邵 欣，胡成琳

（天津中德應(yīng)用技術(shù)大學(xué)智能制造學(xué)院，天津 300350）

0 引言

隨著工業(yè)機(jī)器人等高端裝備的發(fā)展，永磁同步電機(jī)（permanent magnet synchronous motor，PMSM）以其突出的控制性能受到了廣泛關(guān)注，并且大量應(yīng)用于交流驅(qū)動(dòng)應(yīng)用中。隨著研究的深入和經(jīng)驗(yàn)的積累，在永磁同步電機(jī)的控制特性和機(jī)械特性等方面已經(jīng)得到了豐富的研究成果。然而，快速變化的不確定負(fù)載、變頻器損耗、磁飽和和其他非線性效應(yīng)在高度使用的實(shí)際驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中經(jīng)常發(fā)生，由于應(yīng)用系統(tǒng)中快速變化的未知干擾和未建模動(dòng)態(tài)特性，永磁同步電機(jī)伺服控制系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性會(huì)顯著降低，從而降低整個(gè)系統(tǒng)的性能，尤其是在無傳感器控制系統(tǒng)應(yīng)用中。已有的研究成果表明［1-5］，通過補(bǔ)償逆變器的非線性效應(yīng)，可以減少位置估計(jì)誤差。此外，ZHAO Y 等討論了基于磁通量估計(jì)和擴(kuò)展電動(dòng)勢(shì)估計(jì)提高精度的方法［6-7］；KIM H 等通過使用參考轉(zhuǎn)矩作為觀測(cè)器的前饋輸入，提出了一個(gè)具有改進(jìn)帶寬的零相位滯后估計(jì)器［8］；LEE Y 等則在研究中提出了一種利用速度誤差消除負(fù)載干擾的增強(qiáng)型魯棒性估計(jì)器［9］。對(duì)于基于模型的控制方法，通過擴(kuò)展電動(dòng)勢(shì)的估計(jì)是最基本的算法之一，經(jīng)典的技術(shù)是通過正交鎖相環(huán)（Q-PLL）跟蹤估計(jì)反電動(dòng)勢(shì)的相位和頻率［10-13］，但其核心缺點(diǎn)是速度和負(fù)載變化時(shí)的恒定帶寬、時(shí)變干擾估計(jì)能力不足。因此，無傳感器控制方法仍然容易受到外部干擾的影響，需要進(jìn)一步改進(jìn)。

對(duì)于具有未知擾動(dòng)的伺服系統(tǒng)，擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（extended state observer，ESO）是一種有效的估計(jì)技術(shù)，其具有快速收斂、不需要精確的數(shù)學(xué)模型和對(duì)未知干擾的精確估計(jì)等特點(diǎn)。為了提高永磁同步電機(jī)的控制精度，可以引入ESO 對(duì)未知擾動(dòng)和未建模動(dòng)態(tài)進(jìn)行觀測(cè)。ESO 的最初概念是由HAN 提出的，他還提出了自抗擾控制（active disturbance rejection control，ADRC）理論［14］。ADRC 從理論上將系統(tǒng)的所有不確定因素視為總擾動(dòng)，作為ADRC 的核心部分，ESO 利用估計(jì)誤差對(duì)總擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)［15-18］。繼HAN的概念之后，GAO Z 進(jìn)一步提出了對(duì)非線性形式ESO 進(jìn)行線性化和參數(shù)化的工作［19-23］，提出了用于快速跟蹤擾動(dòng)和不確定性的最佳觀測(cè)器帶寬概念和方法［24-25］。在參數(shù)調(diào)整和理論分析方面，線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（linear ESO，LESO）要優(yōu)于非線性ESO［25］。非線性ESO 在干擾容忍度和動(dòng)力學(xué)改進(jìn)方面更為有效，然而，參數(shù)調(diào)整和分析相當(dāng)困難，這方面的研究工作也不充分。由于LESO 和非線性ESO各有其優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，在它們之間進(jìn)行選擇成為一個(gè)困難的選擇。

