(dāng)前時(shí)刻近來(lái)的過(guò)去，即在區(qū)間 ?t-L， ?t ?的行為.

GL ??a D ??α tf（t）≈ ?t-L D ??α tf（t），t>a+L ?（4）

式（4）中， L 是記憶長(zhǎng)度.根據(jù)公式，具有下限 a 的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)可用具有移動(dòng)下限 t-L 的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)來(lái)逼近.但是，這樣的簡(jiǎn)化，在計(jì)算精度上會(huì)受到某些懲罰，對(duì)于 a≤t≤b ，若存在函數(shù) f（t）≤M ，則可利用式（4），由短時(shí)記憶原理所引起的誤差，建立估計(jì).

Δ ?= ???GL ??a D ??α tf（t）- ?t-L D ??α tf（t） ≤ ML ?-α ??Γ ?1-α ??，

a+L≤t≤b ??（5）

該不等式可以用來(lái)確定給定精度 ε 情況下的記憶長(zhǎng)度 L ，有

L≥ ??M ε ?Γ ?1-α ??????1 α ???（6）

A - ????（α） ηf（t）≈η ??-α∑ J ?j=0 g ??（α） jf t-jη ???（7）

式（7）中， J t-Jη≥0 ?表示計(jì)算 t 時(shí)刻序列點(diǎn)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)使用的非局域記憶點(diǎn)數(shù)，使用短時(shí)記憶原理，不考慮全部歷史數(shù)據(jù).

G-L定義適用于 α>0 和 α<0 的微分與積分，且當(dāng) α=0 時(shí)，有 D ??0 ?if i =f i ?，在時(shí)間序列處理中，可將初始時(shí)刻 a 看為0.

2.2 G-L分?jǐn)?shù)階微分的數(shù)值計(jì)算

式（1）也可寫為： ???GL ??a D ??α tf（t）=A ?（α） ηf（t）+ o ?η ?，當(dāng)選擇的采樣步長(zhǎng) η 足夠小時(shí)，式（1）中的求極限操作可以忽略，G-L定義的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)便可以由 ????GL ??a D ??α tf（t）≈ A ??（α） ηf（t） 直接計(jì)算，再結(jié)合短時(shí)記憶原理，減少計(jì)算過(guò)程.

與傳統(tǒng)的整數(shù)階微分只使用當(dāng)前和前幾個(gè)有限步長(zhǎng)內(nèi)的函數(shù)值相比，分?jǐn)?shù)階微分具有遺傳特性和記憶特性，涉及到 t 時(shí)刻序列點(diǎn)的前 J 個(gè)非局域記憶點(diǎn)序列值，可以捕捉時(shí)間序列的前后關(guān)系，與其他未將時(shí)間序列做相應(yīng)計(jì)算，把各序列點(diǎn)看作孤立存在的方法相比，分?jǐn)?shù)階微分（如圖1）考慮了時(shí)間序列的時(shí)間順序，使時(shí)間序列相似性的刻畫具有非局域的記憶特性.

對(duì)于精度損失的問(wèn)題，對(duì)比了通過(guò)分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)逼近式（1）與運(yùn)用短時(shí)記憶原理計(jì)算式（7）計(jì)算結(jié)果的區(qū)別（CBF訓(xùn)練集， α ?設(shè)置為0.01），如圖2所示.可以看出，利用短時(shí)記憶原理，在不同記憶點(diǎn)數(shù) J 的情況下，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)計(jì)算結(jié)果與逼近式計(jì)算結(jié)果接近完全重合，誤差可忽略不計(jì).

3 ?基于分?jǐn)?shù)階微分的時(shí)間序列相似性度量

給定兩個(gè)長(zhǎng)度為 n 的時(shí)間序列 x、y ，傳統(tǒng)的歐式距離 d ?E（ x，y ）= ?∑ ?n ?i=1（x ?i-y ?i） ??1/2 是時(shí)間序列聚類中最常用的相似度量.有研究表明，在時(shí)間序列分類精度上，歐式距離具有驚人的競(jìng)爭(zhēng)力 ?［21］，在諸多算法中都有廣泛的應(yīng)用.

