何君青|江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級中學(xué)

當(dāng)前，課堂教學(xué)仍存在“課課無關(guān)聯(lián)，節(jié)節(jié)單一化”，“知識點”是教學(xué)、學(xué)習(xí)與評價基本單位的現(xiàn)象，這導(dǎo)致知識零碎、孤立，毫無結(jié)構(gòu)體系可言，不利于學(xué)生的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，更不符合新課標(biāo)的要求.《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》指出要“探索大單元教學(xué)，積極開展主題化、項目式學(xué)習(xí)等綜合性教學(xué)活動，促進學(xué)生舉一反三、融會貫通，加強知識間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，促進知識結(jié)構(gòu)化”.“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)有利于學(xué)生形成知識間的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，加強知識間的橫縱聯(lián)系，從而拓展思維深度、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，最終提高教學(xué)效益，尤其是學(xué)生學(xué)習(xí)能力持續(xù)發(fā)展的效益.因此，教師需要提高自身站位，努力探索實施“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)的路徑、方法，引領(lǐng)學(xué)生理解知識、遷移知識、開闊眼界，提升核心素養(yǎng).下面，筆者以蘇科版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》七年級下冊第十章《二元一次方程組》為例，闡述“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)的設(shè)計策略.

一、內(nèi)容分析

筆者首先從課標(biāo)要求、教材呈現(xiàn)兩個方面對《二元一次方程組》這一章作了細(xì)致的分析，以便更準(zhǔn)確地把握相關(guān)教學(xué)要求的精髓.

（一）課標(biāo)要求

在對《二元一次方程組》這一章的具體要求方面，相較于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》仍將“能解簡單的三元一次方程組”視為選學(xué)，仍要求學(xué)生“能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性”，即依然關(guān)注數(shù)學(xué)與實踐的聯(lián)系，可見將數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活的觀點仍然是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要前提，但有如下兩點比較突出的變動.

其一，新增“理解方程的意義”，刪去“體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型”.張奠宙教授曾提出過方程的替代性定義“方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系”［1］.可見方程意義的建構(gòu)需要建立在對相等關(guān)系的理解上，而不是傳統(tǒng)教學(xué)中所關(guān)注的形式化概念“含有未知數(shù)的等式是方程”.前一改動體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)本質(zhì)的更高要求，后一改動更貼合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，畢竟“方程是模型”這一概念過于抽象，學(xué)生不容易體會.可見模型意識雖然是方程體系學(xué)習(xí)的重點，但已經(jīng)不再具體地要求表述，而是轉(zhuǎn)變成引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中去慢慢感悟，注重滲透，不強求一蹴而就．

其二，去除對“消元法”所作的“代入、加減”等具體條件的限制.可見已不再關(guān)注技巧性的操作，而著重于更為本質(zhì)的內(nèi)涵.此改動讓學(xué)生的學(xué)習(xí)變得更靈活、更多樣、更具探究意味，也更體現(xiàn)出二元一次方程組求解的思想，不再像以前那樣過于形式化，這一點教師在設(shè)計教學(xué)時尤其要關(guān)注．

（二）教材呈現(xiàn)

在學(xué)習(xí)《二元一次方程組》之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程的概念、解法及應(yīng)用．二元一次方程（組）是有理數(shù)和整式運算的綜合運用，也是今后學(xué)習(xí)待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式的基礎(chǔ)．教材中，《二元一次方程組》一章的編排與《一元一次方程》類似，均遵循“定義—解法—應(yīng)用”的學(xué)習(xí)路徑.該章主要學(xué)習(xí)內(nèi)容包括：二元一次方程（組）的概念，二元一次方程組的解法，利用二元一次方程組分析與解決實際問題．“二元一次方程（組）的概念”的引入方式與“一元一次方程”一致：以豐富的問題情境引入，讓學(xué)生在抽象、歸納的過程中，得到二元一次方程（組）的概念.對“二元一次方程組的解法”這一內(nèi)容，教材凸顯解二元一次方程組的基本思想“消元”，通過“消元”，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，體現(xiàn)化歸的思想.教材著重介紹了“消元”的兩種方法：代入法和加減法．對“利用二元一次方程組分析與解決實際問題”這一內(nèi)容，教材并未以實際問題的類型來劃分，而是淡化煩瑣的題型訓(xùn)練，突出一般策略的歸納、經(jīng)驗的積累，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展應(yīng)用意識，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值．

二、“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)設(shè)計及框架

（一）“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)設(shè)計

明確了《二元一次方程組》一章的課標(biāo)要求、教材編排特點后，筆者對教材的結(jié)構(gòu)、每節(jié)課的具體設(shè)想作出規(guī)劃，并使設(shè)計內(nèi)容凸顯知識獲得的關(guān)聯(lián)性、方法研究的自主性以及經(jīng)驗運用的推廣性.其“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)設(shè)計詳見表1.

