王雅萍，王生福，聶麟飛

(新疆大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

艾滋病醫(yī)學全名為獲得性免疫缺陷綜合征(Acquired Immune Deficiency Syndrome,AIDS),是一種危害性極大的傳染性疾病.自1981 年世界上發(fā)現(xiàn)第一例艾滋病病毒(Human Immunodeficiency Virus, HIV)感染者以來,AIDS 便以驚人的速度向全球蔓延,現(xiàn)已成為全球最大的公共衛(wèi)生問題之一.據(jù)聯(lián)合國艾滋病規(guī)劃署和世界衛(wèi)生組織2018 年公布的數(shù)據(jù), 全球約有3 950 多萬人感染艾滋病病毒, 因艾滋病死亡人數(shù)達290 多萬[1].

近年來各國都在加大力度預防和控制艾滋病的傳播,諸多學者也從不同角度出發(fā)建立了各類動力學模型,利用數(shù)學模型刻畫HIV/AIDS 的流行規(guī)律和流行趨勢.例如,文獻[2-3]提出了具有治療的HIV/AIDS 模型,用下一代矩陣方法定義了基本再生數(shù)并刻畫了HIV 傳播的全局動力學行為.文獻[4]利用隨機常微分方程建立了HIV 傳播模型, 證明了模型全局正解的存在唯一性, 給出了疾病滅絕和持續(xù)存在的充分條件.然而, 上述HIV 傳播動力學模型在數(shù)學建模時都對易感人群采用了同質(zhì)性假設,忽略了一些高危易感人群(如,血友病患者,吸毒者等)比普通易感人群更容易感染HIV, 這會導致所得到的結果可能會跟實際情況有一定的偏差.因此, 將易感人群分為普通易感人群和高危易感人群, 考慮具有不同感染率的HIV 傳播模型更具有現(xiàn)實意義.

此外, 在傳染病的傳播過程中, 倉室年齡, 如感染年齡、疫苗年齡等因素對疾病的傳播有著重要的影響.例如, 病原體在宿主之間的傳播率與其入侵宿主的時間長短密切相關.目前, 已有學者關注了這一問題, 如,Mccluskey[5]提出了具有潛伏年齡和感染年齡的傳染病模型, 證明了該模型解的漸近光滑性和一致持久性, 并通過構造Lyapunov函數(shù)研究了地方病平衡態(tài)的全局穩(wěn)定性, 其建模思想和研究方法被廣泛引用[6－8].

基于上述討論, 為更精準地描述HIV/AIDS 的傳播規(guī)律, 本文將易感人群分為高危易感人群和普通易感人群, 提出一類具有高危易感年齡和潛伏期年齡的HIV 傳播模型, 討論該模型無病平衡態(tài)和地方病平衡態(tài)的存在性和穩(wěn)定性以及疾病的持久性.

1 模型的建立和預備知識

將某個特定地區(qū)的人群分為五類: 普通易感類、高危易感類、潛伏類、感染類、治療類, 并分別用S1(t),S2(t,a), E(t,b), I(t), J(t)表示, 這里a, b 分別表示高危易感類和潛伏類的倉室年齡.基于艾滋病在不同人群間的傳播規(guī)律, 建立如下具有類年齡結構的HIV 傳播模型, 該模型由微分方程組

和

組成.這里, 參數(shù)Λh為人群的補充率; β1, β2(a)分別是艾滋病感染者對普通易感者和高危易感者的感染率系數(shù);p 是普通易感者由于沾染不良行為轉變成高危易感者的速率; ω(a)是高危易感者由于接受教育或改變自身行為等因素變?yōu)槠胀ㄒ赘姓叩谋嚷? θ(b)是HIV 潛伏者發(fā)展為艾滋病感染者的速率; κ 為因病死亡率; μ 為人口的自然死亡率.由于個體感染艾滋病后無法治愈, 所以γ 表示感染個體的治療率.

定理1 對任意的u0∈X0+, 模型(1)存在唯一的積分形式的連續(xù)解u(t).此外, 由Φ(t,u0)=u(t,u0)定義的映射Φ:[0,+∞)×XX 是一個連續(xù)的半流,即,映射Φ 是連續(xù)的且滿足Φ(0,·)=I(I是單位映射)和Φ(t,Φ(z,·))=Φ(t+z,·).