時(shí)間序列由于具有先后順序，把時(shí)間序列各點(diǎn)看做孤立的存在并不合理，因此，需要考慮時(shí)間序列中可能存在的時(shí)間上的聯(lián)系，以達(dá)到更好的聚類效果.基于分?jǐn)?shù)階微分的時(shí)間序列相似度，對(duì)原始時(shí)間序列的每一點(diǎn)求其分?jǐn)?shù)階微分，可以看做計(jì)算一段序列的加權(quán)累計(jì)值.由于分?jǐn)?shù)階微分計(jì)算結(jié)果中某些數(shù)值較大，對(duì)其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，通過(guò)將所有數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)最小值的絕對(duì)值相加來(lái)轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)，使數(shù)據(jù)的最小值變?yōu)?，其他所有數(shù)據(jù)變?yōu)檎龜?shù)，再使用Z-Score標(biāo)準(zhǔn)化處理數(shù)據(jù).

D ?～ ?αx i= ?D ?αx i-μ σ ??（8）

式（8）， ?x ?i 表示時(shí)間序列的第 i 點(diǎn)數(shù)據(jù)；D ?～ ?αx i 表示時(shí)間序列各時(shí)間點(diǎn)的 ?α ?階分?jǐn)?shù)微分； μ 表示分?jǐn)?shù)階微分時(shí)間序列的均值； σ 表示標(biāo)準(zhǔn)差；D ?～ ?αx i 表示分?jǐn)?shù)階微分時(shí)間序列各點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)化后的值.

算法1描述了具體過(guò)程.輸入為時(shí)間序列各個(gè)時(shí)刻的函數(shù)值構(gòu)造的向量，第（1）行設(shè)定初始化步長(zhǎng)，（2）（3）行遞推計(jì)算二項(xiàng)式系數(shù)，（4）～（8）根據(jù)相應(yīng)的非局域記憶點(diǎn)數(shù) J 計(jì)算給定時(shí)間序列的分?jǐn)?shù)階微分值，最后，標(biāo)準(zhǔn)化返回結(jié)果.

算法1 ??偽代碼：分?jǐn)?shù)階微分

輸入： ?原始時(shí)間序列 ?T ?i= t ?1， t ?2，…， t ?n

輸出： ??標(biāo)準(zhǔn)化的分?jǐn)?shù)微分時(shí)間序列

（1） 初始化 η

（2） for ??j =2; ?j ??≤ len （t）; j ++ do

（3） ???ω← CalculateWeights（ ω ， α ）

end

（4） for ?i ?= 1; ?i ?≤ ?len（ t ）; ?i ++ do

（5） ?if ?i ??≥J ?then

（6） ???y ←CalFraDiff（ ω 1 ， f ??1， h ， α ）

（7） else

（8） ???y ←CalFraDiff（ ω 2 ， f ??2， h ， α ）

end

（9） return Standardization（ y ）

再通過(guò)處理后的序列計(jì)算歐式距離得到相似度，定義如下.

d ?α F（ x，y ）=（∑ n i=0 （ D ?～ ??ax ?i- D ?～ ??ay ?i） 2） ?1/2=

（∑ n i=0 （A ～ ??α ηx ?i-A ～ ??α ηy ?i） 2） ?1/2 ?（9）

式（9）， A α ηx i 和 A α ηy i 為時(shí)間序列各時(shí)間點(diǎn)的 α 階分?jǐn)?shù)微分計(jì)算表 達(dá)式（式2）； A ～ ?α ηx i 和 A ～ ?α ηx i 表示對(duì)其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化； d α F（ x，y ）為最終計(jì)算得到的相似度.

