焦芳枝 鄒愉

摘? ?要：光路可逆原理是幾何光學(xué)中的重要內(nèi)容，但有時利用光路可逆原理分析問題卻可能出現(xiàn)不自洽的情境。通過一個具體實(shí)例引入半波損失的概念，對光波的相位進(jìn)行分析，用波動光學(xué)成功解釋了幾何光學(xué)中的一個佯謬，體現(xiàn)了幾何光學(xué)和波動光學(xué)的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生多角度看待問題的科學(xué)思維。同時，對于中學(xué)物理光學(xué)部分的教學(xué)，提出了一些建議。

關(guān)鍵詞：光路可逆原理；半波損失；幾何光學(xué)；波動光學(xué)

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2023）5-0060-3

1? ? 問題的提出

光路可逆原理同時適用于光的反射現(xiàn)象和光的折射現(xiàn)象，在教材中表達(dá)為：讓光逆著反射光（折射光）的方向射向鏡面（從水或其他介質(zhì)射向空氣）時，反射光線（折射光線）逆著原來的入射光線射出［1］。教材中還通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證其正確性。該原理是初、高中物理教學(xué)中幾何光學(xué)部分的一個重要知識點(diǎn)，也是教學(xué)研究的熱點(diǎn)［2-6］。筆者在教授該知識時，有學(xué)生在研究光射到既可以發(fā)生反射也可以發(fā)生折射的介質(zhì)表面時，提出了新的情境，并指出該情境與所學(xué)的光路可逆原理相悖，對光路可逆原理的正確性提出了質(zhì)疑。該情境如下：

如圖1所示，一束光線A（圖中用粗實(shí)線表示）照射到兩種介質(zhì)的分界面，假設(shè)該界面半反半透，且上方介質(zhì)的折射率n1=1，下方介質(zhì)的折射率n2>1。反射光線為B（圖中用細(xì)實(shí)線表示），折射（透射）光線為C（圖中用虛線表示）。

若根據(jù)光路可逆原理，分別分析B和C的逆光路。

對B：反射光線逆光路依然會在分界面上半反半透，反射光線為B1，折射光線為B2，如圖2所示。

對C：折射光線逆光路在分界面上也會半反半透，反射光線為C1，折射光線為C2 ，如圖3所示。

根據(jù)光路可逆原理，將B和C的逆光路疊加，可得到圖1的逆光路，此逆光路圖應(yīng)該如圖4所示。但將圖2和圖3疊加后，結(jié)果卻如圖5所示。需要說明的是，為便于觀察，將圖5中重合的光線錯開。對光線進(jìn)行合并整理后，總的逆光路如圖6所示。

顯然，圖6與圖4對比，逆著反射光線和折射光線入射，除了原來的入射光線A，還多出了光線D（圖6中用點(diǎn)狀虛線表示），逆光路與原光路并不重合。這并不符合光路可逆原理。那么，光線D的存在是否合理呢？光路可逆原理還正確嗎？應(yīng)當(dāng)如何解釋上述情境？

2? ? 問題的分析

在中學(xué)物理光學(xué)部分的教學(xué)中，往往將幾何光學(xué)和波動光學(xué)分離開，進(jìn)行獨(dú)立教學(xué)，很少涉及需要交叉使用兩部分知識才能解決的問題。其實(shí)，無論是幾何光學(xué)、波動光學(xué)、量子光學(xué)，均可解釋光現(xiàn)象，所涉及的內(nèi)容是相通的，而不是孤立的。

對于上述情境，單純地從幾何光學(xué)的角度分析，確實(shí)很難自洽，但從波動光學(xué)的角度卻能輕松解決。欲將上述佯謬講清楚，我們需要使用波動光學(xué)中的一個重要概念：半波損失（半波突變、半波增益）［7-10］。所謂半波損失現(xiàn)象，是指在波從波疏介質(zhì)射向波密介質(zhì)而發(fā)生反射時，反射波在離開反射點(diǎn)時的振動方向相對于入射波到達(dá)入射點(diǎn)時的振動相反，或者說，反射波相對于入射波的相位突變了π，相當(dāng)于光程減少了半個波長。因此在光學(xué)中，當(dāng)光由光疏介質(zhì)（如圖1中n1=1的上方介質(zhì)）射向光密介質(zhì)（如圖1中n2>1的下方介質(zhì)）的分界面上發(fā)生反射時，反射光與入射光相比會產(chǎn)生半波損失。而當(dāng)光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)，在兩介質(zhì)的分界面上發(fā)生反射時，則不會產(chǎn)生半波損失。透射（折射）時，無論從哪邊入射，均不產(chǎn)生半波損失。