定理2 對任意t ≥0, 具有非負初始條件的模型(1)的解都是非負且最終有界的.

是模型(1)的正向不變集.

2 無病平衡態(tài)的存在性及穩(wěn)定性

利用下一代算子方法定義模型(1)的基本再生數(shù)為

關于模型(1)無病平衡態(tài)E0的穩(wěn)定性, 有下面的結論.

定理3 若R0＜1, 則E0是局部漸近穩(wěn)定的; 若R0＞1, 則E0是不穩(wěn)定的.

證明令S1(t)=S01+x1(t), S2(t,a)=S02(a)+x2(t,a), E(t,b)=x3(t,b), I(t)=x4(t), 在無病平衡態(tài)E0處對模型(1)進行線性化可得

這是矛盾的, 因此當R0＜1 時G(λ)=1 的所有根都具有負實部, 故E0是局部漸近穩(wěn)定的.

為討論無病平衡態(tài)的全局穩(wěn)定性, 我們需要以下引理.

引理1[10]若B : R+→R 是有界連續(xù)可微函數(shù), B∞= liminft→∞B(t), B∞= limsupt→∞B(t), 則存在序列{sn}和{tn}, 使得當n →∞時, 有sn→∞, tn→∞, 且B(sn)→B∞, B′(sn)→0, B(tn)→B∞, B′(tn)→0 幾乎處處.

3 地方病平衡態(tài)的存在性及穩(wěn)定性

若R0＞1, 則有F(0)＞0, 由連續(xù)函數(shù)零點存在定理可知, 至少存在一個I*＞0 使得F(I*)=0, 即當R0＞1 時存在地方病平衡態(tài).

綜合上述討論, 關于模型(1)地方病平衡態(tài)的存在性, 有下面的結論.

定理5 若R0＞1, 模型(1)存在地方病平衡態(tài)E*=(S*1,S*2(a),E*(b),I*).

為研究模型(1)地方病平衡態(tài)的全局性質(zhì), 需要證明疾病的一致持久性.為此, 定義

根據(jù)文獻[12], Y 和?Y 都是模型(1)的解半流Φ(t,x0)的正向不變集.

定理6 若R0＞1, 則模型(1)的解半流{Φ(t,x0)}t≥0關于(Y,?Y) 是一致持久的.即, 存在一個不依賴于初值的常數(shù)∈＞0, 使得對任意的x0∈Y, 有l(wèi)imt→∞‖Φ(t,x0)‖X≥∈.

證明首先證明E0在?～Y 上是全局漸近穩(wěn)定的.設(S10,S20(·),E0(·),I0) ∈?Y, 則(E0(·),I0) ∈?～Y.考慮模型(1)的子系統(tǒng)

由于limsupt→∞S1(t)≤Λh/μ, limsupt→∞S2(t,a)≤Λh/μ, 由微分方程比較原理, 對任意t ≥0, 有E(t,b)≤～E(t,b),I(t)≤～I(t), 其中(～E(t,b),～I(t))是下面系統(tǒng)的解

4 結論與展望

基于HIV 的傳播規(guī)律, 建立了一類具有高危易感年齡和潛伏期年齡的HIV 傳播模型, 利用下一代算子方法得到了基本再生數(shù)R0的精確表達式,并通過線性近似方法得到了當R0＜1 時無病平衡態(tài)是局部漸近穩(wěn)定的.進一步, 利用波動引理證明了當R0＜1 時無病平衡態(tài)是全局漸近穩(wěn)定的.最后, 證明了當R0＞1 時模型解的一致持久性, 并通過構造合適的Lyapunov函數(shù)證明了地方病平衡態(tài)是全局漸近穩(wěn)定的, 這也保證了地方病平衡態(tài)是唯一的.

臨床數(shù)據(jù)表明, HIV 感染者的傳染性與其病毒載量有關.病毒載量在感染HIV 后和艾滋病發(fā)展期這兩個時期被認為是較高的, 而在感染的潛伏期通常較低[14].本文為了進行必要的理論分析, 忽略了潛伏期HIV 感染者的傳染性, 這可能會造成一些誤差.因此, 建立并討論潛伏期具有感染能力的HIV 傳播模型是一個值得深入討論的問題.