4 實(shí) 驗(yàn)

編譯工具Python3.9.8，操作系統(tǒng)Window11，CPU/AMD Ryzen 7 5800H with Radeon Graphics，主頻3.20 GHz，內(nèi)存16 GB，固態(tài)硬盤容量512 G.

4.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)方法

本文實(shí)驗(yàn)中用到的時(shí)間序列數(shù)據(jù)集為UCR時(shí)間序列數(shù)據(jù)庫(kù) ?［22］中收集的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)集，每個(gè)數(shù)據(jù)集包含一個(gè)訓(xùn)練集和一個(gè)測(cè)試集，具體信息如表1.

表1中， K 為聚類的數(shù)目; L 為時(shí)間序列的長(zhǎng)度; N 為數(shù)據(jù)集的訓(xùn)練集數(shù)目; M 為數(shù)據(jù)集的測(cè)試集數(shù)目.

對(duì)于分?jǐn)?shù)微分計(jì)算后的序列，在訓(xùn)練集上比較計(jì)算序列間歐式距離與改進(jìn)的DTW距離LB_Keogh作為聚類輸入的聚類準(zhǔn)確度與時(shí)間消耗，如圖3所示.

可以看出，計(jì)算兩個(gè)序列間的歐式距離作為K-Means聚類的輸入到完成聚類過(guò)程所需的時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于LB_Keogh距離作為聚類輸入所需的時(shí)間，且隨著時(shí)間序列數(shù)據(jù)量的增大，時(shí)間差異更加明顯.在聚類準(zhǔn)確度方面，兩種距離互有優(yōu)劣，因此，綜合考量時(shí)間與準(zhǔn)確度因素，選擇歐氏距離作為計(jì)算處理后序列間相似度的距離公式.

實(shí)驗(yàn)總體采用不同的距離度量，并通過(guò)K-Means聚類算法實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)間序列的聚類，同時(shí)也采用了層次聚類與基于u-shapelets的時(shí)間序列聚類算法 ?［23］進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗(yàn)，最后對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析.分?jǐn)?shù)微分歐式（Fractional Differentiation Euclidean， FDE）距離首先對(duì)數(shù)據(jù)集中的時(shí)間序列進(jìn)行 α 階分?jǐn)?shù)微分運(yùn)算，將其標(biāo)準(zhǔn)化后，再根據(jù)運(yùn)算后序列的歐式距離計(jì)算得到兩個(gè)時(shí)間序列的相似度，以此作為聚類算法的輸入完成聚類，并使用 R （Rand Index）評(píng)價(jià)聚類質(zhì)量.

R= a+d a+b+c+d ??（12）

式（12）中， a 為在實(shí)際類別中為同一類且在聚類結(jié)果中也為同一類的數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)數(shù); d 為在實(shí)際類別中不為同一類且在聚類結(jié)果中也不屬于同一類的數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)數(shù); b 為在實(shí)際類別中為同一類但在聚類結(jié)果中不屬于同一類的數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)數(shù); c 為在實(shí)際類別中不為同一類但在聚類結(jié)果中屬于同一類的數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)數(shù).

計(jì)算相似度時(shí)，記憶點(diǎn)數(shù) J 和階數(shù) α 的不同將會(huì)影響距離度量，并最終影響聚類質(zhì)量.圖4給出了單獨(dú)的不同 J 、 ?α 分別對(duì)于聚類質(zhì)量評(píng)價(jià)的影響.通過(guò)將式（6）計(jì)算得到的距離作為聚類算法 ?［24］的輸入，獲得了兩個(gè)變量 J、 ?α 對(duì)聚類質(zhì)量的影響（如圖5）.

為了確定最佳 J 、 α 值，本文通過(guò)在訓(xùn)練集中，觀察不同 J 和 α 對(duì)于聚類質(zhì)量評(píng)價(jià) R 的影響，再在測(cè)試集中，利用訓(xùn)練集得到的最佳 J ?、α 進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)取均值得到最終結(jié)果.

