高夢嬌， 李 瑞， 鄧 琳

（長沙理工大學(xué)，湖南 長沙 410114）

兩性分枝過程的研究是從1968 年Daley[1]首次引入其概念開始的，相對于傳統(tǒng)的分枝過程，兩性分枝過程更加符合生物繁衍的真實(shí)情況。1997 年Molina[2，3]研究了兩性分枝過程的規(guī)范化后的極限性質(zhì)。1998年Molina 等人[4-6]研究了兩性分枝過程的收斂問題。在2006 年Ma[7]首次提出了隨機(jī)環(huán)境中兩性分枝過程概念，在此之后學(xué)者們開始研究隨機(jī)環(huán)境中兩性分枝過程的一些其他性質(zhì)。對于分支過程Lp- 收斂許多學(xué)者做了一定的研究，吳金華等[8]給出了受控分支過程中Lp-收斂的結(jié)論；2020 年李應(yīng)求等[9]給出了兩性分支過程中規(guī)范化后的種群數(shù)量Lα-（α＞1）收斂的充要條件。

次指數(shù)不等式是針對獨(dú)立同分布隨機(jī)變量部分和序列的偏離程度給出估計(jì)，用來描述繁殖過程可能存在的誤差。次指數(shù)條件是指鞅差序列具有有界的條件次指數(shù)矩，在本文中，我們給出了該情況下的次指數(shù)不等式。

1 模型的引入

令ξ=（ξ0，ξ1，ξ2，…）為獨(dú)立同分布的環(huán)境序列。假設(shè)每個(gè)定義在N={0，1，2，…}上的ξn對應(yīng)一個(gè)概率分布p（ξn）={p（iξn）∶i∈N}，其中p（iξn）≥0，p（iξn）=1，及pi（ξn）∈（0，∞）.零分布是當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的概率分布。隨機(jī)環(huán)境中兩性分枝過程（Zn）可以通過下列關(guān)系來定義：

給定環(huán)境ξ，（fni，mni）（n≥0，i≥1）是獨(dú)立同分布的隨機(jī)向量，其中ni指的是第n代的第i個(gè)配對單元，（fni，mni）表示第n代的第i個(gè)配對單元產(chǎn)生的雌性和雌性后代個(gè)體數(shù)；（Fn，Mn）表示第n代所有的雌性和雄性個(gè)體數(shù)。p（ξn）是每一個(gè)fni，mni的分布。

記rk為配對單元的均值增長率，有：

令F0=F（ξ）=σ（ξ），F(xiàn)n=Fn（ξ）=σ（ξ；fki，mki，0≤k≤n-1，i=1，2，…），n≥1，因此Zn是Fn可測的。對n≥1，設(shè)，標(biāo)準(zhǔn)化種群數(shù)量是一個(gè)非負(fù)下鞅，如果有

在本文中我們考慮μ:=Elogr1（ξ0）＞0，這代表分枝過程（Zn）會(huì)以正的概率存活下來。

2 基本結(jié)果及證明

為方便起見，我們記

其中σ 為logr1（ξ0）的標(biāo)準(zhǔn)差。

其中Xi=logr1（ξi-1）（i≥1），設(shè)X=X1=logr1（ξ0），σ2=E（X-μ）2。我們記

基于以上定義，我們有

為得到定理1，我們給出下面2 個(gè)引理。

引理1[11]：對于獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列（Xi）i≥1，設(shè)，假設(shè)對α∈（0，1）有＜∞，則

證明：由（2）和（3）式可知

因?yàn)棣?是獨(dú)立的，對上式兩邊取期望，我們有

定理1：假設(shè)對于α ∈（0，1）有E[（X-μ）2exp{（（X-μ）+）α}]＜∞，則對所有的x＞0 有

其中

由引理1 可知

其中un=nE[（X-μ）2exp{（（X-μ）+）α}]，對于任意X，X+表示X的正部，有X+=max（0，X）。由馬爾可夫不等式及引理2，對所有的我們有

將（16）式、（19）式和（20）式合起來我們可以得到

其中

這就完成了定理1 的證明。