高子葉， 夏光瓊， 鄧濤， 林曉東，唐曦， 樊利， 吳正茂

1. 西南大學 物理科學與技術學院，重慶 400715；2. 西南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 400715；3. 西南大學 電子信息工程學院，重慶 400715

被動調(diào)Q固體激光器具有結構緊湊、 效率高、 光束質(zhì)量優(yōu)異、 脈寬窄和峰值功率高等優(yōu)點, 在基礎科學研究、 軍事、 工業(yè)加工和醫(yī)療衛(wèi)生等眾多領域有廣泛的應用前景． 例如, 徑向偏振調(diào)Q激光可用于各類金屬的鉆孔[1]; 高峰值功率和功率密度的調(diào)Q激光可以用于激光誘導等離子體點火[2]; 1 μm波段的調(diào)Q激光可用于治療痤瘡和黃褐斑[3]; 2.94 μm的調(diào)Q激光可消融牙本質(zhì), 從而用于牙科治療[4]． 對于這些應用來說, 除了需要考慮調(diào)Q激光的波長范圍、 偏振特性、 脈沖寬度、 脈沖能量、 脈沖峰值功率和重復頻率等之外, 通常也要求調(diào)Q激光的脈沖峰值功率具有良好一致性(即脈沖峰值功率不隨時間變化)． 因此, 目前關于被動調(diào)Q固體激光器的研究主要集中在激光器處于單周期振蕩動力學態(tài)． 而對于被動調(diào)Q固體激光器處于其他的非線性動力學態(tài)(即脈沖峰值功率隨時間變化)的研究相對較少． 在特定工作參數(shù)條件下, 被動調(diào)Q固體激光器可呈現(xiàn)一種特殊的非線性動力學態(tài)——脈沖混沌態(tài), 此時其輸出脈沖的峰值功率將隨時間呈現(xiàn)復雜的混沌變化趨勢． 相對于其他的混沌源而言, 基于被動調(diào)Q固體激光器產(chǎn)生的脈沖混沌激光具有更高的峰值功率, 將其應用到混沌雷達領域有望大幅度提高混沌雷達的作用距離． 因此, 對被動調(diào)Q固體激光器非線性動力學特性進行深入研究具有重要意義．

2003年, Tang等[5]實驗觀測到被動調(diào)Q Nd: YAG固體激光器表現(xiàn)出單周期、 倍周期以及脈沖混沌動力學態(tài), 并從速率方程出發(fā)數(shù)值模擬了不同泵浦速率下激光器對應呈現(xiàn)出的3種動力學態(tài); Wei等[6]實驗觀察到在不同泵浦功率下, 被動調(diào)Q Nd: YAG固體激光器呈現(xiàn)出單周期、 倍周期、 多周期和脈沖混沌動力學態(tài), 且處于不同動力學態(tài)時激光橫模數(shù)目不同; Ng等[7]實驗觀察到通過調(diào)節(jié)諧振腔, 被動調(diào)Q Nd: GdVO4和 Nd: YVO4激光器均可表現(xiàn)出單周期、 倍周期、 多周期和脈沖混沌動力學態(tài); Wei等[8]實驗觀測到被動調(diào)Q Nd: LuVO4固體激光器也可以呈現(xiàn)出單周期、 倍周期和脈沖混沌動力學態(tài), 并且處于脈沖混沌動力學態(tài)時伴隨著旁瓣脈沖的出現(xiàn); Yao等[9]實驗觀察到在較高泵浦功率下, 被動調(diào)Q Tm: YAP固體激光器輸出脈沖幅度變得混亂, 認為激光器進入了脈沖混沌動力學態(tài); Kovalsky等[10]實驗證明了被動調(diào)Q Nd: YAG固態(tài)激光器輸出脈沖間距具有不穩(wěn)定性, 并遵循確定性低維非線性動力學規(guī)律; Du等[11]實驗研究了被動調(diào)Q Tm, Ho: GdVO4固體激光器輸出脈沖具有不穩(wěn)定性, 并將其歸因于確定性低維非線性動力學引起的; Hong等[12]理論和實驗研究了被動調(diào)Q Nd: YVO4固體激光器輸出激光的脈沖寬度隨外部泵浦調(diào)制頻率的演化路徑; Bonazzola等[13-14]研究了激光橫模對被動調(diào)Q固體激光器非線性動力學態(tài)的影響, 并分析了極端事件(extreme events, EEs, 極端事件定義為脈沖峰值強度高于標準偏差的4倍)出現(xiàn)條件; Tsai等[15]實驗觀測到被動調(diào)Q Nd: GdVO4偏振固體激光器呈現(xiàn)出單周期和脈沖混沌動力學態(tài); Han等[16-17]實驗觀測到被動調(diào)Q Nd: Lu0.61Gd0.39VO4固體激光器表現(xiàn)出單周期和多周期動力學態(tài)． 2021年, 本課題組[18]實驗觀測到高重頻被動調(diào)Q Nd: LaMgAl11O19固體激光器呈現(xiàn)出單周期和脈沖混沌動力學態(tài), 并且分析了脈沖混沌激光的時間序列、 頻譜、 相圖、 自相關曲線和直方圖等． 上述報道針對被動調(diào)Q固體激光器的非線性動力學態(tài)開展了部分理論和實驗研究, 但是激光器的非線性動力學態(tài)隨著系統(tǒng)關鍵參量(如泵浦速率、 腔內(nèi)光子往返損耗、 腔內(nèi)光子往返時間等)變化的演化路徑還未見報道．

