廣東省東莞市東莞中學(xué)(523000)杭慧娟

2022 版新課程標(biāo)準(zhǔn)中提出,“在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析,幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.”而傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師采取的教學(xué)方式是按照教材知識(shí)點(diǎn)順序,一節(jié)一節(jié)地講,到了單元結(jié)束時(shí),再在復(fù)習(xí)課中建立起單個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系,即采取的是“部分—整體”的結(jié)構(gòu).但當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)新知之時(shí),學(xué)生不清楚為什么要學(xué)這些內(nèi)容,更不清楚這些內(nèi)容有什么用.根據(jù)布魯納的認(rèn)知結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)理論,學(xué)生在學(xué)習(xí)新知的過程中,如果能利用已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu),對(duì)新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行加工改造,理解新知與舊知之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系,學(xué)生能更容易理解學(xué)習(xí)的意義,學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)更加積極主動(dòng)進(jìn)行知識(shí)的遷移,也會(huì)更有效果.

章節(jié)起始課作為一個(gè)章節(jié)最開始的第一節(jié)課,我們需要教給學(xué)生什么? 如何構(gòu)建學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)? 章節(jié)起始課肩負(fù)著重要的作用.首先教師需要采取“整體—部分—整體”的教學(xué)結(jié)構(gòu),讓章節(jié)起始課能起到統(tǒng)領(lǐng)全章,一覽單元概貌的作用.筆者以“不等式與不等式組”章節(jié)起始課為例,談?wù)勅绾谓虝?huì)學(xué)生學(xué)習(xí),真正落實(shí)核心素養(yǎng),提升學(xué)生綜合素養(yǎng).

1 對(duì)本章內(nèi)容的分析

1.1 從大單元的角度來看

“不等式與不等式組”這章的學(xué)習(xí)內(nèi)容隸屬于代數(shù)單元,安排在人教版的七年級(jí)下冊(cè),這時(shí)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過“有理數(shù)”、“整式的加減”、“一元一次方程”、“實(shí)數(shù)”、“二元一次方程組”.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過了有理數(shù)以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算,學(xué)習(xí)過了用字母表示數(shù),以及根據(jù)列出的整式進(jìn)行整式的加減運(yùn)算,學(xué)習(xí)過根據(jù)問題中的相等關(guān)系列出等式,建立一元一次方程、二元一次方程(組)模型并應(yīng)用它們解決實(shí)際問題.而生活中的問題,不僅有等量關(guān)系,也存在大量的不等關(guān)系,教材中設(shè)置的不等式的學(xué)習(xí)思路和方程的幾乎完全一致,教學(xué)中需要幫助學(xué)生建立起方程與不等式的聯(lián)系.從大單元的角度來看,在代數(shù)單元,不等式起著承上啟下的作用.它既是對(duì)前面代數(shù)所學(xué)內(nèi)容的一個(gè)延伸,一個(gè)補(bǔ)充,更是對(duì)一個(gè)學(xué)習(xí)系統(tǒng)的完善,同時(shí)也為高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的知識(shí)打基礎(chǔ).

1.2 從內(nèi)容角度來看

本章的主要內(nèi)容包括:不等式及其解集,不等式的性質(zhì),一元一次不等式(組)及其相關(guān)的概念、解法及解集的幾何表示,利用一元一次不等式分析與解決實(shí)際問題.與方程的學(xué)習(xí)類似,不等式的概念部分、不等式的性質(zhì)是基礎(chǔ)知識(shí),解不等式以及將解集進(jìn)行幾何表示是基礎(chǔ)技能.教學(xué)重點(diǎn)是以不等式為工具,解決實(shí)際問題.本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)遵循“概念——解法——應(yīng)用”的結(jié)構(gòu).

1.3 從落實(shí)核心素養(yǎng)的角度來看

學(xué)生在學(xué)習(xí)完前面的代數(shù)內(nèi)容后,已經(jīng)建立了符號(hào)意識(shí),能感悟到從實(shí)際問題出發(fā),抽象出數(shù)學(xué)問題,用符號(hào)對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá).在不等式這章內(nèi)容中,學(xué)生需要進(jìn)一步從大量的實(shí)際問題中,通過用符號(hào)表示實(shí)際問題,從而得出一系列新的數(shù)學(xué)式子.這種從“實(shí)際問題——數(shù)學(xué)問題——解決問題”的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu),也是學(xué)生學(xué)習(xí)新知的一般途徑,對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)具有一定的指導(dǎo)性.

