楊月穎, 盛萬成

(上海大學(xué)理學(xué)院, 上海 200444)

血液流動動力學(xué)是生物力學(xué)領(lǐng)域的重要研究課題, 具有重要的生理學(xué)意義. 血流異常可能會導(dǎo)致一些心血管疾病, 如靜脈曲張、動脈粥樣硬化等. 靜脈血管和動脈血管是血液流動的重要管道. 在研究大中型動脈、靜脈血管中的血液流動模型時, 通常將其類比于不可壓縮流體在柔性薄管中的流動[1]. 本工作將考慮如下的血液流動系統(tǒng)[2]:

式中: A 表示血管的橫截面積; ρ 表示血管的血液密度; u 表示血管的血流平均速度; p 表示血管的平均壓力; K(x) 表示血管壁的材料性質(zhì).

由于靜脈血管的高度非線性性, 對靜脈血液流動的研究[3-6]相對較少. Spiller 等[3]研究了靜脈血液流動2×2 系統(tǒng)的Riemann 問題, 并證明了靜脈系統(tǒng)中不會出現(xiàn)血管完全坍塌的情況, 即靜脈血管的橫截面積始終滿足A>0.

在動脈血液流動研究方面, Toro 等[2]研究了動脈血液流動系統(tǒng)的Riemann 問題. Han等[7-8]引入了L-M 曲線和R-M 曲線, 構(gòu)造了3×3 動脈血液流動系統(tǒng)Riemann 問題的解.Sheng 等[9]構(gòu)造了6×6 動脈血液流動系統(tǒng)Riemann 問題的解, 并利用整體熵條件解決了解的唯一性問題.

靜脈血液流動系統(tǒng)與動脈血液流動系統(tǒng)很大的差別在于它們的壓力-面積關(guān)系[10], 即

式中: pe表示平衡狀態(tài)下血管受到的外部壓力; A0表示平衡狀態(tài)下血管的橫截面積; m 和n均為常數(shù), 且在動脈中有m =,n = 0, 在靜脈中有m ≈10,n =[11]; K(x) 是一個與時間無關(guān)的量, 在動脈、靜脈中分別滿足

其中E(x) 表示彈性模量, ν 表示Poisson’s 系數(shù), h0(x) 和r0(x) 分別表示平衡狀態(tài)下血管壁的厚度和血管半徑[3].

本工作主要研究靜脈血液流動系統(tǒng)(1) 中基本波的情況. 在求解系統(tǒng)時, 會出現(xiàn)3 種不同的基本波——疏散波、激波和駐波. 利用特征分析的方法求解出波線滿足的條件, 并對駐波的存在性進(jìn)行了詳細(xì)的討論.

1 特征分析

考慮下面的擬線性偏微分方程, 即

式中: U =(A,u,K)T;

A(U) 有3 個特征值, 即λ1=u ?c,λ2=0,λ3=u+c, 分別對應(yīng)右特征向量, 即

由于會出現(xiàn)1-特征或3-特征與2-特征重合的情況, 因此系統(tǒng)(1) 不是嚴(yán)格雙曲的. 定義聲速線為

使得系統(tǒng)(1) 在聲速線上是非嚴(yán)格雙曲的, 在聲速線外的區(qū)域中是嚴(yán)格雙曲的.

引理1 聲速線u=±c 是(A,u) 平面上的嚴(yán)格凸(凹) 函數(shù), 如圖1 所示.

圖1 (A,u)平面上的聲速線Fig.1 Sonic curves in (A,u) plane

證明 函數(shù)u=c 關(guān)于A 求導(dǎo), 可得

u=c 的二階導(dǎo)數(shù)為

1.1 疏散波

由于1-特征滿足λ1=u ?c 以及R1=(A,?c,0)T, 從而有

給定左狀態(tài)UL=(AL,uL,KL), 系統(tǒng)(1) 的后向疏散波(1-疏散波) 為

給定右狀態(tài)UR=(AR,uR,KR), 系統(tǒng)(1) 的前向疏散波(3-疏散波) 為

1.2 激波

激波是一類間斷解, 需要考慮系統(tǒng)(1) 的Rankine-Hugoniot 條件和Lax 熵條件. 由Rankine-Hugoniot 條件可知, 系統(tǒng)(1) 中的第3 個方程滿足

式中: [f] = fR?fL表示變量f 的跳躍; σ 表示間斷速度. 如果σ = 0, [K] /= 0, 則間斷速度消失, 出現(xiàn)駐波間斷解. 如果[K] = 0, 系統(tǒng)退化為守恒型. 此時, 只包含兩種類型的基本波——疏散波和激波, 可以得到系統(tǒng)(1) 簡化的Rankine-Hugoniot 條件, 即

