索美霞　張永立　李夢婕　易國榮

摘 要：為了解決傳統(tǒng)粒子群算法（PSO）容易“早熟”、陷入局部最優(yōu)以及灰狼算法（GWO）收斂速度慢的問題。首先，采用GWO算法的個體極值更新策略來實現(xiàn)個體包圍式向最優(yōu)值趨近，融入PSO算法的速度更新策略來實現(xiàn)群體向最優(yōu)值的趨近，并且在原始粒子群算法基礎(chǔ)上加入線性慣性權(quán)重遞減來提高算法的收斂速度，從而提出了一種基于灰狼算法和改進的粒子群算法（IPSO）的融合優(yōu)化算法（GW-IPSO）；其次，通過6個經(jīng)典算例進行仿真試驗，將融合算法與PSO算法、IPSD算法、灰狼和粒子群結(jié)合算法（GW-PSO）進行對比；最后，應(yīng)用融合算法對二級直線倒立擺的控制器設(shè)計進行參數(shù)尋優(yōu)。結(jié)果表明：針對6個標準測試函數(shù)，混合算法的30次試驗結(jié)果平均值更接近最優(yōu)值，且標準差幾乎都是最小的；應(yīng)用在倒立擺控制問題上，系統(tǒng)在5 s左右進入穩(wěn)定狀態(tài)。融合后的GW-IPSO算法能夠在一定程度上避免早熟和陷入局部極值的問題發(fā)生，并且能夠很好地應(yīng)用于控制器設(shè)計過程中參數(shù)尋優(yōu)問題。

關(guān)鍵詞：算法理論；粒子群算法；灰狼算法；倒立擺；控制器設(shè)計

中圖分類號：TP183 文獻標識碼：A DOI： 10.7535/hbgykj.2023yx03008

Research on the fusion of PSO and GWO

SUO Meixia ZHANG Yongli LI Mengjie YI Guorong

（1.School of Automation and Electrical Engineering， Tianjin University of Technology and Education， Tianjin 300222， China; 2.Tianjin Key Laboratory of Information Sensing and Intelligent Control， Tianjin 300222， China; 3.School of Informatics， Beijing Institute of Technology， Zhuhai， Guangdong 519088， China）

Abstract：The purpose of this paper is to solve the problems that traditional particle swarm optimization （PSO） algorithm is prone to "precocious"， easy to fall into local optimum， and the grey wolf optimization （GWO） algorithm converges slowly. Firstly， the individual extreme value update strategy of GWO algorithm was used to realize the individual enveloping approach to the optimal value， the speed update strategy of the PSO algorithm was integrated to achieve the approach of the population to the optimal value， and the linear inertia weight reduction was added to improve the convergence speed of the algorithm on the basis of the original particle swarm algorithm， so as to propose an optimization algorithm （GW-IPSO） based on the fusion of gray wolf algorithm and improved particle swarm algorithm. Secondly， through six classical examples， the GW-IPSO algorithm was compared with the PSO algorithm， the improved particle swarm algorithm， the gray wolf and the particle swarm combination algorithm. Finally， the fusion algorithm was applied to optimize the parameters of the controller design of the two-stage linear inverted pendulum. The experimental results show that for the six standard test functions， the average value of the 30 experimental results of the GW-IPSO algorithm is closer to the optimal value， and the standard deviation is almost the smallest. Applied to the inverted pendulum control problem， the system enters a stable state in about 5 seconds. The GW-IPSO algorithm can avoid the problems of precocious maturation and falling into local extremes to a certain extent， and can be well applied to the parameter optimization problem in the controller design process.

Keywords：algorithmic theory; particle swarm optimization； grey wolf optimization；invert pendulum; controller design

當前，遺傳算法、人工免疫算法、灰狼算法（grey wolf optimization，GWO）、粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）、模擬退火算法等智能優(yōu)化算法越來越被廣泛地應(yīng)用于各種領(lǐng)域[1]。通過人們不斷地探索和研究，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的智能優(yōu)化算法最大的缺點就是容易陷入局部最優(yōu)值。GWO算法不易受參數(shù)影響，簡單易于實現(xiàn)，已被應(yīng)用在微電網(wǎng)、特征提取、圖像分割、車間調(diào)度等領(lǐng)域，但算法后期收斂速度較慢[2]。PSO算法主要通過群體內(nèi)個體之間的信息共享來完成尋優(yōu)，原理簡單，易于實現(xiàn)，收斂速度快，但是平衡全局的能力差[3]，個體“自我認知”和“社會認知”部分的權(quán)重是搜索的關(guān)鍵因素，當算法參數(shù)不合適或者優(yōu)化問題局部最優(yōu)的欺騙性太強就很容易陷入局部最優(yōu)。目前，針對優(yōu)化算法容易陷入局部最優(yōu)的問題主要有2個方面的改進方法：一是從算法自身進行研究，對參數(shù)設(shè)置、算法流程進行改進，提高算法性能，例如王鵬飛等[4]提出的改進收縮因子的粒子群優(yōu)化算法，通過引入壓縮因子方程，改進了粒子群算法速度迭代公式，減少了因?qū)W習(xí)因子設(shè)置不當對算法造成的影響；李二超等[5]提出了一種自適應(yīng)粒子速度和位置更新策略，采用基于Logistic混沌呈非線性變化的慣性權(quán)重，以此來加快算法的收斂速度、平衡算法的全局和局部搜索能力、提高收斂精度。二是基于算法融合的思想，通過對不同算法的優(yōu)缺點進行分析比較，取長補短，產(chǎn)生新的融合算法來提升算法性能。如趙經(jīng)緯等[6]采用自適應(yīng)慣性因子和學(xué)習(xí)因子，并引入遺傳變異策略和精英保留策略，提出了一種改進的粒子群算法（improved particle swarm optimization，IPSO）。本文采用第2種算法改進方法，分析粒子群算法和灰狼算法的優(yōu)缺點，提出灰狼算法和改進的粒子群算法的融合優(yōu)化算法（grey wolf-improved particle swarm optimization，GW-IPSO）。