對(duì)比方程的學(xué)習(xí)過程,利用類比學(xué)習(xí)的方法,形成不等式章節(jié)的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu),這種類比的學(xué)習(xí)方法也能指導(dǎo)學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí).學(xué)生在起始課就了解到后續(xù)課程的大概學(xué)習(xí)內(nèi)容,也有助于學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí).

通過對(duì)大量實(shí)際問題中的關(guān)系的分析,發(fā)現(xiàn)兩類關(guān)系:相等關(guān)系和不等關(guān)系,再進(jìn)而對(duì)不等關(guān)系進(jìn)行分析,得到不等式,建立不等式模型,再對(duì)比等式的模型,有助于學(xué)生以更高的效率建立新的模型,并建立對(duì)新模型的認(rèn)識(shí).

2 章起始課的教學(xué)步驟和結(jié)構(gòu)

2022 版數(shù)學(xué)課程新標(biāo)準(zhǔn)中提出,教師要豐富教學(xué)方式,要重視單元整體教學(xué)設(shè)計(jì),要強(qiáng)化情境的設(shè)計(jì)與問題的提出.劉徽教授在對(duì)大概念(big idea)的研究中,提出“深度學(xué)習(xí)=真實(shí)性學(xué)習(xí),深度學(xué)習(xí)(真實(shí)性學(xué)習(xí))就是為未來學(xué)生能解決真實(shí)情境中的問題而學(xué)”.真實(shí)的學(xué)習(xí)情境對(duì)于落實(shí)核心素養(yǎng)有至關(guān)重要的作用,所以在章起始課中,教師從章節(jié)需要落實(shí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容和核心方法兩方面考慮,設(shè)置情境.比如,通過不等式章起始課的學(xué)習(xí),學(xué)生需要體會(huì)到不等關(guān)系與等量關(guān)系類似,是實(shí)際問題中常見的量與量之間的一種關(guān)系.等量關(guān)系用等式來表示,不等量關(guān)系用不等式來表示.為了達(dá)到這一目的,我們將學(xué)生的學(xué)習(xí)置身于平時(shí)的生活情境中.這些問題中,有相等關(guān)系,也有不等關(guān)系,旨在激發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)中喚起記憶,主動(dòng)建立新知識(shí)不等式與舊知識(shí)方程的聯(lián)系.

2.1 真實(shí)情境中,新舊知碰撞,發(fā)現(xiàn)認(rèn)知沖突

問題1小明飯卡里有25 元,拿著去小賣部買零食,拿了4 瓶單價(jià)4 元的純牛奶,加兩袋餅干后,發(fā)現(xiàn)卡里余額不夠.如果一袋餅干看作x元,你能用數(shù)學(xué)式子表示上述問題嗎?

追問如果他少買一瓶牛奶,加兩袋餅干后,錢正好花完.你又能得出什么式子?

問題2一輛有24 個(gè)座位的公交車原來載有乘客x人,車內(nèi)有空位.你能根據(jù)題意列出式子嗎?

追問如果到站后,又上來4 個(gè)人,座位正好夠坐.你能根據(jù)題意列出式子嗎?

問題3杭老師早上8 點(diǎn)騎共享單車從莞中出發(fā),去往距離學(xué)校6 千米遠(yuǎn)的黃旗山.如果杭老師在上午8 點(diǎn)40 分正好到達(dá)黃旗山正門.設(shè)我的速度為xkm/h,你能列出x滿足的關(guān)系式嗎?

追問如果小明同學(xué)也跟我同一時(shí)間,同一地點(diǎn)出發(fā),而他早上8 點(diǎn)40 分前就到達(dá)了黃旗山正門.設(shè)小明的速度為ykm/h,那y滿足的關(guān)系式是什么呢?

問題4一次測(cè)驗(yàn)結(jié)束后,兩個(gè)班長(zhǎng)相互調(diào)查對(duì)方的成績(jī).

李同學(xué)說:“這次我的數(shù)學(xué)不是滿分.”

駱同學(xué)說:“這次我的數(shù)學(xué)肯定不超過116 分,因?yàn)槲乙呀?jīng)錯(cuò)了一道填空題.”

如果把李的成績(jī)看作a,你能得到什么式子? 如果把駱的成績(jī)看作b,你能得到什么式子?

問題5根據(jù)這則新聞標(biāo)題,東莞5月2日當(dāng)天的氣溫t滿足什么式子?