針對(duì)這一問題，為充分利用非線性特性的優(yōu)勢(shì)，本文提出了一個(gè)三階超螺旋ESO（super-twisting ESO，STESO），以改善永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)態(tài)性能和對(duì)速度與負(fù)載突變的魯棒性，同時(shí)估計(jì)快速變化的不確定性并抑制顫動(dòng)。STESO 具有傳統(tǒng)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的優(yōu)點(diǎn)，而且可以保證估計(jì)誤差的有限時(shí)間收斂性。與已有的研究結(jié)果相比，本文的STESO 可以提高對(duì)總擾動(dòng)變化的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，而且克服了LESO 存在觀測(cè)誤差和收斂速度較慢等問題，動(dòng)態(tài)性能得到改善，低速運(yùn)行極限得到了擴(kuò)展。本文分析了STESO 的有效性和穩(wěn)定性，通過對(duì)比分析和仿真實(shí)驗(yàn)證明了其性能的優(yōu)越性。

1 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

對(duì)于永磁同步電機(jī)，其三相定子電壓方程可以表示為：

式中，ua、ub和uc為定子繞組的相電壓；ia、ib和ic為定子繞組電流；R 為定子繞組的相間電阻；ψa、ψb和ψc為繞組磁鏈，其表達(dá)式為

式 中，Laa、Lbb和Lcc為 定 子 繞 組 自 感；Mab、Mac、Mba、Mbc、Mca和Mcb分別為三相繞組之間的互感；ψfa、ψfb和ψfc為轉(zhuǎn)子磁體在三相繞組產(chǎn)生的磁鏈，可表示為

式中，θe為電角度，即電機(jī)轉(zhuǎn)子直軸磁極線與繞組a相軸線的夾角。根據(jù)永磁同步電機(jī)的三相電流和磁鏈，可以得到電機(jī)產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩為：

式中，pn是電機(jī)轉(zhuǎn)子的磁極對(duì)數(shù)。經(jīng)過Clarke 變換，可得電磁轉(zhuǎn)矩的表達(dá)式為：

進(jìn)而可以得到永磁同步電機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程為：

式中，TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J 為負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ωr為轉(zhuǎn)子角速度；B 為摩擦系數(shù)常數(shù)。對(duì)永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行整理，得到：

2 控制器設(shè)計(jì)

由于永磁同步電機(jī)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)包含重要的位置和速度信息，傳統(tǒng)的基于模型的無傳感器控制方法主要利用該原理實(shí)現(xiàn)永磁同步電機(jī)位置和速度的估計(jì)。如圖1 所示，前端用于通過定子電壓基準(zhǔn)和測(cè)量電流iαβ來估計(jì)擴(kuò)展電動(dòng)勢(shì)；后端用于檢索估計(jì)的電氣位置和速度，而且后端通常采用Q-PLL 使位置誤差可以持續(xù)降低到0。

圖1 永磁同步電機(jī)位置和速度估計(jì)框圖Fig.1 Position and speed estimation block diagram of PMSM

以上方法需要在伺服系統(tǒng)中加入低通濾波器去除高頻噪音，這在實(shí)際位置和估計(jì)值之間引入了不必要的相位滯后，降低了整個(gè)系統(tǒng)的性能。針對(duì)該問題，本文設(shè)計(jì)了STESO 進(jìn)行位置和速度估計(jì)，以獲得更準(zhǔn)確的速度估計(jì)信號(hào)和更強(qiáng)的干擾估計(jì)能力。Super-twisting 算法利用分?jǐn)?shù)階函數(shù)的非線性特性提高了觀測(cè)帶寬，具有很強(qiáng)的噪聲抑制能力。