了解了半波損失，光從n1=1的介質(zhì)中射向n2>1的介質(zhì)，在發(fā)生反射時，恰好滿足從光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)的條件，則反射光線B會產(chǎn)生Δφ=π的相位差，而折射光線不產(chǎn)生相位差。我們不妨取A，B，C光線上貼近介質(zhì)分界面上無限靠近的三個點(diǎn)a，b，c，分別研究其相位情況，如圖7所示。因只關(guān)注相位差，為了簡便起見，令A(yù)光線上a點(diǎn)此時的相位為φa=0，則考慮到半波損失，此時另外兩點(diǎn)φb=π，φc=0。

同理，研究反射光線的逆光路，取B，B1，B2上貼近介質(zhì)分界面上無限靠近的三個點(diǎn)d，e，f作為研究對象，則反射光線B1產(chǎn)生Δφ=π的附加相位差，如圖8所示。各點(diǎn)相位為

φd=φb=π，φe=0，φf=φd=π

對于折射光線的逆光路，由于光從n2>1的介質(zhì)中射向n1=1的介質(zhì)，在發(fā)生反射時，不滿足從光疏介質(zhì)射入光密介質(zhì)的條件，故不發(fā)生半波損失。取C，C1，C2上貼近介質(zhì)分界面上無限靠近的三個點(diǎn)g，h，i作為研究對象，如圖9所示，各點(diǎn)相位為

φg=φc=0，φh=φg=φc=0，φi=φg=φc=0

將反射光線的逆光路和折射光線的逆光路合成即得圖5所示情境。從幾何光學(xué)簡單分析B2和C1疊加構(gòu)成了圖6中多出的D光線。現(xiàn)從波動光學(xué)出發(fā)，結(jié)合上述a～i各點(diǎn)的相位分析可得φh=0，φf=π。這些點(diǎn)無限靠近入射點(diǎn)，可以理解為沒有空間距離，只有相位差。因?yàn)闊o窮近，所以相位差只有π，即B2和C1兩束光線的相位差Δφ=π。則兩束光線正好是反相的，相互抵消，能量為零，亦即D光線實(shí)際上并不存在。B1和C2兩束光線對應(yīng)的相位相同，兩者疊加后即為原入射光線A。由此可以得出，在光射到既可以發(fā)生反射也可以發(fā)生折射的介質(zhì)表面時，光路可逆原理依然成立。

3? ? 思考和啟示

以光路可逆原理的一個佯謬為例，說明了幾何光學(xué)與波動光學(xué)的緊密聯(lián)系。我們在研究光現(xiàn)象時，可以從幾何光學(xué)、波動光學(xué)、量子光學(xué)等多角度獨(dú)立研究，但更要注重各個角度的關(guān)聯(lián)和融會貫通，在日常教學(xué)中著重培養(yǎng)學(xué)生多角度看待問題的能力。

半波損失作為波動光學(xué)中的重要概念，對于我們理解諸多光學(xué)現(xiàn)象有著重要意義。除本文所列情境外，對于學(xué)生理解諸如增透膜、增反膜等問題也至關(guān)重要。在日常教學(xué)中，是否補(bǔ)充半波損失相關(guān)知識，值得商榷。

光的半波損失產(chǎn)生原因的嚴(yán)格證明，需要用到菲涅爾公式［11］，對中學(xué)生難度較大。但筆者認(rèn)為，可以類比機(jī)械波中的駐波，當(dāng)一端固定時對應(yīng)有半波損失，當(dāng)一端自由時對應(yīng)無半波損失。通過類比的方法，讓學(xué)生定性認(rèn)識半波損失產(chǎn)生的原因，以期達(dá)到較好的教學(xué)效果。最后，感謝張啟迪老師公眾號“杠精學(xué)物理”的啟發(fā)和幫助。

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（欄目編輯? ? 蔣小平）