孔小軍

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)是一門抽象且復(fù)雜的學(xué)科. 若想讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，教師應(yīng)認(rèn)真地研究教材、研究教學(xué)、研究學(xué)生，從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，精心設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生在問題的引導(dǎo)下親身經(jīng)歷知識(shí)形成、發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用的過程，從而讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，提高學(xué)習(xí)品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 巧設(shè)問題;引領(lǐng)探究;過程;品質(zhì)

高中階段學(xué)生將學(xué)習(xí)很多概念、公式、定理等基本知識(shí)，若對這些基本知識(shí)僅限于單一的講授和機(jī)械式記憶，可能很難達(dá)到靈活應(yīng)用、融會(huì)貫通的效果. 另外，單一的講授和機(jī)械式記憶無法誘發(fā)學(xué)生深度思考，將影響學(xué)生思維能力的發(fā)展和學(xué)習(xí)能力的提升. 因此，教學(xué)中教師必須改變傳統(tǒng)的教學(xué)策略，想方設(shè)法地引領(lǐng)學(xué)生思考，拓展學(xué)生的思維，讓學(xué)生熟練地掌握知識(shí)、深刻地理解知識(shí). 問題作為思維的起點(diǎn)，是引發(fā)學(xué)生思考的動(dòng)力源，是激發(fā)學(xué)生潛能的助推器. 因此，教師應(yīng)關(guān)注問題的設(shè)計(jì)，借助有針對性的、啟發(fā)性的問題讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維能力獲得有效的發(fā)展和提升.

本文以“兩角差的余弦公式”的教學(xué)為例，從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，精心設(shè)計(jì)問題，在問題的驅(qū)動(dòng)下提升學(xué)生的“四基”，發(fā)展學(xué)生的“四能”，落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

教學(xué)分析

三角函數(shù)涉及的公式眾多，教學(xué)中若簡單地將公式拋給學(xué)生讓其記憶，也許學(xué)生能在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中熟記公式，并能運(yùn)用公式解決問題，但是隨著時(shí)間的推移，學(xué)生很容易遺忘，這樣勢必影響學(xué)生的解題效果. 因此，教學(xué)中教師要改變傳統(tǒng)的“講授”，多為學(xué)生創(chuàng)造一些獨(dú)自思考和合作交流的機(jī)會(huì)，以此讓學(xué)生在思考和交流中深入理解知識(shí)，提高教學(xué)的有效性.

“兩角差的余弦公式”是“三角恒等變換”這一章的基礎(chǔ)和教學(xué)出發(fā)點(diǎn)，其有著非常重要的意義. 在本節(jié)課教學(xué)前，學(xué)生已經(jīng)掌握了任意角三角函數(shù)的概念，本節(jié)課既是任意角三角函數(shù)的延伸，又是后續(xù)學(xué)習(xí)兩角和、差、倍、半角等公式的基礎(chǔ).

在教學(xué)中，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、探索和證明知識(shí)的過程，讓學(xué)生體驗(yàn)自主探索的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力，激發(fā)學(xué)生提出問題的意識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境

師：某市小山有一座電視發(fā)射塔，現(xiàn)欲求電視發(fā)射塔頂端距離地面的高度. 測量數(shù)據(jù)如下：如圖1所示，地面上有一點(diǎn)A，測得A，C兩點(diǎn)間的距離約為60米，從A點(diǎn)觀測到小山和電視發(fā)射塔頂端的角度分別為15°和45°. 思考一下，根據(jù)以上數(shù)據(jù)能否求出地面與電視發(fā)射塔頂端的距離BD呢？

問題給出后，學(xué)生很快就形成了解答思路，教師點(diǎn)名讓學(xué)生展示解答過程.

生1：在Rt△ABC中，=cos∠CAB. 因?yàn)椤螩AB=15°，AC=60，所以AB=60cos15°. 又在Rt△ABD中，=tan∠DAB，所以BD=60cos15°·tan60°=60cos15°.