2.1 STESO 設(shè)計(jì)

針對(duì)具有參數(shù)不確定性的永磁同步電機(jī)，其動(dòng)力學(xué)方程根據(jù)式（7）可以表示為

式中，a 為總擾動(dòng)變化率。據(jù)此設(shè)計(jì)永磁同步電機(jī)的STESO 為

將式（10）減去式（11），可以得到觀測(cè)誤差方程為

在式（12）收斂時(shí)，則可以實(shí)現(xiàn)總擾動(dòng)的準(zhǔn)確觀測(cè)。為便于后續(xù)分析，需要根據(jù)永磁同步電機(jī)的機(jī)械特性做出如下假設(shè)：

假設(shè)1 不確定性f 是有界的，而且其導(dǎo)數(shù)滿足

針對(duì)式（12），有如下定理：

定理1 在d 有界時(shí)，通過調(diào)節(jié)誤差反饋增益αi，可以保證式（12）在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。

證明：建立Lyapunov 函數(shù)

根據(jù)Pólya 定理［27］可以確定使V（x）正定的參數(shù)ki。對(duì)式（14）求導(dǎo)，得

2.2 反饋控制律設(shè)計(jì)

基于STESO 對(duì)總擾動(dòng)的觀測(cè)值，可以實(shí)現(xiàn)在控制系統(tǒng)中對(duì)f 的精確補(bǔ)償，從而設(shè)置位置環(huán)誤差反饋控制律

式中，pr和qr分別為位置和速度給定值。在單獨(dú)控制速度時(shí)，控制律設(shè)計(jì)為

3 仿真結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文所提出的控制方法的有效性，搭建PMSM 仿真模型以進(jìn)行驗(yàn)證，并設(shè)置傳統(tǒng)PI 控制方法進(jìn)行比較。其中，仿真所用電機(jī)參數(shù)設(shè)置如下：定子電阻R=0.75 Ω；電感Ld=1.05 mH；Lq=2.05 mH；極對(duì)數(shù)pn=4；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=2.4 kg·mm2；額定電壓U=24 V。本文所提控制方法可以通過式（12）、式（17）和式（8）實(shí)現(xiàn)。其中，控制參數(shù)設(shè)計(jì)為b0=5.6×104；kp=15；kd=113.1；L=12 000。為驗(yàn)證所提方法的有效性和控制優(yōu)勢(shì)，本文選擇PID、自抗擾控制（ADRC）［28］和基于改進(jìn)模型預(yù)測(cè)的自抗擾前饋控制（feed forward ADRC，F(xiàn)FADRC）［29］等3 種算法進(jìn)行對(duì)比分析。其中，PID 控制器的參數(shù)為位置環(huán)控制參數(shù)kpp=15，速度環(huán)PI 控制參數(shù)為ksp=0.15，ksi=0.74；線性自抗擾控制器的參數(shù)為β1=3 200，β2=1 800 000，ω0=1 720，k=705.2；模型預(yù)測(cè)自抗擾控制的參數(shù)為加權(quán)系數(shù)q=0.23，Ki=500，l=0.47，模型預(yù)測(cè)自抗擾控制的速度環(huán)PI 參數(shù)與PID 控制器相同。電流環(huán)在本文方法和對(duì)比控制方法仿真中的參數(shù)一致，其PI 控制器的參數(shù)為kip=8.12，kii=11 802。永磁同步電機(jī)控制結(jié)構(gòu)圖如圖2 所示。

