文／王磊

從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間軸上看，通透了解數(shù)學(xué)模型，深度掌握解題方法，有效培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，遠(yuǎn)比會(huì)解一道題重要得多。下面，我們通過幾道例題，感受與三角形有關(guān)的四種數(shù)學(xué)模型。

一、“手拉手”模型的解題策略

“手拉手”模型的典型特征是兩個(gè)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)相互重合，通過旋轉(zhuǎn)等圖形變化后，可形成一些結(jié)論和規(guī)律。

例1如圖1，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°。D為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，連接AE、DE、DC，AE=CD。

求證：∠BAE=∠BCD。

圖1

【解析】本題中，要證明∠BAE=∠BCD，我們只需證明出△ABE≌△CBD即可。題干已經(jīng)告訴我們AB=CB、AE=CD、∠ABC=90°這三個(gè)條件，我們可以通過“HL”來證明。

其實(shí)，該模型可以探究的地方還有很多。比如AE與CD的位置關(guān)系（提示：AE⊥CD），這也是考試中常遇到的問題。同學(xué)們可以試著猜想和證明一下。

二、“動(dòng)點(diǎn)”問題的解題策略

“動(dòng)點(diǎn)”問題的難點(diǎn)就在于點(diǎn)位置的靈活性。遇到這類問題，只要根據(jù)“軸對(duì)稱的性質(zhì)”“兩點(diǎn)之間，線段最短”等知識(shí)，將動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)殪o態(tài)，就可巧妙地解決這類問題。

例2如圖2，在等邊三角形ABC中，AB=4，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，Q是BA邊上的動(dòng)點(diǎn)，H是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則△PQH周長(zhǎng)的最小值為________。

圖2

【解析】△PQH三條邊的長(zhǎng)度在不斷變化，這給我們的解題帶來了極大的困難。我們可以作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，以及點(diǎn)P關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)N，如圖3，則根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得到QP=QM，HP=HN。根據(jù)“等量代換”，得QP+PH+QH=QM+QH+HN。連接MN，根據(jù)公理“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知QM+QH+HN的最小值就是線段MN的長(zhǎng)，所以△PQH周長(zhǎng)的最小值為MN。當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，MN最小，MN=BC=6。

圖3

三、“一線三等角”問題的解題策略

“一線三等角”問題的特征是在一條線的同側(cè)或異側(cè)，有兩個(gè)全等或相似的三角形。在這樣的組合圖形中，蘊(yùn)含了成比例、相等、互余等關(guān)系。

例3如圖4，E是正方形ABCD的邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，EF⊥DE交BC于點(diǎn)F。

（1）求證：△ADE∽△BEF。

（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4，AE=x，BF=y。當(dāng)x取什么值時(shí)，y有最大值？并求出這個(gè)最大值。

圖4

【解析】（1）要證相似的這兩個(gè)三角形中，已知的條件有∠DAE=∠EBF=90°，那么只要得出另外一組對(duì)應(yīng)角相等即可。因?yàn)椤螦DE+∠DEA=90°，而∠AED+∠FEB=90°，所以∠ADE=∠FEB，如此就滿足了兩個(gè)三角形相似的條件。在（2）中，可用x表示出BE的長(zhǎng)，然后根據(jù)（1）中△ADE∽△BEF可得出比例關(guān)系式，然后就能得出一個(gè)關(guān)于x、y的函數(shù)表達(dá)式。根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值，最大值為1。

四、“瓜豆”問題的解題策略

“瓜豆”問題的特征就是一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)從動(dòng)點(diǎn)。從動(dòng)點(diǎn)受到某種條件的約束，跟著主動(dòng)點(diǎn)動(dòng)。當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)的軌跡與主動(dòng)點(diǎn)的軌跡相同或相似，且運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度的比和它們到定點(diǎn)的距離比相同。

例4如圖5，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=4，CD⊥AB于點(diǎn)D，P是CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為直角頂點(diǎn)向下作等腰直角△PBE，連接DE，求DE的最小值。

圖5

圖6

【解析】通過觀察和推理，我們可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條線段，也就是圖6的AF。當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E在A點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E在D的下方，且長(zhǎng)度等于CD。因此，DE的最小值就是Rt△ADF斜邊上的高，DE的最小值為2。