趙素敏

[摘 ?要] 運(yùn)算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)的要素之一，對學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展具有重要影響. 如何基于“三個理解”培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)呢？文章從“理解數(shù)學(xué)，將運(yùn)算融入知識結(jié)構(gòu)”“理解學(xué)生，讓學(xué)生親歷運(yùn)算過程”“理解教學(xué)，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣”三個方面展開分析，與同行交流.

[關(guān)鍵詞] 三個理解;理解數(shù)學(xué);理解學(xué)生;理解教學(xué)

章建躍博士在“中小學(xué)數(shù)學(xué)課程核心內(nèi)容及其教學(xué)的研究”中提出：改進(jìn)課堂教學(xué)需基于理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)（簡稱“三個理解”）實施[1]. 這個理念為如今的課程改革提供了明確的方向，對課堂教學(xué)具有指導(dǎo)意義. 筆者在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的過程中，踐行“三個理解”理念，獲得了不錯的成效.

理解數(shù)學(xué)，將運(yùn)算融入知識結(jié)構(gòu)

理解數(shù)學(xué)是指師生對數(shù)學(xué)知識的理解程度，這種理解并非單純理解數(shù)學(xué)知識本身或具備解題能力，更重要的是對數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生背景、形成過程與方法等有一個全方位的認(rèn)識，尤其對于知識的結(jié)構(gòu)、本質(zhì)、內(nèi)涵與外延等都一清二楚.

教師一旦理解了數(shù)學(xué)，就能明確教學(xué)方向、教學(xué)重點與難點，設(shè)計出科學(xué)、適切的教學(xué)方案;學(xué)生一旦理解了數(shù)學(xué)，就能用合理的方法去探索、研究學(xué)習(xí)內(nèi)容，為完善認(rèn)知體系奠定基礎(chǔ). 實踐發(fā)現(xiàn)，將運(yùn)算規(guī)律與法則等融入知識結(jié)構(gòu)是發(fā)展學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的前提.

案例1 “對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)”的教學(xué).

不少學(xué)生對“對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)”的掌握不夠牢固，對其適用范圍與運(yùn)算法則的應(yīng)用模糊，甚至有學(xué)生解題時自創(chuàng)出類似于“l(fā)og（M+N）=logaM+logaN”與“l(fā)ogaM·logaN=log（M·N）”的運(yùn)算公式.

想讓學(xué)生明晰對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，讓學(xué)生對其算法與算理有深入的理解以及應(yīng)用能力，第一步需要帶領(lǐng)學(xué)生了解“對數(shù)”的來龍去脈. 學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有加減乘除、乘方、開方等運(yùn)算法則，那么學(xué)習(xí)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)又是用來干什么的呢？這是進(jìn)入本節(jié)課的開篇思考，教師可以有意識地帶領(lǐng)學(xué)生探索這個問題，學(xué)生只要弄清楚其“前世今生”，就能對它產(chǎn)生生動、形象的認(rèn)識.

對數(shù)的產(chǎn)生與自然學(xué)科有著密不可分的聯(lián)系，尤其與天文學(xué)的發(fā)展相關(guān)，對數(shù)的出現(xiàn)簡化了這些領(lǐng)域中冗長煩瑣的運(yùn)算. 那么，對數(shù)的運(yùn)算究竟是什么樣的呢？基于學(xué)生對對數(shù)“前世”的初步認(rèn)識，遇到對數(shù)的“今生”用指數(shù)運(yùn)算推導(dǎo)其運(yùn)算性質(zhì)便水到渠成.

有些教師受傳統(tǒng)教學(xué)觀念的影響，在對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的教學(xué)中出現(xiàn)了“輕證明，重實操”的現(xiàn)象，這部分教師試圖通過大量重復(fù)的運(yùn)算訓(xùn)練靈活學(xué)生的思維，以便更好地達(dá)成教學(xué)目標(biāo). 殊不知，這種短時間內(nèi)高強(qiáng)度的運(yùn)算訓(xùn)練是引發(fā)學(xué)生“懂而不會”的根源——學(xué)生在課堂上聽懂了，做題也沒有問題，但在課后作業(yè)與小練中則漏洞百出.