表1 《二元一次方程組》“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)設(shè)計

（二）“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)框架

二元一次方程（組）、三元一次方程組的概念教學(xué)，各版本教材均從豐富的素材引入，在大量的實際情境中抽象出數(shù)量關(guān)系，從而建立溝通已知量與未知量的等式，布列方程（組），建立起刻畫實際情境的數(shù)學(xué)模型.而上述設(shè)計則以概念建構(gòu)的方式進行教學(xué)，讓學(xué)生類比一元一次方程的學(xué)習(xí)，自己給出相應(yīng)二元一次方程（組）、三元一次方程組的定義，從而加深對“元”和“次”的理解，并在此過程中明確二者的區(qū)別與聯(lián)系，發(fā)展創(chuàng)新意識和推理能力.這一設(shè)計凸顯出內(nèi)涵的一致性.

方程（組）的求解，依據(jù)的都是等式的基本性質(zhì)或方程的同解原理，充分體現(xiàn)著轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.在“求二元一次方程組的解”的教學(xué)中，教師既應(yīng)重視揭示求解過程中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，強調(diào)通性通法，弱化技巧，又要逐步讓學(xué)生感悟“消元法”的功用（能夠簡化問題，是解決“多元”方程組的一種策略），進而引導(dǎo)學(xué)生通過對“消元”的深刻理解，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力、運算能力以及分析問題和解決問題的能力.

建立方程模型，最重要的是尋找等量關(guān)系并用數(shù)學(xué)符號表達.只有正確尋找到題目中的等量關(guān)系，才能更好地列出方程.表格、示意圖能夠直觀地體現(xiàn)出問題中蘊含的等量關(guān)系，因此借助表格、示意圖分析問題并列出方程，仍然是該章教學(xué)中找尋等量關(guān)系以解決問題的有效方法.教師可類比一元一次方程相應(yīng)的內(nèi)容進行教學(xué).

“解三元一次方程組”在教材中的定位是選學(xué)內(nèi)容，教師可以將其視為本章的“大任務(wù)”，布置給學(xué)有余力的學(xué)生，讓他們體會到研究方程的一般路徑，并強化對“消元”的認(rèn)識和應(yīng)用，發(fā)展他們的應(yīng)用能力.

基于上述分析，筆者設(shè)計了《二元一次方程組》“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)框架（詳見圖1）.

圖1 《二元一次方程組》“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)框架

在明確了該章的教學(xué)順序及每節(jié)課的設(shè)計意義后，筆者著重設(shè)計了每節(jié)課的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，并結(jié)合“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)的特點，以問題串的形式展開教學(xué)，將知識、方法、經(jīng)驗有機融合.

從知識上看，學(xué)生在學(xué)習(xí)該章內(nèi)容之前，已經(jīng)完整地經(jīng)歷了對一元一次方程的探索和認(rèn)識，故而將二者放在一起研究、區(qū)分，有助于學(xué)生后續(xù)對“元”與“次”擴展研究的理解.

從方法上看，在方程的學(xué)習(xí)上，學(xué)生總是經(jīng)歷“定義—解法—應(yīng)用”的研究過程，而了解多元一次方程組的解法是重中之重，故筆者在該章的教學(xué)設(shè)計中就一次次明確并強化研究的路徑、方法，這有助于學(xué)生在自主掌握、提升的基礎(chǔ)上加深對多元方程組求解中的“消元法”的理解，進而在后續(xù)學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)內(nèi)容時能從一致性的角度加以分析、探索.

從經(jīng)驗上看，該章的設(shè)計始終通過類比、猜想、推理等方法進行探索、研究，能幫助學(xué)生積累豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，使其在發(fā)展推理能力、應(yīng)用意識的同時，感悟從特殊到一般再到更一般的問題研究進程，繼而舉一反三，學(xué)會解決更多的問題.

三、“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)設(shè)計策略

“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)設(shè)計能幫助學(xué)生更好地理解和掌握學(xué)科的基本原理，實現(xiàn)知識與方法的遷移.其實施可分為兩個階段：一是設(shè)計階段，二是調(diào)整階段.

在設(shè)計階段，教師先要結(jié)合課標(biāo)、教材對所學(xué)內(nèi)容進行科學(xué)分析，再根據(jù)學(xué)情重整單元框架、結(jié)構(gòu)，甚至可以調(diào)整授課的順序或內(nèi)容，最后在課標(biāo)、教材的指引及單元框架的統(tǒng)整下，將知識、方法、經(jīng)驗進行融合，制訂出“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)設(shè)計.