師：你們也是這樣計(jì)算的嗎？

生2：我也是這樣計(jì)算的，但是感覺這個(gè)結(jié)果有問題——結(jié)果中出現(xiàn)了cos15°，這個(gè)到底是多少呢？

設(shè)計(jì)意圖 以上問題是非常熟悉的，學(xué)生能夠輕松地給出正確的解答過程并求得BD的長為60cos15°米，這樣自然能夠引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑：cos15°是多少呢？從而激發(fā)學(xué)生的探究欲，提高學(xué)生參與課堂的積極性.

2. 探索嘗試

師：剛剛生2提出的問題非常好，那么cos15°到底等于多少呢？

問題給出后，教師沒有直接給出求解過程和答案，而是鼓勵(lì)學(xué)生嘗試應(yīng)用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行推導(dǎo).

生3：cos15°=cos（45°-30°）=-=.

師：對嗎？如果按照這個(gè)規(guī)律計(jì)算，那么cos30°等于多少？

生3：cos30°=cos（60°-30°）=-=≠.

師：通過以上分析我們知道，cos（α-β）=cosα-cosβ不成立. 那么大家思考一下，cos（α-β）與sinα，sinβ，cosα，cosβ有沒有什么關(guān)系呢？

設(shè)計(jì)意圖 受思維定式的影響，推導(dǎo)時(shí)學(xué)生容易出現(xiàn)cos（α-β）=cosα-cosβ這樣的錯(cuò)誤. 在教學(xué)中，教師沒有直接否認(rèn)學(xué)生的結(jié)論，而是讓學(xué)生利用特值法去驗(yàn)證，使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)cos（α-β）=cosα-cosβ并不成立. 這樣讓學(xué)生通過探究自主糾正錯(cuò)誤，可以深化學(xué)生對錯(cuò)誤的理解，能夠有效避免錯(cuò)誤的再次發(fā)生. 同時(shí)，通過有效驗(yàn)證，能讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì).

3. 探究新知

師：兩點(diǎn)間的距離公式大家還記得嗎？已知P（x，y），P（x，y），P，P之間的距離是——

生齊聲答：.

師：很好，大家結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo)過程，看看能否找到計(jì)算cos（α-β）的方法呢.

為了便于學(xué)生探究、交流，教師精心設(shè)計(jì)了問題進(jìn)行引導(dǎo)：

如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中作單位圓，以x軸非負(fù)半軸為始邊分別作角α，β，α-β（α≠β+2kπ，k∈Z），它們的終邊分別交單位圓于點(diǎn)P，A，P，它們的坐標(biāo)如何表示？（學(xué)生積極思考、主動(dòng)交流）

生4：P（cosα，sinα），A（cosβ，sinβ），P（cos（α-β），sin（α-β））.

師：很好，如何將cosα，sinβ，sinα，cosβ，cos（α-β），sin（α-β）聯(lián)系起來呢？

生5：由已知可得，弧PA等于弧PA，故PA=PA. 由兩點(diǎn)間的距離公式可以推導(dǎo)出cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：非常好，若α=β+2kπ（k∈Z）時(shí)，易證. 故對任意角α，β都有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：現(xiàn)在你會(huì)求cos15°了嗎？

教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生自主解決教學(xué)初始提出的問題，以此進(jìn)一步深化學(xué)生對兩角差的余弦公式的理解.

師：觀察兩角差的余弦公式，說說它有什么結(jié)構(gòu)特點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 在探索新知的過程中，教師從學(xué)生的已有知識(shí)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式自主探尋兩角差的余弦公式，這樣借助舊知為新知探索架橋鋪路，有利于提升學(xué)生參與課堂的積極性. 同時(shí)，在新知探究的過程中，教師精心設(shè)計(jì)具有指向性的問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法探究問題，培養(yǎng)學(xué)生自主探索的能力. 在以上探索的過程中，教師以生為主，讓學(xué)生通過思考、探究得出結(jié)論，使學(xué)生在成功的體驗(yàn)中獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)力.

