長(zhǎng)沙市雷鋒學(xué)校(410217) 童繼稀

一、真題呈現(xiàn)與反思

例1(2022年新高考Ⅱ卷第10 題)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),過拋物線C:y2=2px(p >0)焦點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn),其中A在第一象限,點(diǎn)M(p,0),若|AF|=|AM|,則( )

A.直線AB的斜率為B.|OB|=|OF|

C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM <180?

解析如圖 1,易得且點(diǎn)A在FM的垂直平分線上,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo),代入拋物線方程解得,從而直線AB的斜率為√即A 正確.

圖1

將直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立,可得則解得代入拋物線方程解得則即B 錯(cuò)誤.

可得∠OAM為銳角,同理可得∠OBM為銳角,則∠OAM+∠OBM <180?,即D 正確.故選ACD.

從以上解析過程來看,題中的直線AB為定直線,四個(gè)選項(xiàng)都是利用兩個(gè)交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)來進(jìn)行驗(yàn)證的.由可知過原點(diǎn)的弦長(zhǎng)|OB|關(guān)于xB單調(diào)遞增,且|OB|∈(0,+∞),則中間會(huì)出現(xiàn)|OB|=|OF|,從而可以理解為選項(xiàng)B 的設(shè)置意圖,但該等式在本題中不成立.出于對(duì)選項(xiàng)C、D 特征的好奇心,引發(fā)了我們對(duì)以下3 個(gè)問題的思考.

問題1不等式|AB| >4|OF|中,為什么設(shè)置系數(shù)4?不等式∠OAM+∠OBM <180?是怎么來的?

問題2在拋物線中,如果直線AB是過拋物線焦點(diǎn)F的動(dòng)直線,那么選項(xiàng)C、D 中的兩個(gè)結(jié)論是否依然成立?

問題3如果將拋物線的頂點(diǎn)類比到橢圓(或雙曲線)中的一個(gè)頂點(diǎn),那么在橢圓與雙曲線中,是否有類似的性質(zhì)關(guān)系?

二、性質(zhì)推廣與探究

由拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線距離(簡(jiǎn)稱準(zhǔn)焦距)d=p=2|OF|,則選項(xiàng)C 可以理解為焦點(diǎn)弦長(zhǎng)大于準(zhǔn)焦距的兩倍.若退去拋物線背景,四邊形OAMB的特殊性體現(xiàn)在對(duì)角線OM被另一條對(duì)角線AB平分,不等式|AB| >4|OF|等價(jià)于|AB| >2|OM|,則選項(xiàng)C、D 可以理解為“在四邊形OAMB中比較對(duì)角線長(zhǎng)度、四個(gè)內(nèi)角的關(guān)系”.

如果直線AB是過拋物線焦點(diǎn)F的動(dòng)直線,那么我們可以得到以下一般性質(zhì):

性質(zhì)1已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),過拋物線C:y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M(p,0),則兩不等式|AB|≥4|OF|與∠OAM+∠OBM <180?恒成立.

證明當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),即方程為可求得|AB|=2p=4|OF|;當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)方程為聯(lián)立拋物線方程可得則從而故不等式|AB|≥4|OF|恒成立.由

可得∠OAM為銳角.同理可得∠OBM為銳角,則不等式∠OAM+∠OBM <180?恒成立.

從以上分析過程可發(fā)現(xiàn),僅當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)(此時(shí)弦長(zhǎng)|AB|稱為通徑),|AB|=4|OF|,則不等式|AB|≥4|OF|又可理解為“焦點(diǎn)弦中通徑最短”.而對(duì)不等式∠OAM+∠OBM <180?,根據(jù)條件F為線段OM的中點(diǎn),如圖2,我們以焦點(diǎn)為圓心,|OF|為半徑作圓F,與直線AB交于P,Q兩點(diǎn),則圓F與拋物線內(nèi)切于原點(diǎn),且∠OAM <∠OPM=90?,∠OBM <∠OQM=90?,∠AOB >∠POQ=90?,∠AMB >∠PMQ=90?.