究其主要原因，在于學(xué)生對公式的推理過程不甚了了，短期高強(qiáng)度的訓(xùn)練只是提高了短期內(nèi)的運(yùn)算速度，顯然這并不是長久之計. 學(xué)生沒有從源頭上理解知識本質(zhì)，更沒有親歷知識的形成與發(fā)展過程，那就談不上知識的自主建構(gòu)、內(nèi)化與升華，在后續(xù)需要應(yīng)用時，只能憑借“熟能生巧”的功夫進(jìn)行模仿，而“依葫蘆畫瓢”所呈現(xiàn)的結(jié)論只能是個“樣子”，無法達(dá)到真正意義上的理解與掌握，更無法長時記憶.

例1 若函數(shù)f（x）=（x≠1且x>0）.

（1）寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（2）如果2>xa對任意x∈（0，1）恒成立，則a的取值范圍是什么？

解析 問題（1）比較簡單，學(xué)生都能順利解答，此處略;不少學(xué)生看到問題（2）時，感覺難度較大，無從下手. 其實，若將問題（1）和問題（2）聯(lián)系在一起進(jìn)行分析，再結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系進(jìn)行思考，可將冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)化歸成對數(shù)函數(shù)，也就是根據(jù)ln2>lnxa這個條件，推導(dǎo)出ln2>alnx，再根據(jù)f（x）=分析化簡不等式ln2>alnx，從而設(shè)計出合理的運(yùn)算方式解題.

此過程對學(xué)生的思維能力與運(yùn)算素養(yǎng)提出了較高的要求，這需要教師在日常教學(xué)中有意識地引導(dǎo)學(xué)生注重對知識本質(zhì)的探索，當(dāng)遇到實際問題時才能從知識的內(nèi)部聯(lián)系出發(fā)，實現(xiàn)融會貫通.

值得注意的是，探索知識本質(zhì)的過程并不是完全忽略課堂上的強(qiáng)化訓(xùn)練與記憶，這兩者并不沖突. 想讓兩者很好地融合在一起，可從課堂授課出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生盡可能地自主探索并建構(gòu)概念，通過思考、推理，自主抽象出公式、法則等.

學(xué)生一旦對知識的來龍去脈有了明確的認(rèn)識，就能在大腦中建構(gòu)清晰的脈絡(luò)，那么在后續(xù)學(xué)習(xí)中才能成功地以舊引新，形成知識的正遷移，建構(gòu)完整的知識網(wǎng)絡(luò). 遇到運(yùn)算時，也能靈活利用化歸轉(zhuǎn)化等思想，為發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

理解學(xué)生，讓學(xué)生親歷運(yùn)算過程

理解學(xué)生是指教師對學(xué)生的知識基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)需求、潛能以及個體差異等都有一個明確的認(rèn)識，理解學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與規(guī)律，明晰學(xué)生學(xué)習(xí)過程中潛在的一些困難. 俗話說“知己知彼，才能百戰(zhàn)不殆”，學(xué)生是課堂教學(xué)主要的服務(wù)對象，是教學(xué)設(shè)計的依據(jù). 教師只有在充分了解學(xué)生的基礎(chǔ)上，做好教學(xué)診斷才能設(shè)計出符合學(xué)情的教學(xué)方案，讓學(xué)生在適切的教學(xué)中提高運(yùn)算素養(yǎng).

發(fā)現(xiàn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)是理解學(xué)生的關(guān)鍵步驟，想讓有限的課堂最大化地發(fā)揮教學(xué)成效，需要在充分尊重學(xué)生的基礎(chǔ)上與學(xué)生溝通、交流，通過師生、生生共同協(xié)作提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與運(yùn)算素養(yǎng)[2].

案例2 “解析幾何”的教學(xué).

解析幾何是高中階段的教學(xué)重點與難點問題，不少教師花費(fèi)了不少時間與精力與學(xué)生一起研究、探討，但學(xué)生總是呈現(xiàn)出“思路沒毛病，卻計算不出結(jié)果”的狀態(tài). 為了更好地掌握問題的根源，教師需要從學(xué)生的思維習(xí)慣與知識特點出發(fā)進(jìn)行剖析，了解學(xué)生的真實想法才能做好引導(dǎo)工作，讓學(xué)生有所突破，而不是一味地將運(yùn)算過程演示給學(xué)生看.