在調(diào)整階段，教師先要根據(jù)設(shè)計實施課堂教學(xué)，再根據(jù)課堂教學(xué)的得與失進行教學(xué)反思，最后修改、完善設(shè)計，從而實現(xiàn)教學(xué)設(shè)計的進階，形成閉環(huán).

根據(jù)以上論述，筆者設(shè)計了《二元一次方程組》“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)兩階段的框架（詳見圖2），努力在設(shè)計、調(diào)整的過程中掌握“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)的精髓，并嘗試用如下策略進行“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)的探索.

圖2 《二元一次方程組》“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)兩階段的框架

（一）知識的獲得：關(guān)注內(nèi)容聯(lián)系

【設(shè)計1】

在“二元一次方程”一課的開始環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計了如下一組問題.

問題1：前面我們學(xué)過什么方程？

問題2：今天我們將要學(xué)習(xí)一個新名詞“二元一次方程”，你覺得它可能是什么意思呢？你的理由是什么？

問題3：你能試著寫出幾個二元一次方程嗎？

問題4：你覺得二元一次方程的本質(zhì)特征是什么？它與一元一次方程的區(qū)別和聯(lián)系是什么？

【設(shè)計2】

在“三元一次方程組”一課的開始環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計了如下一組問題.

問題1：前面我們學(xué)習(xí)了二元一次方程，若今天開展“三元一次方程”的研究，你覺得它的定義是什么？為什么會這樣定義？

問題2：“三元一次方程組”又該如何定義？

問題3：你能寫出一個三元一次方程組嗎？

問題4：通過前面學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，你覺得我們要如何一步步地研究三元一次方程組呢？

問題5：你為什么會這樣一步步地研究呢？

分析：定義了“一元一次方程”之后，遵循從簡單到復(fù)雜的研究路徑，接下來將會開展二元一次方程（組）的研究.概念的獲得實際上是掌握同類事物的共同關(guān)鍵特征，一般情況下，我們會采用概念同化和概念形成兩種方式，而此處的兩個設(shè)計用的都是概念建構(gòu)的方式.這兩個設(shè)計緊扣類比，一次次激活學(xué)生對“元”“次”的理解，引導(dǎo)學(xué)生在自主建構(gòu)概念的過程中，感悟特殊與一般的關(guān)系，體會類似問題研究方法的一致性.從研究內(nèi)容上看，設(shè)計2 是設(shè)計1 的延續(xù)和發(fā)展，教學(xué)設(shè)計中概念獲得方式的一致性有利于學(xué)生更好地把握概念，弄清楚概念間的聯(lián)系與區(qū)別.在這樣的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生會不斷地生成新問題并不斷地解決新問題，這驅(qū)動著學(xué)生逐步提升能力、進階思維，進而延伸至能夠深刻理解多元多次方程.

（二）方法的獲得：關(guān)注自主生成

【設(shè)計1】

在“解二元一次方程組”第1課時中，筆者設(shè)計了如下一組問題.

問題1：“在我校剛剛結(jié)束的籃球聯(lián)賽中，規(guī)定贏一場得2 分，輸一場得1 分.八（1）班賽了12 場，共得20 分.那么八（1）班贏了幾場？輸了幾場？”你能解決這個問題嗎？你用了什么方法？

問題2：用方程解決時，你列了什么式子？

問題3：有人列了昨天學(xué)習(xí)的二元一次方程組.那么，這個方程組你們會解嗎？

問題4：你們是怎么想的？為什么這么想？靈感從何而來？

問題5：這樣的解法合理嗎？為什么？

問題6：還有其他方法嗎？

問題7：同學(xué)們用了很多方法解上面的二元一次方程組，得到的結(jié)果是相同的.再做兩題試試看.

問題8：想想看，解二元一次方程組時，你們用的方法有什么共同的特點？

問題9：將你們使用的多種方法歸歸類，發(fā)現(xiàn)區(qū)別和聯(lián)系了嗎？

問題10：現(xiàn)在大家明白解二元一次方程組的本質(zhì)了嗎？

【設(shè)計2】

在“三元一次方程組”一課中，筆者設(shè)計了如下一組問題.

問題1：你會解三元一次方程組嗎？想一想，可能怎么去解呢？為什么你會這樣想？

問題2：三元一次方程組和二元一次方程組解法的相同之處與不同之處分別是什么？

分析：越是由自然生長而得到的方法，記憶越是深刻、持久.設(shè)計1 一開始并未強求解決方法的一致，即算術(shù)方法、方程方法都可用.在問題聚焦后，則指向二元一次方程組的解決辦法，并提出了如何求解二元一次方程組這一問題.學(xué)生在嘗試的過程中，有可能運用“加減消元法”，也可能運用“代入消元法”，而運用“代入消元法”又有部分“代入”與整體“代入”兩種情形.在這紛繁復(fù)雜的方法背后，教師要讓學(xué)生體會并提煉方法的共同之處“消元”.這樣的方法獲得有助于學(xué)生加深理解.設(shè)計2 是“消元”的又一次運用，在鞏固知識的同時，能幫助學(xué)生更深刻地理解“消元”.這兩個設(shè)計緊扣“特殊與一般”的關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生去研究問題，有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，使其將求解二元一次方程組的方法遷移到三元一次方程組上，在“特殊”中尋找出共性，從而體會方法背后的精髓，發(fā)展類比、遷移、推理等能力.