學(xué)生在生活中遇到的真實(shí)問題情境中,用字母表示未知量,再根據(jù)題意中的兩類關(guān)系,列出式子,從而建立方程模型和不等式模型.

2.2 知識(shí)分類,建立橫向?qū)Ρ鹊玫叫轮拍?/h3>

問題6如果對(duì)以上的式子進(jìn)行分類,你要如何進(jìn)行分類? 你的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么?

問題7等式是對(duì)等量關(guān)系的一種描述,那么對(duì)不等關(guān)系進(jìn)行描述的式子應(yīng)該怎樣命名呢?

問題8不等關(guān)系、不等式處處可見,對(duì)比等式的概念,我們要如何給不等式下個(gè)定義?

追問1什么叫等式? 什么叫方程?

追問2什么叫不等式呢?

將等式與不等式放進(jìn)同一個(gè)細(xì)微的學(xué)習(xí)單元里,幫助學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建起方程與不等式的學(xué)習(xí)圈.學(xué)生主動(dòng)類比舊知等式和方程的概念,概括得到新知不等式的概念,并通過與舊知進(jìn)行對(duì)比,得到新概念的內(nèi)涵與外延.

2.3 縱向?qū)Ρ?得到新知的研究途徑與方法

問題9根據(jù)等式和方程的概念,我們得到了不等式的概念.我們研究方程和等式時(shí),還研究了它們的哪些內(nèi)容?

追問1我們是如何研究的?

追問2類比方程的研究過程,小組合作探究一下,我們要如何研究不等式呢?

學(xué)生先回顧舊知,可能在回憶時(shí),學(xué)生所想到的知識(shí)點(diǎn)是無序的,在學(xué)生回憶出知識(shí)點(diǎn)后,教師要引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)的先后順序,甚至可以引導(dǎo)學(xué)生思考,為什么按照這樣的順序進(jìn)行研究.

學(xué)生通過小組合作,通過與方程的學(xué)習(xí)類比,得到新知的研究過程,以及大致的研究途徑和研究方法,如圖1所示:

圖1

在章節(jié)起始課中搭建腳手架,為后續(xù)具體知識(shí)的學(xué)習(xí)引路,學(xué)生每學(xué)習(xí)一個(gè)新內(nèi)容都思考,“我在學(xué)什么? ”、“我為什么要學(xué)這個(gè)內(nèi)容? ”這樣的先行組織者很有必要.

2.4 進(jìn)一步類比和細(xì)化,得到本章的重要概念

問題10類比一元一次方程的概念,什么叫一元一次不等式?

問題11類比方程的解的概念,什么叫不等式的解?

問題12方程的解是____,你能找到符合不等式的解嗎?

追問1不等式的解與方程的解有什么聯(lián)系和不同?

追問2不等式的所有的解如何表示呢?

追問3你找到求一個(gè)簡(jiǎn)單不等式的方法了嗎?

問題13我們知道數(shù)學(xué)世界的語言有三種:文字語言、圖形語言和符號(hào)語言.數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng).方程的解x=9,在數(shù)軸上如何表示?

追問不等式的解集可以用符號(hào)表示為y ＞9,如何在數(shù)軸上表示呢?

通過與方程的解的類比,得到不等式的解的概念,再通過解的個(gè)數(shù)的不同,進(jìn)而再研究不等式的解與方程的解的不同:不等式的解有無數(shù)個(gè),如果將這無數(shù)個(gè)解集合在一起,就形成解的一個(gè)集合,從而得到解集的概念.再通過方程的解在數(shù)軸上的表示,類比得出不等式的解集如何在數(shù)軸上表示.

2.5 課堂鞏固新知,落實(shí)基本知識(shí)和基本技能

2.5.1 (基礎(chǔ)作業(yè))用不等式表示:

(1)a是負(fù)數(shù);(2)a是非負(fù)數(shù);(3)a與5 的和小于7;(4)a的4 倍大于-8;(5)a的相反數(shù)不超過6.

2.5.2 (技能作業(yè))直接寫出(3)-(5)的解集并把解集表示在數(shù)軸上.

2.5.3 (思維拓展作業(yè))你能否寫出一個(gè)不等式的解集,使得x=1 是不等式的解,而x=6 不是它的解?

2.6 課堂小結(jié),暢所欲言

請(qǐng)以“大家好,我是不等式……”開頭,根據(jù)本節(jié)課所學(xué)知識(shí),說一段關(guān)于不等式的自述.