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

4.2.1 準(zhǔn)確度對(duì)比 ?對(duì)基于LB_Keogh距離、歐式距離、余弦距離、Pearson相關(guān)系數(shù)的K均值聚類、層次聚類 ?［25］、基于u-shapelets的時(shí)間序列聚類結(jié)果比較如表2所示，其中， J 、 α 分別為獲得的最佳記憶點(diǎn)數(shù)與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，Win一行標(biāo)明了采用5種不同的距離度量和聚類算法在21個(gè)數(shù)據(jù)集上取得最佳效果的數(shù)量.

從表2可知，在21個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)集中，本文提出的FDE距離分別在14個(gè)數(shù)據(jù)集、14個(gè)數(shù)據(jù)集、15個(gè)數(shù)據(jù)集、16個(gè)數(shù)據(jù)集上優(yōu)于基于余弦距離、LB_Keogh距離、歐氏距離、Pearson相關(guān)系數(shù)的K-Means聚類，在16個(gè)數(shù)據(jù)集上優(yōu)于層次聚類的結(jié)果，14個(gè)數(shù)據(jù)集上優(yōu)于基于u-shapelets的時(shí)間序列聚類.實(shí)驗(yàn)表明，雖然在不同的數(shù)據(jù)集上，基于各種距離的K-Means聚類、層次聚類和基于u-shapelets的時(shí)間序列聚類算法都能或多或少取得最佳的聚類效果，但是本文所提出的方法整體效果最佳.

4.2.2 運(yùn)行時(shí)間對(duì)比 ?歐式距離、DTW距離是常用的基于距離來(lái)衡量相似性的指標(biāo).FDE在歐氏距離的基礎(chǔ)上，增加了分?jǐn)?shù)微分的計(jì)算過(guò)程，對(duì)比FDE與此兩種距離作為K-Means聚類算法的輸入，并比較了層次聚類與基于u-shapelets的時(shí)間序列聚類算法在10個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)集上完成聚類操作所需的時(shí)間.結(jié)果如表3所示，可以看出，F(xiàn)DE在運(yùn)行時(shí)間上遜于基于歐幾里得距離的K-means聚類與層次聚類，大幅優(yōu)于基于LB_Keogh距離的k-means聚類和基于u-shapelets的時(shí)間序列聚類，具有更高的時(shí)間效率.

5 結(jié) 論

為了解決傳統(tǒng)的基于距離的相似性度量方法將時(shí)間序列矢量看作孤立點(diǎn)存在的問(wèn)題，本文提出利用時(shí)間序列的分?jǐn)?shù)階微分構(gòu)造新的時(shí)間序列，用構(gòu)造的新序列間的歐式距離計(jì)算相似度作為K-Means聚類算法的輸入完成聚類過(guò)程.

通過(guò)與基于傳統(tǒng)距離度量的K-Means聚類、層次聚類以及基于u-shapelets的聚類結(jié)果進(jìn)行比較，可以得出，本文方法相對(duì)于歐式距離簡(jiǎn)單快速的實(shí)現(xiàn)方式，犧牲了一些計(jì)算速度，在一定程度上提高了聚類準(zhǔn)確度.

后續(xù)研究中，我們可考慮以下兩個(gè)方面：（1） 對(duì)于時(shí)間序列先計(jì)算分?jǐn)?shù)階微分，再計(jì)算點(diǎn)距離計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)的問(wèn)題，可考慮第二次計(jì)算過(guò)程使用符號(hào)聚合近似、主成分分析等數(shù)據(jù)降維和特征表示方式來(lái)計(jì)算相似度，減少計(jì)算過(guò)程，以加快計(jì)算速度；（2） 利用深度學(xué)習(xí)，對(duì)獲得的新序列進(jìn)行特征提取、距離矩陣計(jì)算的自適應(yīng)權(quán)重等方式，以得到的更好的聚類結(jié)果.

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