基于此, 本研究從四能級系統(tǒng)速率方程出發(fā), 利用四階龍格-庫塔法和自適應變步長法數(shù)值研究了被動調(diào)Q Nd: YAG固體激光器的非線性動力學特性, 分析了泵浦速率、 腔內(nèi)光子往返損耗、 腔內(nèi)光子往返時間等關鍵系統(tǒng)參量對被動調(diào)Q Nd: YAG固體激光器非線性動力學的影響． 數(shù)值模擬結果表明: 通過選取不同的關鍵參量數(shù)值, 被動調(diào)Q固體激光器可呈現(xiàn)單周期、 倍周期、 多周期以及脈沖混沌動力學態(tài); 連續(xù)變化其中一個關鍵參量的數(shù)值, 激光器的動力學態(tài)既可呈現(xiàn)出經(jīng)歷單周期、 倍周期、 多周期, 再進入脈沖混沌的演化路徑; 也呈現(xiàn)可經(jīng)歷脈沖混沌、 多周期、 倍周期, 再到單周期的演化路徑． 此外, 數(shù)值模擬結果呈現(xiàn)了處于脈沖混沌動力學態(tài)的被動調(diào)Q固體激光器出現(xiàn)極端事件的情形．

1 理論模型

Nd: YAG晶體具有優(yōu)良的機械和光學性能, 是常用于實現(xiàn)脈沖寬度窄、 峰值功率高、 脈沖能量大的近紅外調(diào)Q激光的固體增益介質(zhì)之一[19-22]． 在近紅外被動調(diào)Q固體激光器中, Cr: YAG晶體常作為可飽和吸收體使用． 因此, 本研究以Nd: YAG為激光增益介質(zhì), Cr: YAG為可飽和吸收體, Nd: YAG/Cr: YAG被動調(diào)Q固體激光器的四能級速率方程為[5]:

其中,φ為腔內(nèi)光子數(shù)密度;n2,n1,n0分別為Nd: YAG的上能級粒子數(shù)密度、 下能級粒子數(shù)密度和基態(tài)粒子數(shù)密度, 并且滿足n0+n1+n2=1.52×1020cm-3;ns和ns0分別為Cr: YAG的基態(tài)粒子數(shù)密度和初始粒子數(shù)密度;σe為Nd: YAG的受激發(fā)射截面;σa為Cr: YAG的吸收截面;γ21,γ20,γ10分別為Nd: YAG上能級到下能級的衰減速率、 上能級到基態(tài)的衰減速率、 下能級到基態(tài)的衰減速率;γs為Cr: YAG基態(tài)的衰減速率;lg為Nd: YAG的通光長度;ls為Cr: YAG的通光長度;c為光速;R為輸出鏡的反射率;L為腔內(nèi)光子往返損耗;tr為腔內(nèi)光子往返時間;Wp為泵浦速率． 采用四階龍格-庫塔法和自適應變步長法求解微分方程, 仿真參數(shù)見表1[5]．

表1 仿真參數(shù)