（三）經(jīng)驗的獲得：關(guān)注學(xué)用結(jié)合

【設(shè)計1】

在“解二元一次方程組”第1 課時的末尾處，筆者設(shè)計了如下一組問題.

問題1：通過今天的學(xué)習(xí)，你對解二元一次方程組有了什么體會？

問題2：我們今天是如何一步步探索得到解二元一次方程組的方法的？

在“解二元一次方程組”第2 課時的末尾處，筆者設(shè)計了如下一組問題.

問題1：學(xué)習(xí)了二元一次方程組的定義和解法后，你覺得什么是三元一次方程組？

問題2：通過“解二元一次方程組”這兩節(jié)課的學(xué)習(xí)，你覺得你會求三元一次方程組的解嗎？說說看你的想法.

問題3：你能體會到解n 元一次方程組的一般方法嗎？

【設(shè)計2】

在“三元一次方程組”一課的末尾處，筆者設(shè)計了如下一組問題.

問題1：通過今天的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

問題2：在今天的學(xué)習(xí)過程中，你對方程有了更深刻的體會嗎？若給你一類“新”方程，你會研究這類方程嗎？

問題3：今天的學(xué)習(xí)真的僅僅是學(xué)會了三元一次方程組的定義、解法嗎？你還有其他收獲和體會嗎？

分析：學(xué)習(xí)了二元一次方程組、三元一次方程組的概念、解法后，讓學(xué)生將其轉(zhuǎn)化成可以熟練運用的知識、技能，從而解決問題，有利于學(xué)生更好地理解知識的本質(zhì).這兩個設(shè)計均通過課時結(jié)尾處的反思式、拓展式問題，將特殊引向一般乃至于更一般，幫助學(xué)生打通知識聯(lián)系的壁壘、勾連起整式方程的共通之處，使其加深對概念的理解，進而發(fā)展運算能力、推理能力.事實上，在學(xué)習(xí)過程中，獲得對某一個知識的認(rèn)知并不是最重要的，獲得如何學(xué)到知識、方法的經(jīng)驗才是可貴的.這可以讓學(xué)生學(xué)用結(jié)合，學(xué)會解決類似的問題，進而能提煉出一系列解題策略.

四、“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)設(shè)計的思考

“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)設(shè)計需整體把握教學(xué)內(nèi)容，注重前后內(nèi)容、方法、經(jīng)驗之間的聯(lián)系，讓學(xué)生在深刻了解數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與來源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價值與意義的同時，建立起對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)理解，提煉出能打通數(shù)學(xué)知識之間關(guān)聯(lián)、發(fā)揮核心作用的數(shù)學(xué)方法和有效經(jīng)驗，最終指向?qū)W生未來的發(fā)展［2］.

以此觀照，上述《二元一次方程組》“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)設(shè)計，能夠比較充分地揭示二元一次方程與一元一次方程在有關(guān)知識和研究方法上的縱橫關(guān)聯(lián).一方面，在整式方程中“元”的數(shù)學(xué)本質(zhì)統(tǒng)攝下，教師緊緊依靠類比的方式，剖析不同知識、不同結(jié)論在形成過程中的共同之處，可使學(xué)生所學(xué)過的一元一次方程的知識與研究方法，對學(xué)習(xí)二元一次方程（組）乃至三元一次方程（組）起到直接的啟發(fā)作用，有利于學(xué)生感悟知識學(xué)習(xí)的整體性和研究方法的一致性，進而形成相對完整的知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu).另一方面，該設(shè)計緊緊抓住方程特殊與一般、一般與特殊的關(guān)系，借助學(xué)生對經(jīng)驗、知識與方法的及時遷移運用，使學(xué)生的經(jīng)驗、知識與方法不斷得到內(nèi)化，思維不斷得到拓展和進階.通過知識的拓展促進知識結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，高度契合學(xué)生未來發(fā)展的目標(biāo)，可發(fā)展學(xué)生的推理能力、運算能力和數(shù)學(xué)抽象能力.當(dāng)然，“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)設(shè)計并不是只有一種方法和策略，其推進和完善仍有待于廣大專家、一線教師的研討、實踐，從而真正實現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)培育的落地.