圖2 永磁同步電機(jī)控制框圖Fig.2 PMSM control block diagram

3.1 位置控制

位置控制是永磁同步電機(jī)控制的重要任務(wù)之一，在不同的負(fù)載作用下，如何設(shè)計(jì)控制器使永磁同步電機(jī)快速到達(dá)指定位置，并將負(fù)載變化帶來的影響降到最低。仿真中，給定目標(biāo)是控制永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)100 圈，負(fù)載轉(zhuǎn)矩設(shè)置為TL=0.01 Nm，仿真結(jié)果如圖3 所示。由圖3 可知，本文所提的控制方法在啟動(dòng)過程中沒有超調(diào)，在1.210 s 時(shí)到達(dá)設(shè)定位置；而對(duì)比方法跟蹤參考所需時(shí)間分別為1.231 s、1.225 s、1.281 s，比所提控制方法慢0.015 s 以上。在轉(zhuǎn)速控制上，本文所提方法可以快速無超調(diào)地達(dá)到設(shè)置轉(zhuǎn)速，響應(yīng)速度較快。其余對(duì)比方法的速度環(huán)在本次仿真的負(fù)載條件下響應(yīng)速度慢于本文方法，到達(dá)設(shè)置轉(zhuǎn)速的時(shí)間均大于本文方法的0.034 s，落后時(shí)間在0.051 s 以上，從而證明了本文方法在位置控制方面具有更高的控制性能。

圖3 位置控制結(jié)果Fig.3 Position control results

為分析不同負(fù)載對(duì)控制結(jié)果的影響，圖4 所示的仿真結(jié)果對(duì)比了負(fù)載TL為0.001、0.008、0.01、0.015、0.02 等多種情況，仿真結(jié)果顯示，雖然不同仿真時(shí)負(fù)載不同，但由于STESO 對(duì)總擾動(dòng)的觀測(cè)和補(bǔ)償能力，實(shí)現(xiàn)了控制器對(duì)負(fù)載產(chǎn)生的影響進(jìn)行了精確補(bǔ)償，從而使控制結(jié)果保持一致。同時(shí)需要指出，傳統(tǒng)的PID 控制在負(fù)載變化時(shí)控制效果變化較大，限于篇幅本文未給出其仿真結(jié)果。

圖4 多種負(fù)載位置控制結(jié)果Fig.4 Position control results of multiple kinds of load

3.2 轉(zhuǎn)速控制

為充分驗(yàn)證本文所提控制方法的控制有效性，本節(jié)從電機(jī)空載起動(dòng)和階躍負(fù)載擾動(dòng)抵抗能力兩個(gè)方面展開系列仿真。首先是固定轉(zhuǎn)速情況，在第1.5 s 加載擾動(dòng)為0.004 Nm 的階躍力矩。如圖5所示，設(shè)定轉(zhuǎn)速為1 000 r/m 的空載啟動(dòng)，本文方法和對(duì)比方法都可以控制永磁同步電機(jī)達(dá)到設(shè)定轉(zhuǎn)速，但在動(dòng)態(tài)性能上卻存在較大差異。其中，本文所提方法的響應(yīng)時(shí)間為0.06 s，轉(zhuǎn)速無超調(diào)，而速度環(huán)采用PI 控制器時(shí)的響應(yīng)時(shí)間為0.11 s，而且還存在一定的超調(diào)，最大超調(diào)轉(zhuǎn)速為12.4 r/m，超調(diào)量為1.24%。相比之下，ADRC 和FF-ADRC 控制方法的轉(zhuǎn)速響應(yīng)速度有一定的提高，但仍然慢于本文所提的控制方法。由圖5 的對(duì)比分析可知，本文方法在啟動(dòng)階段具有良好的快速性。在加入負(fù)載階躍擾動(dòng)后，圖5 結(jié)果顯示4 種控制方法所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速曲線均出現(xiàn)了下降，相比之下，本文方法的最大偏離值為52.1 r/m，約為給定轉(zhuǎn)速的5%；而PI 轉(zhuǎn)速控制器對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速損失為302 r/m，約為給定轉(zhuǎn)速的30%，另外兩種控制方法的轉(zhuǎn)速下降約為7%，與本文方法接近。但在恢復(fù)時(shí)間方面，本文所提方法轉(zhuǎn)速恢復(fù)時(shí)間分別為0.055 s，低于PID 控制的0.88 s、ADRC 的0.143 s 和FFADRC 的0.094 s。綜合上述仿真現(xiàn)象可得，本文所提方法的轉(zhuǎn)速變化量為PI 控制器的1/6，恢復(fù)時(shí)間約為1/16，而且相對(duì)于ADRC和FFADRC 在轉(zhuǎn)速變化量和恢復(fù)時(shí)間方面均有一定的提升，證明本文控制方法對(duì)于變化的系統(tǒng)負(fù)載具有較好的抗干擾性能。

