山東省寧陽縣復圣中學(271400) 張志剛

一、試題呈現(xiàn)

題目(2023 屆高三第一次學業(yè)質(zhì)量評價(T8 聯(lián)考)第16題)已知雙曲線C:的左、右焦點分別是F1,F2,O為坐標原點,過F2作漸近線的垂線,垂足為P,若,則雙曲線的離心率為____;又過P作雙曲線的切線交另一漸近線于點Q,且?OPQ的面積則該雙曲線的方程是____.

本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系等,也考查邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象等數(shù)學核心素養(yǎng).

二、試題解答

首先,我們給出第一空的三種解法.

解法1(利用正弦定理建立a,b的關(guān)系式)易知F2(c,0)到漸近線的距離|F2P|=b.又在Rt?POF2中,|OF2|=c,故|PO|=a.設(shè)∠POF2=α,則在?POF1中,由正弦定理得,即,即,化簡得,從而.

解法2(利用余弦定理建立a,c的關(guān)系式)過F2(c,0)且與漸近線垂直的直線方程是從而解得交點在?POF1中,由余弦定理得

解法3(利用余弦定理建立a,b,c的關(guān)系式)同解法2 得在?F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2?2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2,即化簡得4b2=3a2+c2,從而.

第二空的解答

設(shè)切線PQ與雙曲線相切于點M(x0,y0),如圖1 示,由題意可設(shè)則.設(shè)∠POF2=α,則,

圖1

又易知過點M(x0,y0)的切線PQ方程是1,即,代入b2x2?a2y2=0,得

又點M(x0,y0)在C:上,故,即有,代入(?)式,有x2?2x0x+a2=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得,x1x2=a2,所以由題意得,聯(lián)立,解得該雙曲線的方程是.

三、試題推廣

將試題結(jié)論推廣到一般情形,并研究其逆命題,可得以下結(jié)論:

結(jié)論1若動直線l與雙曲線E:1(a>0,b>0)的兩條漸近線l1,l2交于A,B兩點(A,B分別在第一、四象限),O為坐標原點,則?OAB的面積是定值ab的充要條件是l與E有且只有一個公共點.

此結(jié)論揭示了雙曲線切線的一個性質(zhì):雙曲線的切線與兩漸近線所圍三角形面積為定值ab,該定值與兩交點的具體位置無關(guān),反之亦然.以上已給出充分性證明,下面證明必要性.

證明(必要性)當l⊥x軸時,又?OAB的面積S?OAB=ab,此時直線l的方程為x=a,l與E有且只有一個公共點.

當l不與x軸垂直時,設(shè)直線l的方程為y=kx+m設(shè)直線l與x軸的交點為C,如圖2示,則設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),將l的方程分別與和聯(lián)立得故?OAB的面積

圖2

此時l與E有且只有一個公共點.

綜上,當?OAB的面積是定值ab時,l與E有且只有一個公共點.

往年高考中也曾涉及上述問題.

例1(2014年高考福建卷理科第19 題)已知雙曲線的兩條漸近線分別為l1:y=2x,l2:y=?2x.

(1)求雙曲線E的離心率;

(2)如圖3,O為坐標原點,動直線l分別與直線l1,l2交于A,B兩點(A,B分別在第一、四象限),且?OAB的面積恒為8,試探究:是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E? 若存在,求出雙曲線E的方程;若不存在,說明理由.

圖3

解(1)由于雙曲線E的兩條漸近線分別為y=2x,y=?2x,所以.

當l⊥x軸時,|OC|=a,|AB|=2b=4a,?OAB的面積得a2=4,進而b2=16,此時雙曲線E的方程是.

下面證明:當l不與x軸垂直時,雙曲線也滿足條件.

設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k 2),則設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),將l的方程分別與y=2x和y=?2x聯(lián)立得,所以?OAB的面積

從而m2=4(k2?4).將l和雙曲線E的方程聯(lián)立,得(4?k2)x2?2kmx?m2?16=0,又4?k2<0,所以

即直線l與雙曲線E有且只有一個公共點.

綜上,存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E,且E的方程是.

事實上,由結(jié)論1 知,若存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E,則ab=8,聯(lián)立,解得a=2,b=4,此時雙曲線E的方程是.

結(jié)論1 中l(wèi)1,l2為雙曲線的兩條漸近線,若l1,l2演化為更一般的關(guān)于x軸對稱且交于原點的兩條直線,動直線l與l1,l2交于A,B兩點,當?OAB的面積為定值時,是否依然存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E呢?

結(jié)論2若動直線l與兩條直線l1:y=kx,l2:y=?kx交于A,B兩點(A,B分別在第一、四象限),O為坐標原點,線段AB的中點為P,若?OAB的面積是定值kλ2(λ>0),則動點P的軌跡是雙曲線E:,且l與E有且只有一個公共點.

證明設(shè)直線l的方程是x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),則

由已知,?OAB的面積

所以|x1x2|=λ2,即,所以t2=當A,B分別在第一、四象限時,,所以t2=λ2(1?k2m2),點P(x,y)的兩坐標分別滿足