例2 如圖1所示，已知曲線C是由“部分橢圓C：+=1（a>b>0，同時y≥0）”與“部分拋物線C：y=-x2+1（y≤0）”連接而來，點A，B分別為C與C的公共點，為橢圓C的離心率.

（1）a，b的值分別是多少？

（2）已知過點B的直線l和C，C分別相交于點P，Q，且P，Q，A，B四點中的任意兩點都不重合，AP⊥AQ，寫出直線l的方程.

解析 （1）略.

（2）聯(lián)系問題（1）不難求出位于橫軸上方的橢圓方程為y2+2x2=2（y≥0）. 結(jié)合題意可知過點B的直線l的斜率不為零且存在，因此可設(shè)直線l的方程為x=my+1（m≠0），將該式代入橢圓C的方程，可得（2m2+1）y2+4my=0，獲得點P

，，很明顯m<0.

同樣，把x=my+1（m≠0）代入拋物線C的方程，獲得點Q

，-

. 因為AP⊥AQ，所以·=

+1·

+1-·=0，即8m2+2m=0，解得m=-，滿足m<0，由此可以確定直線l的方程為4x+y-4=0.

本題的直線l的方程存在兩種設(shè)法，除了上述設(shè)x=my+1（m≠0），還能設(shè)y=k（x-1）. 設(shè)y=k（x-1），是學(xué)生優(yōu)先選擇的一種方法，因為講授關(guān)于直線方程的幾種形式時，學(xué)生最開始接觸的就是這種方程，日常解題應(yīng)用中使用頻率也比較高.當(dāng)學(xué)生提出這種設(shè)法時，教師應(yīng)靜下心來與學(xué)生一起探討運(yùn)算過程，而非一口否定學(xué)生的想法.

方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解，大部分學(xué)生經(jīng)常聽到“設(shè)而不求”這個詞，至于這個詞所表達(dá)的實際意義卻不得而知. 結(jié)合本題來分析，已知直線l與橢圓C1的交點B，還有一個交點P雖然未知，卻能輕易地計算出來，因此設(shè)x=my+1（m≠0）不僅能減少運(yùn)算量，還能幫助學(xué)生理清解題思路，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣.

綜上分析后，筆者要求學(xué)生再次回顧本題的解答過程，通過類比分析拔高數(shù)學(xué)思維，為后續(xù)科學(xué)合理地?fù)袢∵\(yùn)算方法奠定基礎(chǔ)，同時能有效強(qiáng)化學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng). 因此，理解學(xué)生是教學(xué)設(shè)計與實施教學(xué)的重中之重，教師應(yīng)與每一個學(xué)生建立良好的關(guān)系，促使每一個學(xué)生都能在學(xué)習(xí)中獲得不同程度的發(fā)展.

理解教學(xué)，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣

理解教學(xué)是指教師本身對教學(xué)方法與教學(xué)藝術(shù)有著較高的造詣. 教師對數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)和功能、學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律以及教學(xué)原則等都有明確的認(rèn)識，可將“教”與“學(xué)”有機(jī)地融合在一起進(jìn)行思考、應(yīng)用，且能站到宏觀的角度來分析與處理課堂中存在或突發(fā)的一些問題.

雖說教師在課前會精心備課，做好充足的預(yù)設(shè)，但教學(xué)是一個動態(tài)的過程，并不是簡單地執(zhí)行預(yù)設(shè)那么簡單，課堂會隨著教學(xué)活動的推進(jìn)與深入不斷重新生成，因此課堂也是學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)與提升的過程[3]. 究竟該如何培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，讓學(xué)生在課堂中形成良好的運(yùn)算習(xí)慣呢？

教師若以課件直接演示運(yùn)算過程與結(jié)論，造成的后果就是“懂而不會”，想要培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)，最重要的就是理解教學(xué)，帶領(lǐng)學(xué)生掌握運(yùn)算規(guī)則與方法，切忌越俎代庖，讓學(xué)生在心算、筆算的過程中激活自己的思維，清晰解題思路. 同時，整潔的草稿也是提高運(yùn)算能力的關(guān)鍵，草稿紙上運(yùn)算完全正確，卻因字跡潦草導(dǎo)致謄寫錯誤的現(xiàn)象常有發(fā)生.