系統(tǒng)(1) 的Lax 熵條件為

給定左狀態(tài)UL=(AL,uL,KL), 根據(jù)式(5) 和(6), 可以得到系統(tǒng)(1) 的后向激波(1-激波) 為

給定右狀態(tài)UR=(AR,uR,KR), 系統(tǒng)(1) 的前向激波(3-激波) 為

1.3 駐波

當(dāng)σ = 0,[K] /= 0 時, 方程組不能化為守恒形式, 出現(xiàn)駐波間斷解, 也不能使用傳統(tǒng)的Rankine-Hugoniot 條件. 駐波, 也稱作駐波間斷, 是一類不依賴于時間的解. 考慮下面的常微分方程組

因此, 有

由式(8) 可得

因此, 有

由于

因此, 可得定常系統(tǒng)(7).

2 駐波的存在性

由系統(tǒng)(7) 可知, 給定左狀態(tài)UL=(AL,uL,KL) 和右狀態(tài)的材料性質(zhì)KR(常數(shù)), 則可通過駐波與左狀態(tài)UL相連的右狀態(tài)U =(A,u,KR) 滿足關(guān)系

聯(lián)立兩個方程, 可得

定義下面的駐波曲線函數(shù)為

當(dāng)Φ(A;UL,KR)=0 時, UL與U 可以通過駐波連接. 因此, 通過考慮函數(shù)Φ(A;UL,KR) 的值可以確定S0(UL) (與UL可以通過駐波相連的狀態(tài)組成的集合) 的存在性.

2.1 駐波曲線的性質(zhì)

首先, 對函數(shù)Φ(A;UL,KR) 求導(dǎo), 得

式中:

由式(9) 可知, 若U =(A,u,KR) 可以通過駐波與給定的狀態(tài)UL連接, 則U 滿足

因此, 只需要考慮函數(shù)Φ(A;UL,KR) 在曲線(13) 上的值即可. 如果存在曲線(13) 上的一點U滿足Φ(A;UL,KR)=0, 則U 和UL可以通過駐波相連.

引理2 曲線Au=ALuL和聲速線u2=c2在(A,u) 平面上有且僅有一個交點.

證明 聯(lián)立曲線Au=ALuL和u2=c2, 可得

因此,

定義函數(shù)

對函數(shù)Q(A) 求導(dǎo), 得

可知, Q(A) 是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù).

當(dāng)A →0 時, 有Q(A) →?(ALuL)2< 0; 當(dāng)A →+∞時, 有Q(A) →+∞. 因此, 當(dāng)A>0 時, Q(A)=0 有且僅有一個解. 引理2 得證.

由式(12) 可得函數(shù)Φ(A;UL,KR) 有如下性質(zhì).

引理3 沿著曲線Au = ALuL, 當(dāng)u2> c2時, Φ(A;UL,KR) 單調(diào)遞減; 當(dāng)u2< c2時,Φ(A;UL,KR) 單調(diào)遞增. 此外, 函數(shù)Φ(A;UL,KR) 在曲線Au=ALuL和聲速線u2=c2的交點Umin=(Amin,umin,KR) 處取到最小值Φ(A;UL,KR)min=Φ(Amin;UL,KR).

由引理2 和引理3 可知, 函數(shù)Φ(A;UL,KR) 沿著曲線Au=ALuL(隨著A 的增大) 先減小后增大, 在聲速線Γ(KR):u2=c2(K =KR) 上取到最小值. 因此, 可以得到定理1.

2.2 駐波解的存在性

本節(jié)將具體討論存在駐波的區(qū)域, 是對定理1 的一個完善. 證明了在(A,u) 平面存在一個區(qū)域?, 使得當(dāng)UL/∈? 時始終滿足Φ(A;UL,KR)min≤0, 即UL存在駐波.

不失一般性, 本工作總是假設(shè)

同時, 基于引理4, 本工作只考慮uL>0 的情況.

引理4 由式(13) 以及A > 0 可知, 如果U = (A,u,KR) 與UL= (AL,uL,KL) 可以通過駐波連接, 則有sgn(u)=sgn(uL).

考慮函數(shù)(11) 在A=AL處的函數(shù)值, 可以得到

基于上述結(jié)論以及函數(shù)Φ(A;UL,KR) 的性質(zhì), 本工作將在定理2 中給出存在駐波的狀態(tài)所在的區(qū)域.