3 章起始課中如何落實(shí)核心素養(yǎng)

3.1 教師理解章頭圖的教學(xué)指引,整體把握單元教學(xué)

教師研究教材,首先要厘清這章知識(shí)的學(xué)習(xí)順序,搭建教材教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)框架,然后思考,為什么這么學(xué)習(xí),換一下順序行不行? 這樣的思考,有助于促進(jìn)教師對(duì)教材編排順序的理解.其次研究教師用書.這本書在“教材分析”部分,有大量的對(duì)實(shí)際教學(xué)的指導(dǎo),以及教材為什么這么編排的說明.在教學(xué)單元起始課時(shí),特別要注意研究章引言和章頭圖.

在不等式這章中,章引言點(diǎn)出了實(shí)際生活中存在大量的等量關(guān)系和不等關(guān)系,還說明了學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的方法,點(diǎn)出了方程與本章學(xué)習(xí)內(nèi)容有密不可分的關(guān)系,要沿用方程的研究方法研究不等式的學(xué)習(xí).這些文字飽含著教材編制專家們的用心:他們希望一線教師理解數(shù)學(xué),理解教材的設(shè)計(jì)邏輯,了解數(shù)學(xué)核心,即數(shù)學(xué)一般性概念的教授方法.

3.2 科學(xué)定位,從學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā),建構(gòu)數(shù)學(xué)的概念系統(tǒng)

教師必須厘清數(shù)學(xué)教材的結(jié)構(gòu)和學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的辯證關(guān)系,站在“高處”整體布局,精心設(shè)計(jì)每一節(jié)課.本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)踐按照數(shù)學(xué)概念形成和發(fā)展的四個(gè)階段,調(diào)整了教材的結(jié)構(gòu),更符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律.第一階段,是新概念的產(chǎn)生,在學(xué)生的知識(shí)發(fā)展還不充分的前提下,通過創(chuàng)設(shè)生活中遇到的實(shí)際問題情境,引導(dǎo)學(xué)生思考探究,收獲不等式的概念的“雛形”;第二階段,是對(duì)新舊知的學(xué)習(xí)方法的類比,從而將新概念劃入一個(gè)已知的學(xué)習(xí)領(lǐng)域內(nèi),讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)學(xué)習(xí)腳手架,明確新知學(xué)習(xí)的意義;第三階段,是新概念的掌握和整合,在學(xué)生產(chǎn)生了不等式的概念基礎(chǔ)上,通過類比方程的解的概念,進(jìn)一步得到不等式的解及解集的概念,整合為概念域;第四階段,是概念的精化發(fā)展,此時(shí)學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)知進(jìn)入新的發(fā)展階段,通過不等式的解集由“數(shù)”到“形”的思維轉(zhuǎn)變,提升學(xué)生解決較難問題的關(guān)鍵能力.如此下來,學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念系統(tǒng)得以自然且高質(zhì)量地建構(gòu).

3.3 大單元有效整合,優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的加工系統(tǒng)

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn),學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程,實(shí)際上是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知的過程.“數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)按照自己的理解深度、廣度,結(jié)合著自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯(lián)想等認(rèn)知特點(diǎn),組成的一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu).”比如,在這節(jié)課中,類比把方程的解用點(diǎn)直觀地表示在數(shù)軸上,而不等式的解集由無數(shù)個(gè)這樣的點(diǎn)組成,點(diǎn)動(dòng)成線,就用帶方向的線表示在數(shù)軸上,學(xué)生通過類比,從知識(shí)的發(fā)展規(guī)律出發(fā)建構(gòu)知識(shí)體系.

如何在教學(xué)中優(yōu)化數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)? 從橫向看,加強(qiáng)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系和有效整合,如代數(shù)領(lǐng)域中的數(shù)與式、方程、不等式與函數(shù),幾何學(xué)習(xí)領(lǐng)域中的三角形、四邊形與圓,統(tǒng)計(jì)與概率等,促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)整體的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu);從縱向看,遵循學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展規(guī)律,啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從算術(shù)思維到代數(shù)思維、從實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何、從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的質(zhì)變,不斷深化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

在章起始課的教學(xué)中,核心素養(yǎng)的落實(shí)更為重要.學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是在發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程中主動(dòng)建構(gòu)起來的,教師應(yīng)有序地、整體地、系統(tǒng)地發(fā)揮主導(dǎo)作用,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和能力的發(fā)生與發(fā)展.