4. 例題講解

在教師耐心的啟發(fā)和指導(dǎo)下，學(xué)生通過自身不懈的努力得到了結(jié)論. 為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解和應(yīng)用兩角差的余弦公式，教師精心挑選了練習(xí)題：

練習(xí)題1：cos50°cos20°+sin50°·sin20°=______.

練習(xí)題2：cos（-15°）=______.

練習(xí)題3：化簡cos（α+45°）cosα+sin（α+45°）sinα.

設(shè)計(jì)意圖 以上三個(gè)練習(xí)題的難度不大，是兩角差的余弦公式的簡單應(yīng)用. 通過具體練習(xí)能讓學(xué)生注意到公式正向、逆向應(yīng)用，提高其思維的靈活性. 同時(shí)讓學(xué)生注意到，對于兩角差的余弦公式，α，β既可以是單角，也可以是復(fù)角. 這樣通過簡單的、多角度的探究能讓學(xué)生全面深刻地理解公式，優(yōu)化學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

教師完成前面三個(gè)練習(xí)題的評講后，為了進(jìn)一步提高學(xué)生分析和解決問題的能力，教師又設(shè)計(jì)了一個(gè)拓展題，以此幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化.

拓展題：已知α，β均為銳角，且sinα=，cosβ=，求α-β的值.

設(shè)計(jì)意圖 這是一道由值求角的拓展題，難度略有提升.這道題通過反向探究可以讓學(xué)生掌握解決此類題目的方法. 對于此類題目，學(xué)生解答時(shí)容易忽視角的范圍而產(chǎn)生增根，引發(fā)錯(cuò)誤. 教師可以學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，通過具體練習(xí)讓學(xué)生掌握解決此類題目的步驟，以此提高解題準(zhǔn)確率.

5. 課堂小結(jié)

此環(huán)節(jié)中教師應(yīng)為學(xué)生提供一個(gè)自由交流的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生通過互動(dòng)交流總結(jié)歸納本節(jié)課之所獲，進(jìn)而豐富學(xué)生的認(rèn)知體系，幫助學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

師：請大家談一談，本節(jié)課你有哪些收獲？

教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生反思回顧，之后互動(dòng)交流.

生6：掌握了兩角差的余弦公式.

生7：理解了兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程及相關(guān)應(yīng)用.

……

師：很好，看來大家收獲很多. 那么具體應(yīng)用公式解決問題時(shí)要注意些什么呢？

生8：要注意角的范圍.

設(shè)計(jì)意圖 通過反思回顧，可以加深學(xué)生對知識(shí)的記憶. 在本環(huán)節(jié)中，教師將總結(jié)歸納的機(jī)會(huì)留給了學(xué)生，并進(jìn)行了適度的補(bǔ)充，以此讓學(xué)生更加全面地理解知識(shí)，建構(gòu)完善的認(rèn)知體系.

教學(xué)思考

在教學(xué)中，教師應(yīng)從實(shí)際出發(fā)，精心設(shè)計(jì)生活情境，讓學(xué)生利用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)探索未知，并在探索中發(fā)現(xiàn)和提出問題，以此激發(fā)學(xué)生的探究欲以及學(xué)習(xí)興趣. 在本節(jié)課的教學(xué)中，教師重視激發(fā)學(xué)生的主體作用，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)平等、互動(dòng)的學(xué)習(xí)環(huán)境，帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)、提出、推導(dǎo)、應(yīng)用新知的過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí). 另外，在教學(xué)中，教師結(jié)合教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地分析問題，探究問題解決的途徑和方法，并幫助學(xué)生突破教學(xué)重難點(diǎn)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究的樂趣，激發(fā)學(xué)生的潛能，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).

總之，在新知探究中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去探索、去創(chuàng)造，以此讓學(xué)生掌握研究數(shù)學(xué)的方法和路徑，有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.