值得注意的是，學(xué)生的心理狀態(tài)也是培養(yǎng)運(yùn)算習(xí)慣的關(guān)鍵. 面對同一個問題，有學(xué)生打心眼里就畏懼它，那么解題必然困難重重;有學(xué)生相信自己一定能找出解題方法，能靜下心來耐心鉆研.

案例3 “平面向量”的單元教學(xué).

平面向量章節(jié)的運(yùn)算比較豐富，學(xué)生一不小心就容易出現(xiàn)各種運(yùn)算錯誤. 數(shù)學(xué)學(xué)科中的向量知識與物理學(xué)科中的矢量有一定的關(guān)系，將向量與速度、位移、力、加速度等的運(yùn)算進(jìn)行類比，能提高向量運(yùn)算效率.

如向量概念的抽象過程，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考“距離與位移之間的異同點”，讓“數(shù)量”概念進(jìn)行重現(xiàn)，再將數(shù)量與向量進(jìn)行類比分析;向量加法運(yùn)算的研究，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生將向量加法運(yùn)算與實數(shù)運(yùn)算的交換律、結(jié)合律等進(jìn)行類比;至于向量的數(shù)乘運(yùn)算，可與質(zhì)點做勻速直線運(yùn)動的位移進(jìn)行類比，當(dāng)抽象出數(shù)乘的運(yùn)算律后，要求學(xué)生思考：向量數(shù)乘與實數(shù)乘法的異同點.

以上類比過程為建構(gòu)向量的線性運(yùn)算體系奠定了一定的基礎(chǔ)，但還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，線性運(yùn)算體系的建構(gòu)還要以平面向量的基本定理來統(tǒng)領(lǐng)，其本質(zhì)為：平面上的任何向量都可以由兩個不共線的向量線性表示. 一旦認(rèn)識到這一點，學(xué)生對向量定理的理解、證明就有了較深刻的認(rèn)識.

從向量定理本身來說，其內(nèi)容與證明過程難度并不大. 問題主要在于定理的應(yīng)用，學(xué)生遇到實際問題時難以靈活應(yīng)用該定理來解決問題，同時對于向量定理具體能解決什么問題也沒有一個明確的認(rèn)識. 因此，教師應(yīng)注意例題的選擇，經(jīng)典例題往往是培育學(xué)生運(yùn)算能力的關(guān)鍵.

例3 如圖2所示，平行四邊形ABCD中的AB=8，AD=5，=3，·=2，求·的值.

解析 這是一道經(jīng)典例題，著重考查學(xué)生的運(yùn)算基本功. 從題設(shè)條件與待求結(jié)論來看，大部分信息都是圍繞向量與的，因此可以將這兩個向量視為一組基底，從平面向量的基本定理出發(fā)，將條件中的與都轉(zhuǎn)化成基底向量與，在此基礎(chǔ)上再稍作化簡，本題就能圓滿解決.

解題前期循循善誘的引導(dǎo)以及對向量知識的類比分析，能有效夯實學(xué)生的知識基礎(chǔ). 當(dāng)學(xué)生遇到實際問題時，則能從認(rèn)知結(jié)構(gòu)中快速抽象出問題的本質(zhì)，稍作處理即可輕松完成解題任務(wù). 由此可以看出，理解教學(xué)是促進(jìn)運(yùn)算素養(yǎng)發(fā)展的根本.

總之，“三個理解”指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)可謂“仁者見仁，智者見智”，只有從多角度進(jìn)行思考與實踐，才能撥開云霧見天日. 作為一線數(shù)學(xué)教師，應(yīng)不斷提升自身的業(yè)務(wù)水平與教學(xué)理念，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供肥沃的土壤.

參考文獻(xiàn)：

[1] 章建躍. “第六屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與展示活動”總結(jié)暨大會報告 發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量為學(xué)生謀取長期利益[J]. 中國數(shù)學(xué)教育，2013（Z2）：3-6+9.

[2] 羅增儒. 從數(shù)學(xué)知識的傳授到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（19）：2-7.

[3] 威廉·卡爾文. 大腦如何思維：智力演化的今昔[M]. 楊雄里，粱培基，譯.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2007.