2 結果與分析

2.1 泵浦速率對被動調(diào)Q激光非線性動力學的影響

通常對于被動調(diào)Q固體激光器來說, 當增益介質(zhì)和可飽和吸收體的種類和通光長度固定后, 泵浦速率、 腔內(nèi)光子往返損耗、 腔內(nèi)光子往返時間是影響被動調(diào)Q固體激光器非線性動力學的關鍵系統(tǒng)參量． 為了研究泵浦速率對被動調(diào)Q固體激光器非線性動力學的影響, 將腔內(nèi)光子往返損耗和腔內(nèi)光子往返時間固定并分別設置為0.04和800 ps． 圖1和圖2分別為在不同泵浦速率下, 調(diào)Q激光的時間序列和相圖． 圖1為時間序列, 即調(diào)Q激光的強度隨時間的變化趨勢圖; 圖2為相圖, 即調(diào)Q激光的脈沖峰值功率(n+1)隨脈沖峰值功率(n)的變化趨勢圖． 圖1a和圖2a是泵浦速率為600.022 500 s-1的時間序列和相圖, 從時間序列圖中可以看出調(diào)Q激光峰值功率具有恒定強度, 同時相圖中只有一個點, 表明系統(tǒng)處于單周期態(tài)． 圖1b和圖2b是泵浦速率為600.022 550 s-1的時間序列和相圖, 從時間序列圖中可以看到調(diào)Q激光峰值功率具有2個數(shù)值并交替出現(xiàn), 同時相圖中出現(xiàn)了2個點, 表明系統(tǒng)處于倍周期態(tài)． 圖1c和圖2c是泵浦速率為600.022 590 s-1的時間序列和相圖, 從時間序列圖中可以看到調(diào)Q激光峰值功率具有4個數(shù)值并周期出現(xiàn), 同時相圖中出現(xiàn)了4個點, 表明系統(tǒng)處于四周期態(tài)． 圖1d和圖2d是泵浦速率為600.022 650 s-1的時間序列和相圖, 從時間序列圖中可以看到調(diào)Q激光峰值功率具有多個數(shù)值且無規(guī)律, 同時相圖中出現(xiàn)了一條線[23], 表明系統(tǒng)處于脈沖混沌態(tài)．

圖1 不同泵浦速率下, 被動調(diào)Q激光的時間序列

為了進一步研究激光器動力學態(tài)的演化路徑, 數(shù)值模擬了調(diào)Q激光的脈沖峰值功率隨泵浦速率變化的分岔圖(圖3)． 圖3a是泵浦速率從600.022 500 s-1到600.022 700 s-1變化時, 激光器的動力學狀態(tài)歷經(jīng)單周期、 倍周期、 多周期, 然后進入脈沖混沌態(tài), 表明系統(tǒng)是經(jīng)倍周期分岔路徑進入脈沖混沌． 圖3a中黑色虛線右側調(diào)Q激光的脈沖峰值功率表現(xiàn)出無界性, 此時調(diào)Q激光部分峰值功率會出現(xiàn)一些較高的數(shù)值, 表明此時出現(xiàn)了極端事件[13]． 圖3b是泵浦速率從609.100 365 s-1到609.100 455 s-1變化時, 激光器的動力學態(tài)呈現(xiàn)出由脈沖混沌態(tài)到單周期態(tài)的演化路徑． 圖3b中黑色虛線左側部分表明調(diào)Q激光處于脈沖混沌態(tài)時也出現(xiàn)了極端事件．

圖2 不同泵浦速率下, 被動調(diào)Q激光的相圖

圖3 調(diào)Q激光峰值功率隨泵浦速率變化的分岔圖

2.2 腔內(nèi)光子往返損耗對被動調(diào)Q激光非線性動力學的影響

通常對于被動調(diào)Q激光器來說, 腔損耗主要包括了耦合損耗(輸出鏡反射率)、 隨機損耗(散射、 衍射和吸收等)以及可飽和吸收體的殘余吸收損耗等． 耦合損耗是輸出鏡引入的損耗; 隨機損耗是光子在腔內(nèi)往返過程中由于散射、 衍射和吸收等引入的損耗; 可飽和吸收體的殘余吸收損耗主要取決于可飽和吸收體的初始透射率． 當輸出鏡以及可飽和吸收體的參數(shù)固定時, 通過調(diào)節(jié)諧振腔腔鏡的傾角可改變隨機損耗, 可以控制輸出激光的非線性動力學態(tài)． 基于此, 對腔內(nèi)光子往返損耗對被動調(diào)Q激光非線性動力學的影響開展了研究． 本研究中的腔內(nèi)光子往返損耗(L)是指隨機損耗． 為了研究腔內(nèi)光子往返損耗對被動調(diào)Q激光非線性動力學的影響, 將泵浦速率和腔內(nèi)光子往返時間分別設置為600 s-1和800 ps． 圖4和圖5分別為在不同腔內(nèi)光子往返損耗下, 調(diào)Q激光的時間序列和相圖． 當腔內(nèi)光子往返損耗為0.048 84,0.048 86,0.048 87,0.048 88時, 調(diào)Q激光的時間序列和相圖如圖4a和圖5a、 圖4b和圖5b、 圖4c和圖5c、 圖4d和圖5d所示, 表明調(diào)Q激光工作在單周期、 倍周期、 多周期和脈沖混沌態(tài)．