倒立擺是最典型的多變量、高階次、非線性、強耦合、自然不穩(wěn)定系統(tǒng)。倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制是控制理論中的典型問題，傳統(tǒng)倒立擺穩(wěn)擺常采用PID控制和LQR控制，其中LQR控制方法中Q，R矩陣的取值尤為重要，但目前還沒有明確的計算方式，通常需要根據(jù)經(jīng)驗值來進行試湊，過程繁瑣、耗時耗力。因此許多學(xué)者通過智能優(yōu)化算法來確定相關(guān)參數(shù)[7-8]。為了驗證算法的優(yōu)越性，本文將GW-IPSO算法應(yīng)用在倒立擺控制系統(tǒng)上，通過仿真試驗與傳統(tǒng)試湊法進行了對比。

1 算法及其融合策略

1.1 PSO算法

粒子群算法，最初是由Kennedy和Eberhart提出的。算法中每個粒子通過與群體中其他粒子之間的協(xié)作與競爭而尋求到最優(yōu)解[9]。其進化過程見式（1）和式（2）：

1.2 GWO算法

1.3 算法融合

粒子群算法和灰狼算法的融合策略主要包含基于GWO算法的個體極值更新、基于PSO算法的速度更新、以及慣性權(quán)重線性遞減3個方面的融合與改進。

首先，GWO算法中的核心思想就是由α狼、β狼、δ狼3個等級的狼引導(dǎo)群體進行位置更新，可以彌補粒子群算法中單一的最優(yōu)個體引導(dǎo)迭代策略的缺陷。同時灰狼算法采用的是包圍式的向最優(yōu)值趨近的策略。所以將這一核心思想融入到算法內(nèi)部，可以提高算法的全局搜索能力。

但是，GWO算法中沒有涉及到群體向最優(yōu)位置移動速度的更新。因此，在GWO算法的基礎(chǔ)上，融入粒子群算法的速度更新思想，如式（6）和式（7）所示：

2 算例驗證與結(jié)果分析

2.1 標準測試函數(shù)

為證明改進算法的性能，使用單峰函數(shù)、多峰函數(shù)和固定多峰函數(shù)3種具有不同特點的標準測試函數(shù)測試改進算法的有效性，表1給出了具體的標準測試函數(shù)。采用原始粒子群算法（PSO）、加入慣性權(quán)重遞減的改進粒子群算法（IPSO）、灰狼和粒子群的結(jié)合算法（grey wolf-particle swarm optimization，GW-PSO）、本文提出的融合算法（GWO-IPSO）分別對6個標準測試函數(shù)進行30次仿真試驗，取適應(yīng)度值的平均值和標準差進行比較。同時為保證試驗結(jié)果的客觀性，均選取相同的參數(shù)值，具體對比結(jié)果如表2所示。

2.2 時間復(fù)雜性分析

2.3 適應(yīng)度函數(shù)

3 LQR參數(shù)尋優(yōu)

通過算法的測試也可以看出GW-IPSO算法的性能較為穩(wěn)定，因此，將其應(yīng)用于二級直線倒立擺LQR控制器的權(quán)矩陣Q，R的優(yōu)化選取，并與傳統(tǒng)LQR穩(wěn)擺控制效果進行對比。

3.1 二級倒立擺拉格朗日數(shù)學(xué)建模

圖3所示為二級直線倒立擺的物理模型，主要由1個可以沿直線運動的小車和2個可以自由旋轉(zhuǎn)的擺桿組成?，F(xiàn)假設(shè)每一級倒立擺都是均勻剛體，驅(qū)動力無延遲地施加于小車，且運動過程中系統(tǒng)所有的摩擦阻力足夠小，可忽略不計[15-17]，具體物理參數(shù)如表4所示。

3.2 仿真試驗

4 結(jié) 語

本文針對粒子群算法和灰狼算法的各自優(yōu)缺點，融合了GWO算法的個體極值更新、PSO算法的速度更新和慣性權(quán)重線性遞減的迭代方法，提出了GW-IPSO融合算法。在算法參數(shù)相同的前提下，與PSO算法、IPSO算法、GW-PSO算法分別對6個標準測試函數(shù)進行尋優(yōu)，得出以下結(jié)論。

1）從30次試驗結(jié)果來看，GW-IPSO算法尋優(yōu)結(jié)果平均值更接近最優(yōu)值，并且標準差比其他3個算法小1～15個數(shù)量級。

2）從6個測試函數(shù)的適應(yīng)度值變化曲線來看，GW-IPSO算法在一定程度上能夠很好地跳出局部最優(yōu)值，且收斂速度較快。

3）從對測試函數(shù)f₁，f₂，f₅的30次仿真試驗平均運行時間來看，GW-IPSO算法的平均運行時間分別為0.340 6，0.171 9，0.156 2 s均比GW-PSO算法運行時間短。

通過將GW-PSO算法應(yīng)用于二級直線倒立擺LQR控制器設(shè)計中權(quán)矩陣Q和R的參數(shù)尋優(yōu)上，系統(tǒng)在5 s左右進入穩(wěn)定狀態(tài)，與傳統(tǒng)試湊法相比，擺桿的超調(diào)量更小，小車的位移也更小。

但目前該算法仍然存在可能陷入局部最優(yōu)值的問題。因此，今后可以嘗試將多次運行的最優(yōu)值作為下次運行的初值，來提升算法精度。

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