圖5 轉(zhuǎn)速控制結(jié)果Fig.5 Rotation speed control results

圖6 為給定正弦波轉(zhuǎn)速信號(hào)時(shí)候的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果。如圖所示，本文方法以及對(duì)比方法都可以很好的跟蹤給定的轉(zhuǎn)速信號(hào)，但通過轉(zhuǎn)速放大圖可知，本文方法的轉(zhuǎn)速輸出與給定轉(zhuǎn)速波形最為接近，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與圖5 結(jié)果一致，本文控制方法在轉(zhuǎn)速控制方面由于對(duì)比方法的結(jié)論從轉(zhuǎn)速誤差結(jié)果中可以得到進(jìn)一步驗(yàn)證。其中，本文方法輸出的正弦轉(zhuǎn)速誤差幅值為0.11r/m，遠(yuǎn)小于另外3 種控制方法的0.29 r/m、0.27 r/m 和0.42 r/m。

圖6 正弦轉(zhuǎn)速信號(hào)控制結(jié)果Fig.6 Signal control results of sinusoidal rotation speed

3.3 蒙特卡洛測(cè)試

在STESO 中，所有的參數(shù)不確定性均被視作擾動(dòng)放在了總擾動(dòng)中，并通過STESO 在有限時(shí)間內(nèi)進(jìn)行準(zhǔn)確觀測(cè)。為驗(yàn)證本文所提控制方法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變化的可能干擾能力，在仿真中設(shè)置轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定子電阻、電感、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和反饋電動(dòng)勢(shì)系數(shù)在內(nèi)變化，仿佛在條件同樣設(shè)置為在1.5 s 是施加0.004 Nm 的階躍擾動(dòng)。仿真結(jié)果如圖7 所示，50 次蒙特卡洛測(cè)試結(jié)果顯示雖然系統(tǒng)參數(shù)在每次仿真都不相同，但控制結(jié)果變換結(jié)果較小，從局部放大圖可知所有的控制過程均未出現(xiàn)超調(diào)，過渡時(shí)間也只有0.02 s 的變化，從而驗(yàn)證了本文所提控制方法在模型失配情況下的魯棒性。

圖7 蒙特卡洛測(cè)試Fig.7 Monte Carlo test

4 結(jié)論

針對(duì)永磁同步電機(jī)的控制問題，本文進(jìn)行了擾動(dòng)觀測(cè)與補(bǔ)償控制研究，獲得的結(jié)論如下：

1）提出了一種三階STESO，可以在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)位置、轉(zhuǎn)速以及總擾動(dòng)的準(zhǔn)確估計(jì)，從而可以在控制回路中對(duì)總擾動(dòng)進(jìn)行精確補(bǔ)償，提高系統(tǒng)的控制性能和抗擾能力。

2）通過仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果將本文方法與PID、ADRC 和FFADRC 等控制方法進(jìn)行了比較，從而驗(yàn)證了基于STESO 的控制器的優(yōu)越性能。

3）STESO 增強(qiáng)了總擾動(dòng)的估計(jì)能力，提供了抗快速和負(fù)載變化的思路，而且從理論上保證了有限時(shí)間收斂性。

對(duì)永磁同步電機(jī)總擾動(dòng)的準(zhǔn)確觀測(cè)與補(bǔ)償，可以提高永磁同步電機(jī)的位置和轉(zhuǎn)速控制精度，同樣為進(jìn)一步研究提供了新思路。在未來研究中，將在此基礎(chǔ)上研究非線性誤差反饋控制方法，以期進(jìn)一步提高控制系統(tǒng)的綜合性能。