圖2

因此,我們可以得到如下更細(xì)致的表達(dá):

推論已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),過拋物線C:y2=2px(p >0)焦點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M(p,0),則∠OAM與∠OBM為銳角,∠AOB與∠AMB為鈍角.

如果將拋物線的頂點(diǎn)類比到橢圓(或雙曲線)中的一個(gè)頂點(diǎn),那么在橢圓與雙曲線中,我們也可以得到類似的性質(zhì)關(guān)系.

在橢圓與雙曲線中,不失一般性,假設(shè)焦點(diǎn)在x軸,以右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)為例討論.

性質(zhì)2已知N為橢圓C:的右頂點(diǎn),過右焦點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M(2c?a,0),則

(1)|AB|≥2(e+1)|NF|;

(2)當(dāng)直線AB的斜率不為0 時(shí),∠NAM與∠NBM為銳角,∠ANB與∠AMB為鈍角.

證明當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),即方程為x=c,可求得.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y=k(x?c),聯(lián)立橢圓方程可得則有

由

如圖3,以焦點(diǎn)F為圓心,|NF|為半徑作圓F,與直線AB交于P,Q兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)M,則圓F與橢圓內(nèi)切于右頂點(diǎn).當(dāng)直線AB的斜率不為0 時(shí),|AF| >|PF|,結(jié)合中線定理,

圖3

則∠NAM <90?.同理可得,∠NBM <90?,即∠NAM與∠NBM為銳角.不難發(fā)現(xiàn)∠AMB >∠PMQ=90?,∠ANB >∠PNQ=90?,即∠ANB與∠AMB為鈍角.

在性質(zhì)2 的證明過程中,圓F內(nèi)切于橢圓時(shí),切點(diǎn)為右頂點(diǎn)(即離F最近的頂點(diǎn)).若圓F外切于橢圓,如圖4世紀(jì),則切點(diǎn)為左頂點(diǎn)(即離F最遠(yuǎn)的頂點(diǎn)).根據(jù)圖象,可得以下性質(zhì):

圖4

性質(zhì)3已知N為橢圓C:的左頂點(diǎn),過右焦點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M(2c+a,0).

(1)|AB|≥2(1?e)|NF|;

(2)當(dāng)直線AB的斜率不為0 時(shí),∠NAM與∠NBM為鈍角,∠ANB與∠AMB為銳角.

證明(1)如圖4,同性質(zhì)2 的證明,可得

(2)證明從略.

在雙曲線中,過焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于同一支時(shí),也有相同的結(jié)論如下:

性質(zhì)4已知N為雙曲線C:的右頂點(diǎn),過右焦點(diǎn)F的直線與C的右支交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M(2c?a,0),則

(1)|AB|≥2(e+1)|NF|;

(2)∠NAM與∠NBM為銳角,∠ANB與∠AMB為鈍角.

證明過程同性質(zhì)2 的證明,具體過程留給讀者完成.

注意到拋物線的離心率為1,我們可以發(fā)現(xiàn)性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)4 其實(shí)是同一種形式,自然我們還會(huì)考慮在圓中的情況.如果我們將圓心看成是圓的焦點(diǎn),那么不等式|AB|=2(e+1)|NF|(圓的離心率為0),即為直徑與半徑的關(guān)系,而所討論的四個(gè)角都為圓周角,即為直角.

三、結(jié)語

類比、歸納與推理是研究數(shù)學(xué)問題的常見方法,結(jié)論推廣其實(shí)就是類比和歸納的過程,也是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的落實(shí)過程.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 版2020年修訂)》指出,“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的育人價(jià)值在于通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系,積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”[1].如果能把這種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用在高考復(fù)習(xí)備考中,讓學(xué)生體驗(yàn)和經(jīng)歷已知數(shù)學(xué)命題的推廣過程,那么學(xué)生就能夠在新的情境中選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題,自然也就能達(dá)到提升高考復(fù)習(xí)備考效果的目的.