圖4 在不同腔內(nèi)光子往返損耗下, 被動調(diào)Q激光的時間序列

圖5 在不同腔內(nèi)光子往返損耗下, 被動調(diào)Q激光的相圖

為了進一步分析激光器動力學狀態(tài)的演化路徑, 數(shù)值模擬了調(diào)Q激光峰值功率隨腔內(nèi)光子往返損耗變化的分岔圖(圖6)． 圖6a是腔內(nèi)光子往返損耗從0.036 43到0.036 51變化時, 激光器呈現(xiàn)出從脈沖混沌態(tài)到單周期態(tài)的演化路徑; 圖6b是腔內(nèi)光子往返損耗從0.048 83到0.048 91變化時, 激光器呈現(xiàn)出由單周期態(tài)進入脈沖混沌態(tài)的倍周期分岔路徑． 另外, 圖6a和圖6b中黑色虛線左側和右側部分也出現(xiàn)了極端事件．

圖6 調(diào)Q激光峰值功率隨腔內(nèi)光子往返損耗變化的分岔圖

2.3 腔內(nèi)光子往返時間對被動調(diào)Q激光非線性動力學的影響

對于被動調(diào)Q固體激光器來說, 增益介質(zhì)、 可飽和吸收體、 諧振腔的長度共同決定了腔內(nèi)光子往返時間． 當增益介質(zhì)和可飽和吸收體的長度固定時, 通過調(diào)節(jié)諧振腔的長度可調(diào)節(jié)腔內(nèi)光子往返時間． 為了數(shù)值模擬腔內(nèi)光子往返損耗對被動調(diào)Q激光非線性動力學的影響, 將泵浦速率和腔內(nèi)往返損耗分別設置為600 s-1和0.04． 圖7和圖8是在不同腔內(nèi)光子往返時間下, 調(diào)Q激光的時間序列和相圖． 當腔內(nèi)光子往返時間為800.772 000,800.771 000,800.770 940,800.770 820 ps時, 調(diào)Q激光的時間序列和相圖見圖7和圖8, 說明被動調(diào)Q激光器的動力學狀態(tài)呈現(xiàn)為單周期、 倍周期、 多周期以及脈沖混沌態(tài)．

圖7 不同腔內(nèi)光子往返時間下, 被動調(diào)Q激光的時間序列

圖8 不同腔內(nèi)光子往返時間下, 被動調(diào)Q激光的相圖

為了進一步研究腔內(nèi)光子往返時間對被動調(diào)Q激光器非線性動力學的影響, 本研究數(shù)值模擬了調(diào)Q激光峰值功率隨腔內(nèi)光子往返時間的演化路徑(圖9)． 圖9a和圖9b是腔內(nèi)光子往返時間在799.567 300～799.567 700,800.770 700～800.772 100 ps范圍內(nèi), 激光器表現(xiàn)出單周期態(tài)進入脈沖混沌態(tài)的倍周期分岔路徑以及由脈沖混沌態(tài)到單周期態(tài)的演化路徑． 圖9a黑色虛線右側部分和圖9b黑色虛線左側部分表明出現(xiàn)了極端事件．

圖9 調(diào)Q激光峰值功率隨腔內(nèi)光子往返時間變化的分岔圖

3 結論

本研究基于四能級系統(tǒng)速率方程, 利用四階龍格-庫塔法和自適應變步長法數(shù)值模擬了被動調(diào)Q Nd: YAG固體激光器的非線性動力學特性, 分析了泵浦速率、 腔內(nèi)光子往返損耗、 腔內(nèi)光子往返時間等關鍵系統(tǒng)參量對被動調(diào)Q激光器非線性動力學的影響． 數(shù)值模擬結果表明: 通過選取不同的關鍵參量數(shù)值, 被動調(diào)Q固體激光器可工作在單周期、 倍周期、 多周期以及脈沖混沌動力學態(tài); 當連續(xù)變化其中一個關鍵參量的數(shù)值, 激光器經(jīng)歷單周期、 倍周期、 多周期, 再進入脈沖混沌態(tài), 呈現(xiàn)出倍周期分岔演化路徑; 激光器也可歷經(jīng)脈沖混沌、 多周期、 倍周期, 再到周期態(tài), 呈現(xiàn)出脈沖混沌到周期態(tài)的演化路徑． 首次給出隨關鍵系統(tǒng)參量變化, 被動調(diào)Q固體激光器動力學態(tài)呈現(xiàn)出多種演化路徑． 此外, 數(shù)值模擬結果呈現(xiàn)了處于脈沖混沌態(tài)的被動調(diào)Q固體激光器出現(xiàn)極端事件的情形．