定理2 對任意一個給定的左狀態(tài)UL=(AL,uL,KL), 有: ①如果UL∈?, 則UL沒有駐波; ②如果UL/∈?, 則UL有兩個駐波; ③如果UL位于區(qū)域? 的邊界上, 則UL有且僅有一個駐波,其中區(qū)域? 是由3 條曲線Γ+、Γ1?、Γ2?包圍的區(qū)域,如圖2 所示, 其中曲線Γ+、Γ1?、Γ2?將在證明中給出.

圖2 區(qū)域?Fig.2 Region ?

證明 下面將分3 個部分證明定理2.

(1) 若AL< A0, 由式(16) 可知Φ(AL;UL,KR) < 0. 顯然, 有Φ(A;UL,KR)min≤Φ(AL;UL,KR)<0 成立, 從而UL始終有兩個駐波.

(2) 若AL= A0, 由式(16) 可知Φ(AL;UL,KR) = 0. 此時有Φ(A;UL,KR)min≤Φ(AL;UL,KR) = 0 成立, 從而UL至少有一個駐波. 由函數(shù)Φ(AL;UL,KR) 的單調(diào)性可知, 它的最小值是在聲速線Γ(KR) 上取到的. 不妨設(shè)點U01= (A01,u01,KL) 是聲速線Γ(KR) 與直線A=A0的交點, 則當(dāng)UL=U01時, Φ(A;UL,KR)min=Φ(AL;UL,KR)=0.

(3) 若AL>A0, 由式(16) 可知Φ(AL;UL,KR)>0. 此時不能直接判斷Φ(A;UL,KR)min的值, 需要進(jìn)行更多的討論. 假設(shè)是聲速線Γ(KR) 上的一點. 若UL滿足ALuL=,由引理3 可知,當(dāng)0時,函數(shù)Φ(A;UL,KR) 單調(diào)遞增, 且Φ(A;UL,KR)min=Φ(;UL,KR). 因此, 可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)UL∈Γ(KR)且AL>A0時, 有Φ(A;UL,KR)min>0. 由定理1 可知, UL沒有駐波.

式中:

由式(18) 可知, 沿著曲線

圖3 曲線Γ+Fig.3 Curve Γ+

定義曲線Γ(KL) : u = c(K = KL). 沿著曲線函數(shù)先增大后減小, 在曲線Γ(KL) 上取到最大值. 當(dāng)AL→+∞時,因此, 對任意一個給定的都存在另外一個點使得= 0, 即U?L只有一個駐波. 因此, 當(dāng)= 0 始終有兩個解.

綜上, 可以得到

由式(21) 和(22), 可得

由曲線的定義可知: ①如果UL位于曲線Γ+、Γ1?、Γ2?包圍的區(qū)域? 中時, UL沒有駐波;②如果UL在區(qū)域? 外時, UL有兩個駐波; ③如果UL在曲線Γ+、Γ1?、Γ2?上時, UL有且僅有一個駐波. 定理得證.

下面討論曲線Γ+、Γ1?、Γ2?的一些性質(zhì).

定理3 曲線Γ+(A)(A ≥A0) 是單調(diào)遞增的; 曲線Γ2?(A):u=u?(A)(A0≤A ≤A?) 是單調(diào)遞減的. 對任意給定的一點(A,u) ∈Γ1?, 曲線Γ1?在該點的斜率始終大于過該點的曲線Au=在該點的斜率, 且當(dāng)

證明 曲線Γ+、Γ1?、Γ2?均滿足下述關(guān)系:

因此, 可以用如下的參數(shù)方程表示曲線, 即

式中:

因此, 可得

此外, 曲線Γ+、Γ1?、Γ2?位于不同的區(qū)域中(見圖2), 則分別有

令

則有

3 結(jié)束語

本工作研究了靜脈血液流動非線性系統(tǒng)中的基本波. 由于系統(tǒng)的非嚴(yán)格雙曲性, 特別討論了駐波的存在情況. 定理2 證明了存在一個由3 條曲線包圍的區(qū)域?, 使得當(dāng)左狀態(tài)位于區(qū)域? 外時, 存在與左狀態(tài)相連的駐波. 因此, 確定了相平面上存在駐波的區(qū)域. 這對于分析靜脈血液流動系統(tǒng)的Riemann 問題具有重要意義. 定理3 給出了3 條曲線的一些性質(zhì), 證明了圖2 中對曲線的刻畫是合理的. 后續(xù)將進(jìn)一步研究系統(tǒng)(1) 的Riemann 問題.